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第43讲 圆与三角函数
典例精练
【例1】 (2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.若 则sinC=( )
A. C.
【例2】 (2024武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC 的中点,腰AC与半圆O相切于点 D，底边BC与半圆O交于E，F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC的值.
针对训练
1.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C.
2.如图,在 Rt△ABC中, 以点B为圆心，r为半径作⊙B.当r=3时，⊙B与AC 的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
3.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为(a,b,c, (其中R为△ABC的外接圆半径).在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为( )
C.16π D.64π
4.(2024临夏)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则 的长度为 .
5.如图,⊙O过矩形ABCD的顶点A,与BC,DC相切于点F,G,交AB于点E.若⊙O的半径为5, 则BE= .
6.(2024广西)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；
(2)若 求⊙O的半径.
7.(2023湖南)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是 的中点， 于点E,交AC于点F,交⊙O于点 H ,DB交AC于点G.
(1)求证:
(2)若 求⊙O的半径.
8.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,
(1)求证:
(2)若 求BC的长.
第43 讲 圆与三角函数
典例精练
【例1】 (2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E.若 则sinC=( B )
A. C.
【例2】 (2024武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点 D，底边BC与半圆O交于E，F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC的值.
解:(1)证明:连接OA,OD,作ON⊥AB交AB 于N,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AC与半圆O相切,∴OD⊥AC,
∵ON⊥AB,∴ON=OD,∴AC是半圆O的切线.
(2)由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC,∴∠AOC=90°,∠ODC=90°,
∴∠OAC|∠OCA=180°-∠AOC=90°,∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90°,
∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠COD= ° ,
∵OF=OD,CF=2,∴CD=4,OC=OF+FC=OD+2,
∵在 Rt△ODC中,OC =CD +OD ,∴(OD+2) =4 +OD ,解得OD=3.
针对训练
1.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为(B)
A. B. C.
2.如图,在 Rt△ABC中, 以点B为圆心，r为半径作⊙B.当r=3时,⊙B与AC 的位置关系是(B)
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
3.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, (其中R为△ABC的外接圆半径).在△ABC中,若∠A=75°,∠B=45°,c=4,则△ABC的外接圆面积为(A)
C.16π D.64π
4.(2024临夏)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则 的长度为
5.如图,⊙O过矩形ABCD 的顶点A,与BC,DC相切于点F,G,交AB于点E.若⊙O的半径为5, 则BE= 2 .
6.(2024广西)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若 求⊙O的半径.
解:(1)证明:∵点D,E分别是BC,AC的中点,∴BD=CD,AE=CE,又∵∠AEF=∠CED,DE=EF,∴△AEF≌△CED,∴AF=CD,∠F=∠EDC,∴AF=BD,AF∥BD,∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)过B作BQ⊥AC于Q,连接OB,AD.
设BQ=3x,则
∴
设⊙O的半径为r，∵ 解得r=10.
∴⊙O的半径为10.
7.(2023湖南)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是 的中点， 于点E,交AC于点F,交⊙O于点 H,DB交AC于点G.
(1)求证:AF=DF;
(2)若 求⊙O的半径.
解:(1)证明:∵D是 的中点，
∵DE⊥AB,AB是⊙O的直径,.
∴∠ADH=∠DAC.∴AF=DF.
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,
设 则
在 Rt△BDE中,
∴BE=√(2 x) -(2x) =4x.∴AE=AB-BE=x,EF=ED-DF=DE-AF=2x-
在 Rt△AEF中, 解得x=2或x=0(舍去).
∴AB=5x=10.∴⊙O的半径为5.
8.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠BDC+2∠ABD=90°.
(1)求证:
(2)若 求 BC的长.
解:(1)证明:连接OD交AC于点 H,则∠AOD=2∠ABD.
∵∠BDC+2∠ABD=90°,∠A=∠BDC, ∴∠A+∠AOD=90°.
(2)设⊙O的半径为
.
∴在Rt△AHO中, 解得r=3.
∴OH=r-2=1.∴BC=2HO=2.

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