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第37 讲 圆的切线证明
典例精练
【例1】 如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是 的中点，过点C作AD 的垂线,垂足是E,连接AC交BD 于点F.求证:CE是⊙O的切线.
【例2】 如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC 的中点，腰AB 与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.
针对训练
1.(2023 达州)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=BC,P 是OB 的延长线上一点, ∠ACB,求证:AP 是⊙O的切线.
2.如图,在四边形ABCD 中, AB是⊙O的直径,CO平分 求证：直线CD与⊙O相切.
3.(2024甘肃)如图,AB 是⊙O 的直径, 点 E 在 AD 的延长线上，且 求证：BE是⊙O的切线.
4.如图，在 中， ,点O在AC上,⊙O过点A,交AB,AC于点E,D,且 BC,求证:EC是⊙O的切线.
5.如图，在 中， ,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E，过点C作 且 连接BF.求证:BF 是⊙O的切线.
6.如图，在 中,∠ACB=90°,□ODEF 的顶点O,D在斜边AB 上,顶点 E,F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E.求证：BC与⊙O相切.
7.(2024湖北)如图,在 中， ,点 E 在AC 上,以CE 为直径的⊙O经过AB 上的点D,与OB交于点F,且. .求证:AB是⊙O的切线.
8.如图, 内接于⊙O，AD平分 交⊙O于D, 求证：FD是⊙O的切线.
第37讲 圆的切线证明
典例精练
【例1】 如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,C是BD的中点,过点C作AD 的垂线,垂足是E,连接AC交BD 于点F.求证:CE是⊙O的切线.
证明:连接OC交BD 于点G,连接OD.
∵C是BD的中点,∴∠BOC=∠DOC,OC垂直平分BD.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∵CE⊥DE, ∴∠E=90°.
又∵∠EDB=∠CGD=90°,∴四边形CGDE 是矩形.
∴∠ECG=90°.∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.
【例2】 如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC 的中点，腰AB 与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.
证明:连接OD,OA,作OE⊥AC于点E.
∵AB与⊙O相切,∴OD⊥AB.
∵AB=AC,OB=OC,∴∠BAO=∠CAO.
∴OD=OE,∴OE是⊙O的半径.∴AC是⊙O的切线.
针对训练
1.(2023 达州)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=BC,P 是OB 的延长线上一点,∠PAB=∠ACB,求证:AP是⊙O的切线.
证明:连接OA,OC.∵AB=BC,∴AB=BC,∠CAB=∠ACB.∴∠AOB=∠COB.
∴OB⊥AC.∴∠CAB+∠ABO=90°.∴∠ACB+∠ABO=90°.
∵∠PAB=∠ACB,∴∠PAB+∠ABO=90°.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO.∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°.
又∵OA 是⊙O的半径,∴AP 是⊙O的切线.
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB 是⊙O的直径,CO平分∠BCD.求证：直线CD与⊙O相切.
证明:过点O作OE⊥CD于点E.
∵AD∥BC,∠DAB=90°,∴∠OBC=90°,即OB⊥BC.
∵OE⊥CD,OB⊥BC,CO平分∠BCD,∴OB=OE.
∴OE 是⊙O的半径.∴直线CD与⊙O相切.
3.(2024甘肃)如图,AB 是⊙O 的直径, 点 E 在 AD 的延长线上，且 ∠AEB,求证:BE是⊙O的切线.
证明:连接BD,OC,OD,设AB与CD 交于点F.
又∵OC=OD,
∴点O,B在CD 的垂直平分线上.∴OB 垂直平分CD.∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE.∴∠ABE=∠AFD=90°.
∴AB⊥BE,又∵AB是⊙O的直径,
∴BE是⊙O的切线.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,⊙O过点A,交AB,AC于点E,D,且EC=BC,求证:EC是⊙O的切线.
证明:连接OE.∵AO=EO,EC=BC,∴∠A=∠AEO,∠B=∠BEC.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∴∠AEO+∠BEC=90°.∴∠OEC=180°-90°=90°.
∵OE 是⊙O的半径,
∴ EC是⊙O的切线.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E,过点C作CF∥AB,且CF=CD,连接BF.求证:BF是⊙O的切线.
证明:连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠BDA=90°.∴∠BDC=90°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵CF∥AB,∴∠FCB=∠ABC,∠ABF+∠F=180°.∴∠FCB=∠ACB.
又∵CF=CD,BC=BC,∴△BCF≌△BCD.∴∠F=∠BDC=90°.
又∵∠ABF+∠F=180°,∴∠ABF=90°,即OB⊥BF.
又∵OB是⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,□ODEF 的顶点O,D在斜边AB上,顶点E,F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E.求证：BC与⊙O相切.
证明：连接OE.
∵四边形ODEF 是平行四边形,∴EF∥OD,EF=OD.
∵OA=OD,∴EF∥OA,EF=OA.
∴四边形AOEF 是平行四边形.∴OE∥AC.∴∠OEB=∠ACB.
∵∠ACB=90°,∴∠OEB=90°,即OE⊥BC.
∵OE 是⊙O的半径,∴BC与⊙O相切.
7.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E 在AC 上,以CE为直径的⊙O经过AB上的点D,与OB交于点F,且 BD=BC.求证:AB 是⊙O的切线.
证明：连接OD，
在△OBD 和△OBC中
∴∠ODB=∠OCB=90°.∵OD为⊙O的半径,
∴AB 是⊙O的切线.
8.如图,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于D,FD∥BC,求证:FD是⊙O的切线.
证明:连接OB,OC,OD,设OD与BC交于点 H.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠BOD=2∠BAD,∠COD=2∠CAD,
∴∠BOD=∠COD.又∵OB=OC,∴∠OHB=90°.
∵FD∥BC,∴∠ODF=∠OHB=90°.∵OD为⊙O的半径,∴FD是⊙O的切线.

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