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第 12 讲 二步概率
典例精练
【例1】 武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是( )
A. B. C. D.
【例2】 (2024武汉)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是( )
A. B. C. D.
针对训练
1.(2023自贡)端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷、奶奶，爷爷、奶奶吃到同类粽子的概率是 .
2.(2024武昌)将分别标有汉字“英”“雄”“武”“汉”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别.从中随机抽取一张，记住汉字后放回搅匀，再随机抽取一张并记下汉字，则两次抽出的卡片上的汉字能组成“武汉”字样的概率是( )
A. B. C. D.
3.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程( 4x+c=0有实数解的概率是( )
A. B. C. D.
4.某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样，规定顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，将两球上的数字之和记为返现金额.童威刚好消费200元，则他所获的返现金额不低于 30元的概率是( )
A. B. C. D.
5.从三名男生和两名女生中随机选取两人参加演讲比赛，则两人恰好是一男一女的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A，B，每个转盘被分成三个相同的扇形.游戏规定：小美与小丽分别转动转盘 A，B，指针指向的数字较大者获胜，则小美获胜的概率是( )
A. B.
C. D.
7.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是( )
A. B. C. D.
8.把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都从正中间剪成两半，然后将其分别混合洗匀为“上”“下”两堆图片.从这两堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是( )
A. B. C. D.
9.一个不透明的袋子中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同.随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为( )
A. B. C. D.
10.如图是一个游戏转盘，圆形转盘被互相垂直的一条半径和一条直径分成了三个区域.连续自由转动转盘两次(如果指针落在分隔线上，则重新转动，直到落到其中一个区域)，指针两次都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是( )
A. B. C. D.
11.一天晚上，小慧帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯(杯、盖形状不同).突然停电了，小慧只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是( )
A. B. C. D.
12.(2024 青山)如图，公园里的方桌旁有四个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐到乙对面的概率为( )
A. B. C. D.
13.有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( )
A. B. C. D.
14.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相同.如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
15.一个不透明的袋子中装有大小相同的2个红球和2个绿球.
(1)先从袋子中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球.
①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率.
(2)先从袋子中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少 请直接写出结果.
16.(2023达州)在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%.通过调查统计，八年级(2)班参加学校社团的情况为(每位同学只能参加其中一项)：A.剪纸社团；B.泥塑社团；C.陶笛社团；D.书法社团；E.合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)该班共有学生 人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中， 参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 °；
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
第 12 讲 二步概率
典例精练
【例1】 武汉旅游资源丰富，“五一”期间，甲、乙两位同学分别在黄鹤楼、东湖、动物园三个景点随机选择一个游玩，则他俩选择同一个景点的概率是(C)
A. B. C. D.
【例2】 (2024武汉)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是(D)
A. B. C. D.
针对训练
1.(2023自贡)端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷、奶奶，爷爷、奶奶吃到同类粽子的概率是 .
2.(2024武昌)将分别标有汉字“英”“雄”“武”“汉”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别.从中随机抽取一张，记住汉字后放回搅匀，再随机抽取一张并记下汉字，则两次抽出的卡片上的汉字能组成“武汉”字样的概率是(A)
A. B. C. D.
3.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程 4x+c=0有实数解的概率是(C)
A. B. C. D.
4.某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样，规定顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，将两球上的数字之和记为返现金额.童威刚好消费200元，则他所获的返现金额不低于30元的概率是(B)
A. B. C. D.
5.从三名男生和两名女生中随机选取两人参加演讲比赛，则两人恰好是一男一女的概率是(C)
A. B. C. D.
6.如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A，B，每个转盘被分成三个相同的扇形.游戏规定：小美与小丽分别转动转盘A，B，指针指向的数字较大者获胜，则小美获胜的概率是(C)
A. B.
C. D.
7.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是(C)
A. B. C. D.
8.把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都从正中间剪成两半，然后将其分别混合洗匀为“上”“下”两堆图片.从这两堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是(A)
A. B. C. D.
9.一个不透明的袋子中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同.随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为(A)
A. B. C. D.
10.如图是一个游戏转盘，圆形转盘被互相垂直的一条半径和一条直径分成了三个区域.连续自由转动转盘两次(如果指针落在分隔线上，则重新转动，直到落到其中一个区域)，指针两次都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是(C)
A.
11.一天晚上，小慧帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯(杯、盖形状不同).突然停电了，小慧只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是(B)
A.
12.(2024青山)如图，公园里的方桌旁有四个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐到乙对面的概率为(B)
A. B. C. D.
13.有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是(A)
A. B. C. D.
14.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相同.如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次抛掷中恰有2次正面朝上的概率是(D)
A. B. C. D.
15.一个不透明的袋子中装有大小相同的2个红球和2个绿球.
(1)先从袋子中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球.
①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率.
(2)先从袋子中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少 请直接写出结果.
解：(1)①画树状图如下：
∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果有4种，
∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为
②由①中的树状图可知，两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果有8种，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为
(2)
16.(2023达州)在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%.通过调查统计，八年级(2)班参加学校社团的情况为(每位同学只能参加其中一项)：A.剪纸社团；B.泥塑社团；C.陶笛社团；D.书法社团；E.合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)该班共有学生 50 人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中,m= 20 ,n= 10 ,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 144 °;
(3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
解：(3)用A，B，C，D，E表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵，画树状图如下：
共有20种等可能的情况，有(A，B)，(B，A)2种情况恰好是小鹏和小兵参加比赛，故恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为

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