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第 14 讲 平行线的性质与判定
典例精练
【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF为菱形(不需要说明理由).
【例2】 (2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA 的延长线上，连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接写出△BCE 的形状.
针对训练
1.(2024湖北)如图,直线AB∥CD,已知∠1=120°,则∠2=( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.(2024 河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
3.(2024北京)如图,直线AB和CD 相交于点O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
4.(2024陕西)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
5.(2024 齐齐哈尔)将一个含 30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.如图,AB与CD 相交于点O,若∠A=∠B=30°,∠C=50°,则∠D=( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
7.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 .
8.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E=∠F.
9.如图,在四边形ABCD中,
(1)求 的度数；
(2)AE平分∠BAD交BC 于点E, .求证:AE∥DC.
10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点 D作. 交AB于点E.
(1)求证:BE=DE;
(2)若 ,求∠BDE的度数.
C
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE平分 交AD于点E,DF平分∠CDA交BC 于点F.求证:BE∥DF.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE平分 交AD 于点E, BE交BC于点F.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求∠CDF的大小.
13.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:
(2)矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形 MPNQ是正方形 (不需要说明理由)
第 14讲 平行线的性质与判定
典例精练
【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF为菱形(不需要说明理由).
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠FAO=∠ECO.
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE.
(2)AE=EC.(答案不唯一)
【例2】 (2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA 的延长线上，连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接写出△BCE 的形状.
解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B.
又∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D.
∴BE∥CD,∴∠E=∠ECD.
(2)等边三角形.
针对训练
1.(2024湖北)如图,直线AB∥CD,已知∠1=120°,则∠2=(B )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.(2024 河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(B)
A.60° B.50° C.40° D.30°
3.(2024 北京)如图,直线AB和CD 相交于点O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,则∠EOB 的大小为(B)
A.29° B.32° C.45° D.58°
4.(2024陕西)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为(B )
A.25° B.35° C.45° D.55°
5.(2024齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.如图,AB与CD 相交于点O,若∠A=∠B=30°,∠C=50°,则∠D=(D )
A.20° B.30° C.40° D.50°
7.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西35°方向,则∠ACB 的大小是 85° .
8.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E=∠F.
证明:∵∠A=∠1,∴AE∥BF.∴∠E=∠2.
又∵CE∥DF,∴∠2=∠F.∴∠E=∠F.
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)AE平分∠BAD交BC 于点E,∠BCD=50°.求证:AE∥DC.
解:(1)∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=80°,∴∠BAD=100°.
(2)证明:∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=50°.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50°.
∵∠BCD=50°,∴∠BCD=∠AEB.∴AE∥DC.
10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠A=80°,∠C=40°,求∠BDE的度数.
解:(1)证明:在△ABC 中,∠ABC的平分线交AC 于点 D,∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD.∴∠ABD=∠EDB,∴BE=DE.
(2)∵∠A=80°,∠C=40°,∴∠ABC=60°.
∵∠ABC的平分线交AC 于点D,
∴∠BDE=∠CBD=30°.
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE平分 交AD 于点E,DF平分∠CDA交BC 于点F.求证:BE∥DF.
证明:∵BE平分∠ABC,DF平分∠CDA,
∵∠ABC=∠CDA,∴∠EBC=∠ADF.
∵AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB.
∴∠AEB=∠ADF.∴BE∥DF.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE平分∠ABC交AD 于点E,DF∥BE交BC于点F.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求∠CDF的大小.
解:(1)∵AB∥CD,∴∠BCD+∠ABC=180°.
∵∠BCD=110°,∴∠ABC=70°.
(2)∵BE平分
∵DF∥BE,∴∠CFD=∠CBE=35°.
13.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM=DN;
(2)矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形 MPNQ是正方形 (不需要说明理由)
解:(1)证明:∵四边形 ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC.∠A=∠C=90°.
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=CN.
在△MBA 和△NDC中
∴△MBA≌△NDC(SAS).∴BM=DN.
(2)当AD=2AB时,四边形MPNQ是正方形.

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