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第 15 讲 简单全等三角形
典例精练
【例1】 (2024成都)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.过点 D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=DF.
(1)求证:△ADE≌CDF;
(2)若∠EDF=60°,AB=6,则四边形ABCD 的面积为 .
【例2】 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC 和CD 上的点,且 DC.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)直接写出 的值: .
针对训练
1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD一定是△ABC的( )
A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线
2.(2024眉山)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点 E，F，过点 E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( )
A.7 B.8 C.10 D.12
3.(2024天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
4.如图,AC与BD 相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
5.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,点D,E,F与点O都不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的条件是( )
A. OD=OE B. OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE
6.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=DE B. AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
7.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，这说明 的依据是全等三角形的 相等.其全等的依据是 .
8.如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是 .
9.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D= °.
10.如图,O是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F.
(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得OE=OF，并说明理由.
(2)连接AE,CF,AB=24,BC=32,直接写出△ABE的面积为 .
11.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
12.(2023江西)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:△ABC≌△ADC.
13.(2023长沙)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
14.如图,E是菱形ABCD的对角线BD 上一点,连接AE,CE.
(1)求证:△ABE≌△CBE;
(2)若AB=3 ,BE=4,当 DE 的长为 时,菱形ABCD 是正方形.
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.求证:
(1)∠BCE=∠CAD;
(2)CE=AD.
16.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF.求证:
(1)△BED≌△CFD;
(2)AD是△ABC的角平分线.
17.如图,在矩形ABCD中,点E在边 BC 上,点 F 在BC 的延长线上,连接AE,DF,且AE=DF.
(1)求证:∠BAE=∠CDF;
(2)若AD=5,AB=4,当CE的长为 时,四边形ADFE为菱形.
第 15讲 简单全等三角形
典例精练
【例1】 (2024成都)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=DF.
(1)求证:△ADE≌CDF;
(2)若∠EDF=60°,AB=6,则四边形ABCD的面积为 18 .
解:(1)证明:∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
∴∠AED=∠CFD=90°.∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.∴∠A=∠C.
在△ADE和△CDF中
【例2】 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC 和CD 上的点,且 DC.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)直接写出 的值： .
解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形.
在△ABE 和△ADF 中
针对训练
1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(B)
A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线
2.(2024·眉山)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于 的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为(C)
A.7 B.8 C.10 D.12
3.(2024天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
4.如图,AC与BD 相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是(B)
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
5.如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,点D,E,F与点O都不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的条件是(D)
A. OD=OE B. OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE
6.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是(B)
A. BC=DE B. AE=DB C.∠A=∠DEF D.∠ABC=∠D
7.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，这说明. 的依据是全等三角形的 对应角 相等.其全等的依据是 SSS .
8.如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 ① 去，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是 ASA .
9.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D= 130 °.
10.如图,O是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F.
(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： AO=CO ，使得OE=OF，并说明理由.
(2)连接AE,CF,AB=24,BC=32,直接写出△ABE 的面积为 84 .
解:(1)AO=CO.理由如下:
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC.
∴∠FAO=∠ECO.
∵EF⊥AC,∴∠AOF=∠COE.
又∵AO=CO,
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴OE=OF.
11.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证: 证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AC=DF.
∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
12.(2023江西)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:△ABC≌△ADC.
证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
13.(2023长沙)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
解:(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACD中.
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)∵△ABE≌△ACD,∴BE=CD=8,AE=AD=6.
在 Rt△ABE中,由勾股定理得.
∴BD=AB-AD=10-6=4.
14.如图,E是菱形ABCD的对角线BD 上一点,连接AE,CE.
(1)求证:△ABE≌△CBE;
(2)若AB=3 ,BE=4,当DE的长为 2 时,菱形ABCD是正方形.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，BD 是菱形的对角线，
∴AB=CB,∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.求证:
(1)∠BCE=∠CAD;
(2)CE=AD.
证明:(1)∵∠ACB=90°,AD⊥CE,
∴∠BCE+∠ACD=90°,∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠BCE=∠CAD.
(2)∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠CDA=∠BEC=90°.
在△BCE和△CAD中,
∴△BCE≌△CAD(AAS).
∴CE=AD.
16.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF.求证:
(1)△BED≌△CFD;
(2)AD是△ABC的角平分线.
证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
(2)由 Rt△BED≌Rt△CFD,得DE=DF.
∴AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
17.如图,在矩形ABCD中,点E在边 BC上,点F 在BC 的延长线上,连接AE,DF,且AE=DF.
(1)求证:∠BAE=∠CDF;
(2)若AD=5,AB=4,当CE的长为 2 时,四边形ADFE为菱形.
解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=∠DCF=90°.
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF中,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴∠BAE=∠CDF.

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