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第 16 讲 等腰三角形的性质与判定
典例精练
【例】 (1)如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形.
(2)如图2,在等边△ABC 中,BC=12,点 D 在BC 上,以 AD为边在其右侧作等边△ADE,F是DE 的中点,连接BF.若BD=4,求 BF的长.
针对训练
1.(2024贵阳)等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为 .
2.(2024大连)一个等腰三角形的两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为
3.(2024昆明)△ABC的高AD,BE所在的直线交于点M.若BM=AC,则∠ABC的度数为
4.如图,在△ABC中,点D 在AB 上,点E 在BC 上,ED为AB 的中垂线.若∠B=∠C,且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2,∠1<∠3 B.∠1=∠2,∠1>∠3
C.∠1≠∠2,∠1<∠3 D.∠1≠∠2,∠1>∠3
5.如图,在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD 上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是( )
A.12 B.9 C.6
6.(2023新疆)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °.
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7.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边 BC的长为3,则腰AB 的长为 .
8.(2024济宁)已知点 P 为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于点M.若CA=1,PM=4,则CB的长为 .
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数是 .
10.如图,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点 D作MN∥BC分别交AB,AC于点M,N,若AB=5,AC=6,则△AMN的周长为 .
11.(2024浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 .
12.(2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC 的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF 的面积为( )
A.18 C.9
13.(2024福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是( )
A. OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB
C. OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180°
14.(2024天津)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D，E，延长BA交DE 于点F，下列结论一定正确的是( )
A.∠ACB=∠ACD B. AC∥DE
C. AB=EF D. BF⊥CE
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15.如图，在等边三角形ABC中，点M为边AB上任意一点，延长BC至点N，使( 连接MN交AC于点P, 于点 H.
(1)求证:
(2)若 求线段 PH的长(结果用含a的代数式表示).
16.如图1,在 中， AB的垂直平分线交AB,AC于D,E两点,连接BE,
(1)若 的周长为19，直接写出BC的长；
(2)如图2,取BC的中点F,连接AF交DE于O,若 求证：
第 16 讲 等腰三角形的性质与判定
典例精练
【例】 (1)如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形.
(2)如图2,在等边△ABC中,BC=12,点 D 在 BC 上,以AD为边在其右侧作等边△ADE,F是DE 的中点,连接BF.若BD=4,求 BF 的长.
解:(1)△ABD≌△ACE.
(2)过点 E作EN⊥BC交BC 的延长线于点N,取 DN的中点M,连接MF,CE.
∵F是DE 的中点,
∵EN⊥BC,∴∠BNE=90°.∴∠BMF=90°.
由(1)知,△ABD≌△ACE.∴BD=CE=4,∠ABD=∠ACE=60°.∴∠ECN=60°.
在Rt△ECN中,CE=4,∠CEN=90°-60°=30°,∴CN=2,EN=2
在 Rt△FBM中,
针对训练
1.(2024 贵阳)等腰三角形两边的长分别为5 和6，则其周长为 16或17 .
2.(2024大连)一个等腰三角形的两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 20°或120° .
3.(2024昆明)△ABC的高AD,BE 所在的直线交于点M.若BM=AC,则∠ABC的度数为 45°或135° .
4.如图,在△ABC中,点D 在AB 上,点E在BC 上,ED为AB 的中垂线.若∠B=∠C,且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是(B)
A.∠1=∠2,∠1<∠3 B.∠1=∠2,∠1>∠3
C.∠1≠∠2,∠1<∠3 D.∠1≠∠2,∠1>∠3
5.如图,在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD 上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是(B.)
A.12 B.9 C.6
6.(2023新疆)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= 52 °.
7.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边 BC的长为3,则腰AB 的长为 6 .
8.(2024济宁)已知点 P 为线段CB上方一点,CA⊥CB,PA⊥PB,且PA=PB,PM⊥BC于点M.若CA=1,PM=4,则CB的长为 7或9 .
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数是 36°.
10.如图,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点 D作MN∥BC分别交AB,AC于点M,N,若AB=5,AC=6,则△AMN的周长为 11 .
11.(2024 浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则 BE的长为 4 .
12.(2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF 的面积为( C)
A.18 B.9 C.9 D.6
13.(2024福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是(B)
A. OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB
C. OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180°
14.(2024天津)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D，E，延长BA交DE 于点F，下列结论一定正确的是(D)
A.∠ACB=∠ACD B. AC∥DE
C. AB=EF D. BF⊥CE
15.如图，在等边三角形ABC中，点M为边AB 上任意一点，延长BC至点N，使( 连接MN交AC于点 P,MH⊥AC于点 H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
解:(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q.
在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N.
∴△AMQ是等边三角形,即AM=QM.∵AM=CN,∴QM=CN.
在△QMP和△CNP中,
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ.∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP.
16.如图1,在△ABC中,AB=AC ,AB的垂直平分线交AB,AC于D,E两点,连接BE,
(1)若AD=6,△BEC的周长为19,直接写出BC的长;
(2)如图2,取BC的中点F,连接AF交DE 于O,若 ,求证:CE=2OD+OE.
解:(1)BC=7.
(2)证明:连接OB,OC,过O点作OH⊥AC交AC于H.
∵AB=AC,F是BC的中点,∴AF垂直平分BC,∴OB=OC.
∵DE是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∠ADE=90°,∴OA=OC.
∵∠BAC=30°,∴AE=2DE,∠AED=60°,∴∠HOE=30°,HE= OE.

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