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第8章 整式乘法与因式分解
8.3.1 完全平方公式
学习目标与重难点
学习目标：
1.会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算。
2.了解完全平方公式的几何背景。
3.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
4.通过完全平方公式的发现和推导过程，培养观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力。
学习重点：
完全平方公式的推导及其应用及理解公式的结构特征和应用。
学习难点：
掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的广泛含义，能灵活运用公式进行简单的计算。
教学过程
一、问题导入
计算：
(a+1)2=(a+1)(a+1)=___________________=___________________;
(a+2)2=(a+2)(a+2)=___________________=___________________;
(a+3)2=(a+3)(a+3)=___________________=___________________;
(a-1)2=(a-1)(a-1)=___________________=___________________;
(a-2)2=(a-2)(a-2)=___________________=___________________;
(a-3)2=(a-3)(a-3)=___________________=___________________。
思考：观察上列等式，你有什么发现吗？
二、新知探究
探究：完全平方公式
教材第74页
猜测：(a+b)2=___________________;
(a-b)2=___________________。
验证：你能通过计算验证这两个等式吗？
【归纳】
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
上面两个等式称为完全平方公式。
完全平方公式用语言叙述是：
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.
注意：两个完全平方公式可以直接使用，公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式.
观察
完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到.观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
(a+b)2=a2+2ab+( )2
(a+b)2=a2-( )+b2
三、例题探究
例1 利用乘法公式计算:(1)(2x+y)2;　　　　 (2)(3a-2b)2.
注意：运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么.
例2 利用乘法公式计算:(-m-2n)2.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列多项式中是完全平方式的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.计算(2x+1)2的结果为 (　 )
A.-4x2+4x+1　　　 B.-4x2-4x-1　　　 C.4x2+4x+1　　　 D.4x2-4x-1
3.若，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．5 D．3或
选做题
4.若则的值为 ．
5.已知是完全平方式，则 ．
6.已知为实数，要使多项式是完全平方式，则k的值为 ．
【综合拓展类作业】
7.先化简，再求值：，其中．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
2.已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则的值为（ ）
A．16 B．28 C．24 D．22
3.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知，求下列各式的值；
(1)；
(2)；
(3)．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解:依题意，是完全平方式，故①符合题意；
不是完全平方式，故②不符合题意；
不是完全平方式，故③不符合题意；
不是完全平方式，故④不符合题意；
故是完全平方式的只有①
2.【答案】C
【解析】解：(2x+1)2=4x2+4x+1　　　
3.【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，的值为或3．
4.【答案】
【解析】解：∵
∴
∴，
∴
5.【答案】
【解析】解：是完全平方式，
，
即：
6.【答案】
【解析】解：∵
7.【答案】解：
.
当时，原式．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：
，
∵为任意整数，
∴是整数，
∴的值总能被整除．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得：，，
∴，
∴．
3.【答案】D
【解析】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意．
4．【答案】(1)10
(2)
(3)
【解析】解：（1）解：依题意，，
则
即．
（2）解：由（1）得，
∵，
则，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，
．
或
（，故舍去）．
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