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专题强化2　平抛运动规律的应用
(分值：100分)
1~7题每题7分，共49分
1.如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ=30°，滑雪运动员从斜坡的起点A水平飞出，经过2 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，则运动员离开A点时的速度大小为(　　)
A.5 m/s B.5 m/s
C.10 m/s D.10 m/s
2.(2023·茂名市高一期中)如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向向右射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的有(　　)
3.如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　)
A.1 s B.2 s C.3 s D.4 s
4.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0水平抛出，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2023·广州市高一期中)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为(　　)
A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16
6.(2023·深圳市高一期中)如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15 m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的A点。忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为(　　)
A.20 m/s B.15 m/s
C.10 m/s D.5 m/s
7.如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为(　　)
A. B. C. D.
8~10题每题9分，11题14分，共51分
8.(2023·潮州市高一期中)如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0。现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下图像中能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系的是(　　)
9.(2023·深圳市高一期末)如图所示，位于同一水平高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，且小球B恰好垂直打到斜面上，则(　　)
A.小球B从抛出到落在C点用时更短
B.两小球初速度v1、v2之比为2∶3
C.两小球的位移大小相等
D.两小球抛出点距C点水平距离之比为3∶2
10.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A.b与c之间某一点 B.c点
C.c与d之间某一点 D.d点
11.(14分)如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为多大？
(10分)
12.(多选)(2023·广州市高一期中)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(　　)
A.两球抛出的速率之比为1∶3
B.若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
答案精析
1.D　[滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x=v0t，在竖直方向有y=gt2，根据题意tan 30°==，解得v0=10 m/s，故选D。]
2.B　[平抛运动的位移角(与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β=2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平初速度方向的夹角都小于90°。故选B。]
3.C　[由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平=OM=2QM=6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t==3 s，故选C。]
4.A　[如图所示，对在B点时的速度进行分解，有tan α==，则小球运动的时间t=，则A、B间的水平距离x=v0t=，故A正确，B、C、D错误。]
5.D　[根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x=v0t，y=gt2，tan θ=，解得t=，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB=tan 37°∶tan 53°=9∶16，A、B、C错误，D正确。]
6.C　[轰炸机的飞行高度为H=15 m，设炸弹的飞行时间为t，初速度为v0，A点的高度为h，则炸弹的水平位移为x= v0t，竖直方向有y=gt2，vy=gt，垂直击中山坡上的A点，则根据速度的分解有tan θ=，根据几何关系可知H=y+x，代入数据解得v0=10 m/s，故选C。]
7.B　[设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为t，根据几何关系可知OB连线与水平方向的夹角的正弦值为，因此小球从P点到B点的水平位移为1.6R，设初速度大小为v0，则0.8R=gt2，1.6R=v0t，联立解得v0=，故B正确，A、C、D错误。]
8.C　[若v>v0，则小球抛出后落在水平面上，其运动时间均相等，不会随v变化；若v9.D　[小球A、B到C点的竖直高度相等，则有h=gt2，解得t=，可知小球A、B从抛出到落在C点用时相等，故A错误；小球B恰好垂直打到斜面上，可得tan 30°=，小球A也落到C点时tan 30°=，联立可得v1∶v2=3∶2，则水平位移之比为x1∶x2=v1t∶v2t=3∶2，竖直位移相等，水平位移不等，则位移大小不相等，故D正确，B、C错误。]
10.A　[当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点，故选A。]
11.
解析　小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
vy=v0tan 60°，
小球从C到D，水平方向有Rsin 60°=v0t，
竖直方向上有y=t，解得y=R，
故C点到B点的距离为s=y-R(1-cos 60°)=。
12.AB　[由于两球从抛出点到Q点的竖直位移相等，则运动时间相等，x1=v1t，x2=v2t，由几何关系可知x2=3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R=(v1+v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1+v2)t=2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。]专题强化2　平抛运动规律的应用
［学习目标］　1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。2.掌握平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点，会运用平抛运动规律解决相关问题(重难点)。
一、平抛运动的两个重要推论
1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ==　　　 ①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ=　　　　=　　　 ②
联立①②式解得xOB=v0t=xA。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ=__________①
位移偏向角的正切值
tan α==　　　　=　　　 ②
联立①②式可得tan θ=2tan α。
例1　(2023·东莞市高一期末)如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30的速度水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则(　　)
A.>> B.<<
C.== D.条件不足，无法比较
例2　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　)
A.d B.2d C.d D.d
二、与斜面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度矢量三角形 vx=v0 vy=gt tan θ==
已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移矢量三角形 x=v0t y=gt2 tan θ==
在斜面外水平抛出，落在斜面上，位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x=v0t y=gt2 tan θ==
例3　(2023·广东揭阳第一中学高一期中)从A点以初速度v0=3 m/s水平抛出一个小球，落在倾角为37°的斜面上的B点，小球到达B点时速度方向恰好与斜面垂直。已知g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)小球到达B点时的速度大小；
(2)A、B两点的高度差。
例4　(2023·清远市高一期中)跳台滑雪是勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得较高速度后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0=20 m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间；
(2)落到斜面上时的位移大小。
拓展　运动员何时离斜面最远？
三、与曲面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿圆弧在该点的切线方向 分解速度，构建速度矢量三角形 vx=v0 vy=gt tan θ==
从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建矢量速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ==
从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移关系 x=v0t y=gt2 R2=(x-R)2+y2
例5　(2023·佛山市高一月考)如图所示，一个半圆形轨道放置在水平地面上，轨道半径为R，O点为其圆心，从轨道最左端M点正上方的某处以初速度v0(其中=，g为重力加速度)水平抛出一个小球，小球落在半圆轨道上时速度恰好沿NO方向，NO与水平方向的夹角为60°，则小球抛出点到N点的高度差为(　　)
A.R B.R
C.R D.R
答案精析
一、
1.　　
2.　　例1　C　[设小球落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α=====2tan θ，
所以==，选项C正确。]
例2　C　[把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
-=d，
解得x=d，故选C。]
例3　(1)5 m/s　(2)0.8 m
解析　(1)落到B点时，有sin 37°=，
代入数据得v=5 m/s
(2)在B点竖直方向速度vy满足tan 37°=
又=2gh，代入数据得h=0.8 m。
例4　(1)3 s　(2)75 m
解析　(1)运动员做平抛运动，
则tan 37°==
解得t== s=3 s
(2)落到斜面上时的位移大小s== m=75 m
拓展　如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，
tan 37°=，
即tan 37°=，解得t2==1.5 s。
例5　A　[将小球在N点时的速度分解，如图所示，在竖直方向则有vy=v0tan 60°=v0，由自由落体运动的速度位移关系公式可得=2gh，解得h====R，故选A。](共52张PPT)
DIYIZHANG
第一章
专题强化2　平抛运动规律的应用
1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。
2.掌握平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点，会运用平抛运动规律解决相关问题(重难点)。
学习目标
一、平抛运动的两个重要推论
二、与斜面有关的平抛运动
专题强化练
内容索引
三、与曲面有关的平抛运动
平抛运动的两个重要推论
一
1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ== ①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ= = ②
联立①②式解得xOB=v0t=xA。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ= ①
位移偏向角的正切值
tan α== = ②
联立①②式可得tan θ=2tan α。
　(2023·东莞市高一期末)如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30的速度水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则
A.>> B.<<
C.== D.条件不足，无法比较
例1
√
设小球落到斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α===
==2tan θ，
所以==，选项C正确。
　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
A.d B.2d
C.d D.d
例2
√
把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
-=d，
解得x=d，故选C。
返回
与斜面有关的平抛运动
二
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度矢量三角形
vx=v0
vy=gt
tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移矢量三角形
x=v0t
y=gt2
tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位移方向 在斜面外水平抛出，落在斜面上，位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移
x=v0t
y=gt2
tan θ==
　(2023·广东揭阳第一中学高一期中)从A点以初速度v0=3 m/s水平抛出一个小球，落在倾角为37°的斜面上的B点，小球到达B点时速度方向恰好与斜面垂直。已知g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)小球到达B点时的速度大小；
例3
答案　5 m/s
落到B点时，有sin 37°=，
代入数据得v=5 m/s
(2)A、B两点的高度差。
答案　0.8 m
在B点竖直方向速度vy满足tan 37°=
又=2gh，代入数据得h=0.8 m。
　(2023·清远市高一期中)跳台滑雪是勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得较高速度后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0=20 m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间；
例4
答案　3 s　
运动员做平抛运动，
则tan 37°==
解得t== s=3 s
(2)落到斜面上时的位移大小。
答案　75 m
落到斜面上时的位移大小s== m=75 m
拓展　运动员何时离斜面最远？
答案　如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，
tan 37°=，
即tan 37°=，解得t2==1.5 s。
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与曲面有关的平抛运动
三
情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿圆弧在该点的切线方向 分解速度，构建速度矢量三角形
vx=v0
vy=gt
tan θ==
情景示例 解题策略
从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建矢量速度三角形
vx=v0
vy=gt
tan θ==
从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移关系
x=v0t
y=gt2
R2=(x-R)2+y2
　(2023·佛山市高一月考)如图所示，一个半圆形轨道放置在水平地面上，轨道半径为R，O点为其圆心，从轨道最左端M点正上方的某处以初速度v0(其中=，g为重力加速度)水平抛出一个小球，小球落在半圆轨道上时速度恰好沿NO方向，NO与水平方向的夹角为60°，则小球抛出点到N点的高度差为
A.R B.R
C.R D.R
例5
√
将小球在N点时的速度分解，如图所示，在竖直方向
则有vy=v0tan 60°=v0，由自由落体运动的速度位
移关系公式可得=2gh，解得h====R，故选A。
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专题强化练
四
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D C B C
题号 9 10 11 12
答案 D A AB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ=30°，滑雪运动员从斜坡的起点A水平飞出，经过2 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，则运动员离开A点时的速度大小为
A.5 m/s B.5 m/s
C.10 m/s D.10 m/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
基础强化练
√
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x=v0t，在竖
直方向有y=gt2，根据题意tan 30°==，解得v0=
10 m/s，故选D。
12
答案
2.(2023·茂名市高一期中)如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向向右射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的有
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
平抛运动的位移角(与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β=2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平初速度方向的夹角都小于90°。故选B。
12
答案
3.如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为
A.1 s B.2 s
C.3 s D.4 s
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移x水平=OM=2QM=6 m。由于水平方向做匀速直线运动，
则小球运动的时间为t==3 s，故选C。
12
答案
4.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0水平抛出，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
如图所示，对在B点时的速度进行分解，有tan α ==，则小球运动的时间t=，则A、B间的水平距离x=v0t=，故A正确，B、C、D错误。
12
答案
5.(2023·广州市高一期中)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为
A.1∶1 B.4∶3
C.16∶9 D.9∶16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x=v0t，
y=gt2，tan θ=，解得t=，两小球的初速度大
小相等，所以时间之比为tA∶tB=tan 37°∶tan 53°
=9∶16，A、B、C错误，D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
6.(2023·深圳市高一期中)如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15 m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的A点。忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为
A.20 m/s B.15 m/s
C.10 m/s D.5 m/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
12
答案
1
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轰炸机的飞行高度为H=15 m，设炸弹的飞行时间为t，
初速度为v0，A点的高度为h，则炸弹的水平位移为x=v0t，
竖直方向有y=gt2，vy=gt，垂直击中山坡上的A点，则根
据速度的分解有tan θ=，根据几何关系可知H=y+x，代入数据解得v0=10 m/s，故选C。，
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答案
7.如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为
A. B.
C. D.
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答案
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设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为t，根据几何
关系可知OB连线与水平方向的夹角的正弦值为，因此
小球从P点到B点的水平位移为1.6R，设初速度大小为v0，则0.8R=gt2，1.6R=v0t，联立解得v0=，故B正确，A、C、D错误。
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答案
8.(2023·潮州市高一期中)如图所示，水平面上固定有一个
斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，
小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0。现用不同
的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下图像中能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系的是
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能力综合练
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若v>v0，则小球抛出后落在水平面上，其运动时间
均相等，不会随v变化；若v设小球运动时间为t，斜面倾斜角为θ，则其水平位
移x=vt，竖直位移y=gt2，tan θ=，解得t=∝v，故选C。
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答案
9.(2023·深圳市高一期末)如图所示，位于同一水平高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，且小球B恰好垂直打到斜面上，则
A.小球B从抛出到落在C点用时更短
B.两小球初速度v1、v2之比为2∶3
C.两小球的位移大小相等
D.两小球抛出点距C点水平距离之比为3∶2
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小球A、B到C点的竖直高度相等，则有h=gt2，解
得t=，可知小球A、B从抛出到落在C点用时相
等，故A错误；
小球B恰好垂直打到斜面上，可得tan 30°=，小球A也落到C点时
tan 30°=，联立可得v1∶v2=3∶2，则水平位移之比为x1∶x2=v1t∶
v2t=3∶2，竖直位移相等，水平位移不等，则位移大小不相等，故D正确，B、C错误。
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答案
10.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)
A.b与c之间某一点 B.c点
C.c与d之间某一点 D.d点
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当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点，故选A。
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答案
11.如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为多大？
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答案　
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答案
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小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
vy=v0tan 60°，
小球从C到D，水平方向有Rsin 60°=v0t，
竖直方向上有y=t，解得y=R，
故C点到B点的距离为s=y-R(1-cos 60°)=。
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答案
12.(多选)(2023·广州市高一期中)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是
A.两球抛出的速率之比为1∶3
B.若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，
两球抛出的速率之和不变
D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
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尖子生选练
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由于两球从抛出点到Q点的竖直位移相等，则运动
时间相等，x1=v1t，x2=v2t，由几何关系可知x2=3x1，
所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；
由2R=(v1+v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；
要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1+v2)t=2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；
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由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可
知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速
度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。
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答案

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