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第三节　生活中的圆周运动
(分值：100分)
1~8题每题7分，共56分
考点一　公路弯道
1.(2023·广州市高一期中)汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是(　　)
A.f甲小于f乙
B.f甲等于f乙
C.f甲大于f乙
D.f甲和f乙大小均与汽车速度无关
2.(2023·中山市高一期末)为了使赛车快速安全通过弯道，有些赛车道转弯处通常设计成赛道表面外侧高，内侧低。某赛道急转弯处是一圆弧，赛道表面倾角为θ，如图所示，当赛车行驶的速率为v时，恰好没有向赛道内、外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)
A.赛车受到重力、支持力和向心力
B.赛车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C.车速高于v，车辆便会向弯道外侧滑动
D.若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小
3.(2023·茂名市高一期末)如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　)
A.50 m B.100 m C.150 m D.200 m
考点二　铁路弯道
4.(多选)(2023·惠州市高一期中)火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。在该转弯处规定的安全行驶的速度为v，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　)
A.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=
B.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=
C.当实际行驶速度大于v时，轮缘挤压内轨
D.当实际行驶速度小于v时，轮缘挤压内轨
5.火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车提速后使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)
A.仅减小弯道半径
B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内、外轨道的高度差
D.仅适当减小内、外轨道平面的倾角
6.如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm，高度差为143.5 mm，转弯半径为400 m，由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sin θ=tan θ，重力加速度g取10 m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为(　　)
A.36 km/h B.54 km/h
C.72 km/h D.98 km/h
考点三　拱形与凹形路面
7.(多选)(2023·佛山市高一月考)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。某辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶，其中某段路面的水平观察视角如图所示，图中虚线是水平线，下列说法正确的是(　　)
A.若汽车速率不变，经过图中A处最容易超压报警
B.若汽车速率不变，经过图中B处最容易超压报警
C.若要尽量使胎压报警器不会超压报警，应增大汽车的速度
D.若要尽量使胎压报警器不会超压报警，应减小汽车的速度
8.一质量为m的汽车以2v的速度经过拱形桥面顶端时对桥面的压力为零，重力加速度为g。则该汽车以速度v经过顶端时对桥面的压力大小F为(　　)
A.0.25mg B.0.5mg C.0.75mg D.mg
9、10题每题9分，11题12分，共30分
9.(多选)(2023·汕头市联考)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
10.如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0=，g为重力加速度，不计空气阻力，则小物块(　　)
A.将沿半圆柱形物体表面滑下来
B.落地时水平位移为R
C.落地时速度大小为2
D.落地时速度方向与水平地面成60°角
11.(12分)(2023·江门市新会第一中学高一期中)如图所示，某辆质量为1.5×103 kg的汽车静止在某座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部。(取g=10 m/s2)
(1)(2分)此时圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大；
(2)(4分)如果汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥顶部的压力是多大；
(3)(6分)如果拱桥的半径增大到与地球半径R(约为6 400 km)一样，汽车要在“超大桥面”上腾空，速度至少要多大。
12.(14分)如图，某场地自行车比赛的圆形赛道的路面与水平面的夹角为15°，sin 15°=0.259，cos 15°=0.966，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。
(1)(6分)某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60 m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少？
(2)(8分)若该运动员骑自行车以18 m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100 kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？方向如何？
答案精析
1.A　[由于摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，则有f=m，可知在速率一定的情况下，半径越大，向心力越小，即f甲2.D　[赛车受到重力、支持力的作用，合力提供向心力，故A、B错误；
速度高于v时，摩擦力指向内侧，只要速度不超出最高限度，车辆不会侧滑，故C错误；
根据合力提供向心力有mgtan θ=m，解得v=
所以若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小，故D正确。]
3.A　[汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，就是10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，代入数据解得最小转弯半径为R== m=50 m，故选A。]
4.AD　[火车以该转弯处规定的安全行驶的速度v行驶时，内、外轨道均不受侧压力作用，火车所受的重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ=m，解得v=，故A正确，B错误；当实际行驶速度大于v时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，轮缘挤压外轨，故C错误；当实际行驶速度小于v时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，轮缘挤压内轨，故D正确。]
5.B　[设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内、外轨均不受挤压时，有mgtan θ=m，解得v=，故可知当速度增大时，可增大弯道半径，A错误，B正确；根据以上分析，当速度增大时，增大θ可避免外轨受损；而当减小内、外轨道的高度差时，θ在减小，减小内、外轨道平面的倾角时，θ也在减小，故不能避免转弯时外轨受损，C、D错误。]
6.C　[由题知sin θ=。在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有mgtan θ=，可得v===20 m/s=72 km/h，A、B、D错误，C正确。]
7.AD　[在A处和B处，汽车的向心加速度方向分别为向上和向下，所以在A处和B处汽车分别处于超重状态和失重状态，若汽车速率不变，经过题图中A处最容易超压报警，故A正确，B错误；在A处，根据牛顿第二定律有FN-mg=m，得FN=m+mg，可知若要尽量使胎压报警器不会超压报警，应减小汽车的速度，故D正确，C错误。]
8.C　[汽车速度为2v时，重力恰好提供向心力，则有mg=m，当速度变为v时，此时所需向心力减小，桥面对汽车有向上的支持力，则有mg-FN=m，联立解得FN=0.75mg，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小为0.75mg，故C正确，A、B、D错误。]
9.AC　[路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供做圆周运动的向心力，故A正确；车速低于v0，所需的向心力减小，此时静摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不一定会向内侧滑动，故B错误；当速度为v0时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于v0时，静摩擦力指向内侧，只要速度不超出最高限度，车辆便不会向外侧滑，故C正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则v0的值不变，故D错误。]
10.C　[设小物块在半圆柱形物体顶端做圆周运动的临界速度为vc，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定律得mg=m，解得vc=，因为v0>vc，所以小物块将离开半圆柱形物体做平抛运动，A错误；小物块做平抛运动时竖直方向满足R=gt2，水平位移为x=v0t，联立解得x=2R，B错误；小物块落地时竖直方向分速度大小为vy=gt=，落地时速度的大小为v=，联立解得v=2，由于vy=v0，故落地时速度方向与水平地面成45°角，C正确，D错误。]
11.(1)1.5×104 N　(2)1.2×104 N　(3)8 000 m/s
解析　(1)汽车受重力mg和拱桥的支持力FN1，二力平衡，故有FN1=mg=1.5×104 N。
(2)汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部时，根据牛顿第二定律有mg-FN2=m
解得FN2=1.2×104 N
根据牛顿第三定律，汽车对拱桥顶部的压力大小为1.2×104 N。
(3)汽车在“超大桥面”上腾空时，受到桥面的支持力为零，设速度至少为v'，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg=m，
解得v'=8 000 m/s。
12.(1)12.68 m/s　(2) 262.58 N，沿斜面向下
解析　(1)自行车不受摩擦力时，受力分析如图所示
由mgtan 15°=m
得v==12.68 m/s
(2)当v=18 m/s时，v>12.68 m/s，自行车会受到沿斜面向下的摩擦力，
由(mg+fsin 15°)tan 15°+fcos 15° =m，
解得f≈262.58 N，方向沿斜面向下。第三节　生活中的圆周运动
［学习目标］　1.会分析汽车转弯过程中的向心力的来源，并会求临界速度(重点)。2.会分析火车转弯问题中向心力的来源，并会求火车转弯的规定速度(重难点)。3.会分析汽车驶过拱形与凹形路面在最高点和最低点时对路面压力的大小。
一、公路弯道
1.汽车在水平路面转弯时，所需的向心力由什么提供？同样的转弯半径，是高速转弯较安全还是低速转弯较安全？
2.怎样设计路面才能使汽车过弯道时不必大幅减速而又能安全通过呢？
汽车转弯时的向心力分析
　　路面种类 分析
水平路面 内低外高的路面(车轮沿斜坡方向所受静摩擦力为0时)
受力情况
向心力来源 　　　　　 ____________
向心力关系式 f=　　　 _________=m
速度大小 v=　　　 v=_________
例1　如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100 m，汽车的质量m=1 500 kg，重力加速度g=10 m/s2。
(1)当汽车以v1=20 m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
(2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ=，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？
(3)通过弯道路面内外高差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm运动，则转弯处的路面应怎样设计？请计算说明。
二、铁路弯道
火车轨道和火车轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示。
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？
铁路弯道的特点：外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=　　　　　　　　，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。
若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车行驶速度大于v0时，轮缘受到哪个轨道的侧向压力？当火车行驶速度小于v0呢？
例2　(2023·东莞市高一期末)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　)
A.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C.该弯道的半径R=
D.按规定速度行驶时，火车受到的支持力小于自身的重力
三、拱形与凹形路面
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
桥或路面对汽车的支持力 _______=m，FN=G-m _______=m，FN=G+m
汽车对桥或路面的压力 FN'=FNG
处于超重还是失重状态 　　　 　　　
讨论 v增大，FN'　　；当v增大到时，FN'=0 v增大，FN'　　　
汽车在桥面最高点即将飞离桥面时所受支持力恰好为0，此时只有重力提供向心力，即mg=，得v=，若超过这个速度，汽车做什么运动？
例3　(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　)
A.汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B.车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力
C.桥对车的支持力小于汽车的重力
D.为了防止爆胎，车应高速驶过
例4　质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥，则：
(1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车处于超重还是失重？
(2)如果设计为凹桥，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对桥的压力大小，此时汽车处于超重还是失重(g=10 m/s2)？
答案精析
一、
1.汽车转弯的向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供，根据向心力公式有f=m，同样的转弯半径，速度越大，向心力越大，静摩擦力f越大，静摩擦力达到最大静摩擦力时，速度再增大，车会发生侧滑，所以低速转弯较安全。
2.为了使汽车不必大幅减速而又能安全通过弯道，公路弯道处应设计为外高内低。汽车的重力和路面的支持力的合力完全提供向心力，此时汽车不受侧向的摩擦力，则有mgtan θ=m，解得汽车转弯的速度v=。由此可知，为了使汽车快速安全地通过公路弯道，设计路面应适当增大弯道半径和路面的倾角。
梳理总结
静摩擦力f　重力和支持力的合力　m　mgtan θ　　
例1　(1)6 000 N　(2)5 m/s　(3)θ=37°，见解析
解析　(1)由题意，根据向心力公式F=m
解得所需向心力F=6 000 N
(2)当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有
fm=μmg=m
解得最大速率vm=5 m/s
(3)若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm，且要求汽车刚好不受径向的摩擦力作用，则转弯处的路面应设计成“外高内低”的情况，设路面的斜角为θ，作出汽车的受力示意图，如图所示，根据牛顿第二定律有
mgtan θ=m，解得tan θ=
即转弯路面的倾角θ=37°。
二、
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
(2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。
梳理总结
讨论与交流
若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力， 外轨易损坏。
若v例2　C　[当火车以规定速率v行驶时，转弯时的向心力由重力与铁轨对火车的支持力提供，由牛顿第二定律得mgtan θ=m，可得R=，v=，可知火车转弯时的规定速度与火车的质量无关，故C正确，B错误；当火车速率大于v时，重力与铁轨对火车的支持力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故A错误；按规定速度行驶时，火车受到的支持力大小为FN=，显然支持力大于重力，故D错误。]
三、
G-FN　FN-G　失重　超重　减小　增大
讨论与交流
平抛运动。
例3　AB　[由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所需要的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供，即FN-mg=，即桥对车的支持力大于汽车的重力，即车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误；因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。]
例4　(1)2.4×104 N　失重　(2)3.6×104 N　超重
解析　(1)汽车到达桥最高点时，速度v=36 km/h=10 m/s，竖直方向受重力和支持力，
二力的合力提供向心力有mg-FN=
则支持力为FN=mg-
可得FN=2.4×104 N
由牛顿第三定律知桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态；
(2)最低点时对汽车有FN'-mg=
可得FN'=+mg=3.6×104 N
由牛顿第三定律知桥所受的压力大小为3.6×104 N，大于重力，所以汽车处于超重状态。(共55张PPT)
DIERZHANG
第二章
第三节　生活中的圆周运动
1.会分析汽车转弯过程中的向心力的来源，并会求临界速度(重点)。
2.会分析火车转弯问题中向心力的来源，并会求火车转弯的规定速度(重难点)。
3.会分析汽车驶过拱形与凹形路面在最高点和最低点时对路面压力的大小。
学习目标
一、公路弯道
二、铁路弯道
课时对点练
内容索引
三、拱形与凹形路面
公路弯道
一
1.汽车在水平路面转弯时，所需的向心力由什么提供？同样的转弯半径，是高速转弯较安全还是低速转弯较安全？
答案　汽车转弯的向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供，根据向心力公式有f=m，同样的转弯半径，速度越大，向心力越大，静摩擦力f越大，静摩擦力达到最大静摩擦力时，速度再增大，车会发生侧滑，所以低速转弯较安全。
2.怎样设计路面才能使汽车过弯道时不必大幅减速而又能安全通过呢？
答案　为了使汽车不必大幅减速而又能安全通过弯道，公路弯道处应设计为外高内低。汽车的重力和路面的支持力的合力完全提供向心力，此时汽车不受侧向的摩擦力，则有mgtan θ=m，解得汽车转弯的速度v=。由此可知，为了使汽车快速安全地通过公路弯道，设计路面应适当增大弯道半径和路面的倾角。
汽车转弯时的向心力分析
梳理与总结
　　 路面种类 分析 水平路面 内低外高的路面(车轮沿斜坡方向所受静摩擦力为0时)
受力情况
向心力来源 __________ ___________________
向心力关系式 f=_____ =m
速度大小 v=_____ v=_________
静摩擦力f
重力和支持力的合力
m
mgtan θ
　如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100 m，汽车
的质量m=1 500 kg，重力加速度g=10 m/s2。
(1)当汽车以v1=20 m/s的速率行驶时，其所需的向心力
为多大？
例1
答案　6 000 N　
由题意，根据向心力公式F=m
解得所需向心力F=6 000 N
(2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ=，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？
答案　5 m/s　
当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有
fm=μmg=m
解得最大速率vm=5 m/s
(3)通过弯道路面内外高差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm运动，则转弯处的路面应怎样设计？请计算说明。
答案　θ=37°，见解析
若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm，且要求汽车刚好不受径向的摩擦力作用，则转弯处的路面应设计成“外高内低”的情况，设路面的斜角为θ，作出汽车的受力示意图，如图所示，根据牛顿第二定律有
mgtan θ=m，解得tan θ=
即转弯路面的倾角θ=37°。
返回
铁路弯道
二
火车轨道和火车轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示。
答案　如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
答案　如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？
铁路弯道的特点：外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=_________，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。
梳理与总结
若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车行驶速度大于v0时，轮缘受到哪个轨道的侧向压力？当火车行驶速度小于v0呢？
讨论与交流
答案　若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力， 外轨易损坏。
若v　(2023·东莞市高一期末)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是
A.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C.该弯道的半径R=
D.按规定速度行驶时，火车受到的支持力小于自身的重力
例2
√
当火车以规定速率v行驶时，转弯时的向心力由
重力与铁轨对火车的支持力提供，由牛顿第二
定律得mgtan θ=m，可得R=，v=，
可知火车转弯时的规定速度与火车的质量无关，故C正确，B错误；
当火车速率大于v时，重力与铁轨对火车的支持力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故A错误；
按规定速度行驶时，火车受到的支持力大小为FN=，显然支持力
大于重力，故D错误。
返回
拱形与凹形路面
三
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
桥或路面对汽车的支持力 =m，FN=G-m =m，FN=G+m
汽车对桥或路面的压力 FN'=FNG
G-FN
FN-G
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
处于超重还是失重状态 ______ ______
讨论 v增大，FN' ；当v增大到时，FN'=0 v增大，FN'______
失重
超重
减小
增大
汽车在桥面最高点即将飞离桥面时所受支持力恰好为0，此时只有重力提供向心力，即mg=，得v=，若超过这个速度，汽车做什么运动？
讨论与交流
答案　平抛运动。
　(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时
A.汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B.车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力
C.桥对车的支持力小于汽车的重力
D.为了防止爆胎，车应高速驶过
例3
√
√
由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所需要
的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供，
即FN-mg=，即桥对车的支持力大于汽车的重力，即车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误；
因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。
　质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥，则：
(1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车处于超重还是失重？
例4
答案　2.4×104 N　失重　
汽车到达桥最高点时，速度v=36 km/h=10 m/s，竖直方向受重力和支持力，
二力的合力提供向心力有mg-FN=
则支持力为FN=mg-
可得FN=2.4×104 N
由牛顿第三定律知桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态；
(2)如果设计为凹桥，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对桥的压力大小，此时汽车处于超重还是失重(g=10 m/s2)？
答案　3.6×104 N　超重
最低点时对汽车有FN'-mg=
可得FN'=+mg=3.6×104 N
由牛顿第三定律知桥所受的压力大小为3.6×104 N，大于重力，所以汽车处于超重状态。
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课时对点练
四
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A AD B C AD C
题号 9 10 11 12
答案 AC C (1)1.5×104 N　(2)1.2×104 N (3)8 000 m/s (1)12.68 m/s (2) 262.58 N，沿斜面向下
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考点一　公路弯道
1.(2023·广州市高一期中)汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是
A.f甲小于f乙
B.f甲等于f乙
C.f甲大于f乙
D.f甲和f乙大小均与汽车速度无关
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基础对点练
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答案
由于摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，则有f=m，可知在速率一定的情况下，半径越大，向心力越小，即f甲1
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答案
2.(2023·中山市高一期末)为了使赛车快速安全通过弯道，有些赛车道转弯处通常设计成赛道表面外侧高，内侧低。某赛道急转弯处是一圆弧，赛道表面倾角为θ，如图所示，当赛车行驶的速率为v时，恰好没有向赛道内、外两侧滑动的趋势。则在该弯道处
A.赛车受到重力、支持力和向心力
B.赛车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C.车速高于v，车辆便会向弯道外侧滑动
D.若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小
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答案
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赛车受到重力、支持力的作用，合力提供向心
力，故A、B错误；
速度高于v时，摩擦力指向内侧，只要速度不
超出最高限度，车辆不会侧滑，故C错误；
根据合力提供向心力有mgtan θ=m，解得v=
所以若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小，故D正确。
答案
3.(2023·茂名市高一期末)如图所示，一汽艇转弯时仪表
盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径
向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若
要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为
A.50 m B.100 m
C.150 m D.200 m
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答案
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汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，就是10 m/s，
径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周
运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，代入数
据解得最小转弯半径为R== m=50 m，故选A。
答案
考点二　铁路弯道
4.(多选)(2023·惠州市高一期中)火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。在该转弯处规定的安全行驶的速度为v，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是
A.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=
B.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=
C.当实际行驶速度大于v时，轮缘挤压内轨
D.当实际行驶速度小于v时，轮缘挤压内轨
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答案
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火车以该转弯处规定的安全行驶的速度v行驶时，内、外轨道均不受侧压力作用，火车所受的重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
mgtan θ=m，解得v=，故A正确，B错误；
当实际行驶速度大于v时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，轮缘挤压外轨，故C错误；
当实际行驶速度小于v时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，轮缘挤压内轨，故D正确。
答案
5.火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车提速后使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是
A.仅减小弯道半径
B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内、外轨道的高度差
D.仅适当减小内、外轨道平面的倾角
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答案
设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内、外轨均不受挤压时，有mgtan θ=m，解得v=，故可知当速度增大时，可增大弯道半径，A错误，B正确；
根据以上分析，当速度增大时，增大θ可避免外轨受损；而当减小内、外轨道的高度差时，θ在减小，减小内、外轨道平面的倾角时，θ也在减小，故不能避免转弯时外轨受损，C、D错误。
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答案
6.如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm，高度差为143.5 mm，转弯半径为400 m，由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sin θ=tan θ，重力加速度g取10 m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为
A.36 km/h B.54 km/h
C.72 km/h D.98 km/h
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答案
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由题知sin θ=。在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有mgtan θ=，
可得v===20 m/s=72 km/h，A、B、D错误，C正确。
答案
考点三　拱形与凹形路面
7.(多选)(2023·佛山市高一月考)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。某辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶，其中某段路面的水平观察视角如图所示，图中虚线是水平线，下列说法正确的是
A.若汽车速率不变，经过图中A处最容易超压报警
B.若汽车速率不变，经过图中B处最容易超压报警
C.若要尽量使胎压报警器不会超压报警，应增大汽车的速度
D.若要尽量使胎压报警器不会超压报警，应减小汽车的速度
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答案
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在A处和B处，汽车的向心加速度方向分别为向上
和向下，所以在A处和B处汽车分别处于超重状态
和失重状态，若汽车速率不变，经过题图中A处最容易超压报警，故A正确，B错误；
在A处，根据牛顿第二定律有FN-mg=m，得FN=m+mg，可知若要
尽量使胎压报警器不会超压报警，应减小汽车的速度，故D正确，C错误。
答案
8.一质量为m的汽车以2v的速度经过拱形桥面顶端时对桥面的压力为零，重力加速度为g。则该汽车以速度v经过顶端时对桥面的压力大小F为
A.0.25mg B.0.5mg
C.0.75mg D.mg
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汽车速度为2v时，重力恰好提供向心力，则有mg=m，当速度变为v时，此时所需向心力减小，桥面对汽车有向上的支持力，则有
mg-FN=m，联立解得FN=0.75mg，根据牛顿第三定律可知，汽车对
桥面的压力大小为0.75mg，故C正确，A、B、D错误。
答案
9.(多选)(2023·汕头市联考)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，
车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
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能力综合练
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答案
路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向
内侧，可以提供做圆周运动的向心力，故A正确；
车速低于v0，所需的向心力减小，此时静摩擦力可以
指向外侧，减小提供的力，车辆不一定会向内侧滑动，故B错误；
当速度为v0时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于v0时，静摩擦力指向内侧，只要速度不超出最高限度，车辆便不会向外侧滑，故C正确；
当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则v0的值不变，故D错误。
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答案
10.如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0=，g为重力加速度，不计空气阻力，则小物块
A.将沿半圆柱形物体表面滑下来
B.落地时水平位移为R
C.落地时速度大小为2
D.落地时速度方向与水平地面成60°角
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设小物块在半圆柱形物体顶端做圆周运动的临界速
度为vc，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定
律得mg=m，解得vc=，因为v0>vc，所以小物
块将离开半圆柱形物体做平抛运动，A错误；
小物块做平抛运动时竖直方向满足R=gt2，水平位移为x=v0t，联立解得x=2R，B错误；
答案
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小物块落地时竖直方向分速度大小为vy=gt=，
落地时速度的大小为v=，联立解得v=
2，由于vy=v0，故落地时速度方向与水平地面
成45°角，C正确，D错误。
答案
11.(2023·江门市新会第一中学高一期中)如图所示，某辆质量为1.5×103 kg的汽车静止在某座半径为50 m的圆弧形拱桥顶部。(取g=10 m/s2)
(1)此时圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大；
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答案　1.5×104 N　
汽车受重力mg和拱桥的支持力FN1，二力平衡，故有FN1=mg=1.5×104 N。
答案
(2)如果汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥顶部的压力是多大；
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答案　1.2×104 N　
汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部时，根据牛顿第二定律有
mg-FN2=m
解得FN2=1.2×104 N
根据牛顿第三定律，汽车对拱桥顶部的压力大小为1.2×104 N。
答案
(3)如果拱桥的半径增大到与地球半径R(约为6 400 km)一样，汽车要在“超大桥面”上腾空，速度至少要
多大。
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答案　8 000 m/s
汽车在“超大桥面”上腾空时，受到桥面的支持力为零，设速度至少为v'，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg=m，
解得v'=8 000 m/s。
答案
12.如图，某场地自行车比赛的圆形赛道的路面与水平面的夹角为15°，sin 15°=0.259，cos 15°=0.966，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。
(1)某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60 m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少？
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尖子生选练
答案　12.68 m/s　
答案
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自行车不受摩擦力时，受力分析如图所示
由mgtan 15°=m
得v==12.68 m/s
答案
(2)若该运动员骑自行车以18 m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100 kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？方向如何？
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答案　262.58 N，沿斜面向下
当v=18 m/s时，v>12.68 m/s，自行车会受到沿斜面向下的摩擦力，
由(mg+fsin 15°)tan 15°+fcos 15° =m，
解得f≈262.58 N，方向沿斜面向下。
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答案

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