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专题强化5　竖直面内的圆周运动
(分值：100分)
1~5题每题7分，6题10分，共45分
1.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
2.(2023·广州市高一期中)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，连接O点与小球的为轻杆。对小球，下列说法正确的是(　　)
A.过圆周最高点的临界速度为
B.过圆周最高点的速度不能大于
C.在圆周最高点对轻杆的作用力大小可以为零
D.在圆周最高点对轻杆的作用力大小最小为mg
3.(2023·梅州市高一期中)有一根长度为0.5 m的轻杆OA，A端拴有一质量为0.5 kg的小球(视为质点)，小球以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示。若小球通过最高点时的速度大小为2 m/s，重力加速度大小为10 m/s2，则此时轻杆的弹力大小为(　　)
A.9 N B.5 N C.4 N D.1 N
4.(2023·广州市高一期中)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.人在最高点时，人处于倒坐状态，安全带对人一定有向上的拉力
B.人在最高点时对座位不可能产生压力
C.人在最低点时对座位的压力一定大于mg
D.人在最低点时对座位的压力一定等于mg
5.(2023·内江市高一期中)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　)
A.v的最小值为
B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下
D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小
6.(10分)(2023·汕头市高一期中)杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。(g=10 m/s2)。
(1)(5分)若在最高点水不流出来，求水杯的最小速率；
(2)(5分)若在最高点水杯的速率v=4 m/s，求水对杯底的压力大小。
7~9题每题9分，10题12分，共39分
7.(多选)(2023·惠州市高一期中)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是(　　)
A.管道的半径为
B.小球的质量为
C.小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有作用力
D.小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
8.(2023·揭阳市高一期中)如图所示，某电动工具置于水平地面上。该工具底座质量为M，在半径为R的轻质圆盘边缘固定有质量为m的物块(可视为质点)，重力加速度为g。要使该工具底座不离开地面，允许圆盘匀速转动的最大转速为(　　)
A.2π B.2π
C. D.
9.(多选)如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时(　　)
A.小球所需向心力大小为3mg
B.小球所需向心力大小为4mg
C.每根轻绳的拉力大小为mg
D.每根轻绳的拉力大小为2mg
10.(12分)(2023·广州市高一期中)小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
(1)(4分)为使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度大小；
(2)(4分)在点A处绳断时球的速度大小；
(3)(4分)在点A处绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。
(16分)
11.(16分)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
(1)(4分)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小；
(2)(6分)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小；
(3)(6分)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小；
答案精析
1.BCD　[因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg=m=ma，即v=，a=g，选项B、C、D正确。]
2.C　[连接O点与小球的为轻杆，轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零；小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零。故选C。]
3.D　[以竖直向下为正方向，在最高点，对小球受力分析有mg+T=m，解得T=-1 N，
可知此时轻杆的弹力大小为1 N。故选D。]
4.C　[在最高点时，只要速度够大，人就会对座位产生一个向上的压力，即使没有安全带，人也不会掉下去，即安全带不一定有向上的拉力，故A、B错误；
人在最低点时，受到座位的支持力和重力，两力的合力充当向心力，即FN-mg=m
解得FN=m+mg>mg，故D错误，C正确。]
5.C　[小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a=可知，当v=时，小球的加速度为a=g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v=时，小球需要的向心力为F=m=2mg=F弹+mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v<时，小球需要的向心力F=m6.(1)2 m/s　(2)15 N
解析　(1)通过最高点时，重力提供的心力，速率最小，
根据mg=m
解得v'=2 m/s
(2)根据F+mg=m
解得F=15 N
根据牛顿第三定律可知水对杯底的压力大小
F'=F=15 N
7.BC　[由题图可知：当v2=b，FN=0，此时
mg=m，解得R=，故A错误；
当v2=0时，此时FN=mg=a，所以m=，故B正确；
小球在MN下方的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C正确；
小球在MN上方的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。]
8.C　[当物块转动到最高点，物块对圆盘拉力的大小刚好等于电动工具底座的重力时，底座刚要离开地面，此时圆盘的转速即为最大转速，则有T=Mg，对物块，有mg+T'=mRω2，解得ω=，则转速为n==，故选C。]
9.BC　[小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，此时小球重力恰好提供向心力，即m=mg，小球在最高点速率为2v时，所需向心力大小为F=m=4mg，故A错误，B正确；由题意，根据几何关系可知两根轻绳间夹角为60°，小球在最高点速率为2v时，设每根轻绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得2Tcos 30°+mg=F，解得T=mg，故C正确，D错误。]
10.(1)　(2)2　(3)4L
解析　(1)为使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球过最高点B时，
由mg=m，得v=
小球过最高点B时的最小速度为。
(2)绳断时，由牛顿第二定律得
9mg-mg=m，
绳断时球的速度大小vA=2
(3)绳断后，小球做平抛运动，
竖直方向2L-L=gt2，得t=，
小球落地点与抛出点A的水平距离
x=vAt=2×=4L。
11.(1)10mg　(2)　(3)g
解析　(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：
mg+FN1-F1=m
解得FN1=10mg
(2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2-FN2-mg=m
由题意可知，当FN2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2=
(3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg。
则F3-FN3=m
解得FN3=4mg
由牛顿第三定律可知FN3'=FN3，F3'=F3
固定支架对轨道的作用力为
F=
解得F=g。专题强化5　竖直面内的圆周运动
［学习目标］　1.明确竖直面内的圆周运动为变速圆周运动。2.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。
(1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？
(2)分析求解小球通过最高点的最小速度。
(3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的弹力情况：
①v=；②v>；③v<。
例1　(2023·东莞市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为0.9 m的细绳的一端，系一个总质量(包括水)为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速度为3 m/s，则下列说法正确的是(g=10 m/s2)(　　)
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
例2　(2023·深圳市高一期中)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
二、竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型
1.如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。
轻杆模型(小球在最高点)
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
动力学方程 mg±F=m
临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg
v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。
(1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>时，mg例3　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球(可视为质点)，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g=10 m/s2)
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力。
例4　(2023·惠州市高一联考)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则(　　)
A.v的最小值为
B.v若增大，球所需的向心力也增大
C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力逐渐减小
D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力逐渐减小
答案精析
一、
(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。
(2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。
(3)①当v=时，拉力或弹力为零。
②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。
③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。
例1　B　[当水对容器底压力为零时有
m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于“水流星”通过最高点的速度为3 m/s，则水对容器底的压力为零，水不会从容器中流出，对水和容器分析，有T+mg=m，解得T=0，则此时绳子的拉力(张力)为零，故A、D错误，B正确；
“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。]
例2　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得
mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0
联立得v≥
代入数值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)将v2=4 m/s代入
mg+F1=m
得F2=15 N
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得
F3-mg=m
将F3=45 N代入得v3=4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s。
例3　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上
解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg=m，代入数据解得v1== m/s
(2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg-F1=m，代入数据解得：F1=4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2+mg=m，代入数据解得F2=11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。
例4　B　[由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，A错误；根据向心力公式有F=m，v若增大，小球所需的向心力一定增大，B正确；小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的弹力，当v=时，轨道对小球的弹力为零，因此v由逐渐减小时，即v<，小球的重力大于所需向心力，轨道对小球有向上的弹力，则F=mg-m>0，随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，即v>，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力，
则F=m-mg>0，随v的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。](共55张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化5　竖直面内的圆周运动
1.明确竖直面内的圆周运动为变速圆周运动。
2.掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的临界条件及分析方法(重难点)。
学习目标
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
二、竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型
专题强化练
内容索引
竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
一
如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。
(1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？
答案　小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。
(2)分析求解小球通过最高点的最小速度。
答案　由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。
(3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的弹力情况：
①v=；②v>；③v<。
答案　①当v=时，拉力或弹力为零。
②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。
③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。
　(2023·东莞市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为0.9 m的细绳的一端，系一个总质量(包括水)为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速度为3 m/s，则下列说法正确的是(g=10 m/s2)
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的
压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
例1
√
当水对容器底压力为零时有
m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于
“水流星”通过最高点的速度为3 m/s，则水对容器
底的压力为零，水不会从容器中流出，对水和容器分析，有T+mg=
m，解得T=0，则此时绳子的拉力(张力)为零，故A、D错误，B正确；
“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。
　(2023·深圳市高一期中)如图所示，一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
例2
答案　2 m/s　
在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得
mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，
亦即F1≥0
联立得v≥
代入数值得v≥2 m/s
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
答案　15 N　
将v2=4 m/s代入
mg+F1=m
得F2=15 N
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
答案　4 m/s
由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得F3-mg=m
将F3=45 N代入得
v3=4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s。
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竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型
二
1.如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。
轻杆模型(小球在最高点)
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
轻杆模型(小球在最高点)
动力学方程 mg±F=m
临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg
v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点
2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。
(1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或
管道)与小球间无作用力。
(2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。
(3)v>时，mg=m，即F=m-mg，v越大，F越大。
　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球(可视为质点)，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g=10 m/s2)
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
例3
答案　 m/s　
小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg=
m，代入数据解得v1== m/s
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力。
答案　4 N，方向向下　11 N，方向向上
当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆
向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg-F1=m，
代入数据解得：F1=4 N，根据牛顿第三定律可得小球
对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2+mg=m，代入数据解得F2=11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。
　(2023·惠州市高一联考)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则
A.v的最小值为
B.v若增大，球所需的向心力也增大
C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力逐渐减小
D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力逐渐减小
例4
√
由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，
A错误；
根据向心力公式有F=m，v若增大，小球所需的
向心力一定增大，B正确；
小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的弹力，当v=时，轨道对小球的弹力为零，因此v由逐渐减小时，即v<，小球的重力大于所需向心力，轨道对小球有向上的弹力，则F=mg-m>0，随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误；
v由逐渐增大时，即v>，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力，
则F=m-mg>0，随v的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。
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专题强化练
三
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BCD C D C C (1)2 m/s　(2)15 N BC
题号 8 9 10 11
答案 C BC (1)　(2)2　(3)4L (1)10mg　(2)　(3)g
1.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g)
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
基础强化练
√
√
√
答案
因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在
最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；
此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动
所需的向心力，则有mg=m=ma，即v=，a=g，选项B、C、D正确。
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答案
2.(2023·广州市高一期中)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，连接O点与小球的为轻杆。对小球，下列说法正确的是
A.过圆周最高点的临界速度为
B.过圆周最高点的速度不能大于
C.在圆周最高点对轻杆的作用力大小可以为零
D.在圆周最高点对轻杆的作用力大小最小为mg
√
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答案
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连接O点与小球的为轻杆，轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零；小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零。故选C。
答案
3.(2023·梅州市高一期中)有一根长度为0.5 m的轻杆OA，A端拴有一质量为0.5 kg的小球(视为质点)，小球以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示。若小球通过最高点时的速度大小为2 m/s，重力加速度大小为10 m/s2，则此时轻杆的弹力大小为
A.9 N B.5 N
C.4 N D.1 N
√
以竖直向下为正方向，在最高点，对小球受力分析有mg+T=m，解得T=-1 N，可知此时轻杆的弹力大小为1 N。故选D。
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答案
4.(2023·广州市高一期中)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(重力加速度为g)
A.人在最高点时，人处于倒坐状态，安全带对人一定
有向上的拉力
B.人在最高点时对座位不可能产生压力
C.人在最低点时对座位的压力一定大于mg
D.人在最低点时对座位的压力一定等于mg
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√
答案
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在最高点时，只要速度够大，人就会对座位产生一个
向上的压力，即使没有安全带，人也不会掉下去，即
安全带不一定有向上的拉力，故A、B错误；
人在最低点时，受到座位的支持力和重力，两力的合
力充当向心力，即FN-mg=m
解得FN=m+mg>mg，故D错误，C正确。
答案
5.(2023·内江市高一期中)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是
A.v的最小值为
B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下
D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小
√
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答案
小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，
当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小
速度为零，故A错误；
根据公式a=可知，当v=时，小球的加速度为a=g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；
当v=时，小球需要的向心力为F=m=2mg=F弹+mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；
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答案
当v<时，小球需要的向心力F=m小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有
mg-FN=m，可得FN=mg-m，则v由逐渐减
小的过程中，管道对小球的弹力FN逐渐增大，故D错误。
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答案
6.(2023·汕头市高一期中)杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。(g=10 m/s2)。
(1)若在最高点水不流出来，求水杯的最小速率；
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答案　2 m/s　
答案
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通过最高点时，重力提供的心力，速率最小，
根据mg=m
解得v'=2 m/s
答案
(2)若在最高点水杯的速率v=4 m/s，求水对杯底的压力大小。
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答案　15 N
根据F+mg=m
解得F=15 N
根据牛顿第三定律可知水对杯底的压力大小
F'=F=15 N
答案
7.(多选)(2023·惠州市高一期中)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是
A.管道的半径为
B.小球的质量为
C.小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有作用力
D.小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
能力综合练
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√
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答案
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由题图可知：当v2=b，FN=0，此时
mg=m，解得R=，故A错误；
当v2=0时，此时FN=mg=a，所以m=，故B正确；
小球在MN下方的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C正确；
答案
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小球在MN上方的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。
答案
8.(2023·揭阳市高一期中)如图所示，某电动工具置于水平地面上。该工具底座质量为M，在半径为R的轻质圆盘边缘固定有质量为m的物块(可视为质点)，重力加速度为g。要使该工具底座不离开地面，允许圆盘匀速转动的最大转速为
A.2π B.2π
C. D.
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答案
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当物块转动到最高点，物块对圆盘拉力的大小刚好
等于电动工具底座的重力时，底座刚要离开地面，
此时圆盘的转速即为最大转速，则有T=Mg，对物
块，有mg+T'=mRω2，解得ω=，则转速为n==，
故选C。
答案
9.(多选)如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时
A.小球所需向心力大小为3mg
B.小球所需向心力大小为4mg
C.每根轻绳的拉力大小为mg
D.每根轻绳的拉力大小为2mg
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小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，
此时小球重力恰好提供向心力，即m=mg，小球在最
高点速率为2v时，所需向心力大小为F=m=4mg，
故A错误，B正确；
由题意，根据几何关系可知两根轻绳间夹角为60°，小球在最高点速率为2v时，设每根轻绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得2Tcos 30°+mg=F，解得T=mg，故C正确，D错误。
答案
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10.(2023·广州市高一期中)小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
(1)为使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，
小球过最高点B时的最小速度大小；
答案　　
答案
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为使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球过最高点B时，
由mg=m，得v=
小球过最高点B时的最小速度为。
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(2)在点A处绳断时球的速度大小；
答案　2　
绳断时，由牛顿第二定律得
9mg-mg=m，
绳断时球的速度大小vA=2
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(3)在点A处绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。
答案　4L
绳断后，小球做平抛运动，
竖直方向2L-L=gt2，得t=，
小球落地点与抛出点A的水平距离x=vAt=2×=4L。
答案
11.如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
尖子生选练
(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小；
答案　10mg　
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当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：
mg+FN1-F1=m
解得FN1=10mg
答案
(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度大小；
答案　　
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设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引
力为F2，轨道对陀螺的支持力为FN2，陀螺所受的重力
为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2-FN2-mg
=m
由题意可知，当FN2=0时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得
v2=
答案
(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求固定支架对轨道的作用力大小；
答案　g
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设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg。
则F3-FN3=m
解得FN3=4mg
由牛顿第三定律可知FN3'=FN3，F3'=F3
固定支架对轨道的作用力为F=
解得F=g。
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答案

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