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第三节　万有引力定律的应用
(分值：100分)
1~5题每题7分，6题10分，共45分
考点一　万有引力和重力的关系
1.重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是(　　)
A.同一物体在地球上任何地方的重力都一样
B.物体从地球表面移到空中，其重力变大
C.同一物体在赤道上的重力比在两极处小些
D.绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力
2.地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则(　　)
A.vA=vB，ωA=ωB，gA>gB
B.vAgB
C.vA>vB，ωA=ωB，gA>gB
D.vA>vB，ωA=ωB，gA考点二　天体质量和密度的计算
3.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
4.一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)(　　)
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
5.(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.(1+k)3
6.(10分)(2023·深圳市高一期中)2023年1月9日6时0分，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星和搭载的试验二十二号A/B星发射升空，三颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设实践二十三号卫星绕地球做匀速圆周运动，离地球表面的高度等于地球的半径R。已知地球表面处的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球的自转，求：
(1)(6分)地球的密度；
(2)(4分)卫星所在处的重力加速度大小。
7~10题每题8分，11题14分，共46分
7.假如地球的自转速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是(　　)
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体的重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
8.(2023·惠州市高一期中)某影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转，地球表面重力加速度为10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
9.(2023·深圳市高一期中)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径三次方r3与周期平方T2的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　)
A. B. C. D.
10.(2023·广州市高一期中)我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为M的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和在馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
A. B.
C. D.
11.(14分)在某质量分布均匀的星球表面，以速度v0竖直上抛一质量为m的物体(引力视为恒力，阻力可忽略)，经过时间t落到地面。已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求：
(1)(5分)该星球表面的重力加速度的大小；
(2)(5分)该星球的质量；
(3)(4分)该星球的密度。
(10分)
12.(2023·深圳市高一期中)一项最新的研究发现，在我们所在星系中央隆起处，多数恒星形成于100多亿年前的一次恒星诞生爆发期。若某恒星自转周期为T，星体为质量均匀分布的球体，引力常量为G，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A. B. C. D.
答案精析
1.C　[不同的地方，由于重力加速度不同，导致重力不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度越大，则重力越大，所以同一物体在赤道上的重力比在两极处小些，故A错误，C正确；物体从地球表面移到空中，重力加速度变小，则重力变小，故B错误；飞船绕地球做匀速圆周运动，所受地球的引力提供向心力，飞船中的物体处于失重状态，故D错误。]
2.D　[地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，即ωA=ωB；根据v=ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则vA>vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则gA3.D　[根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，可得G=m=mω2r=mr，可得M===，则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。]
4.B　[在天体表面有G=mg，所以M=，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍。故选B。]
5.D　[设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立可得ρ=(1+k)3，故选D。]
6.(1)　(2)
解析　(1)卫星停在地球表面时有=mg，
得M=
地球的体积为V=πR3
可得，地球的密度为ρ==×=
(2)卫星所在处的重力加速度=mg1，又g=，得g1==。
7.A　[地球的自转速度增大，由Fn=mω2R可知赤道地面上物体随地球自转所需的向心力增大，地球的质量和半径都没有变化，由F=可知，放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变，A正确；在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物体的重力不变，B错误；根据赤道上万有引力是重力和向心力的合力，地球的自转速度增大时物体所需向心力增大，万有引力不变，重力将减小，C错误；根据自转周期T=可知，自转速度增大，则周期变小，即“一昼夜”的时间变短，故D错误。]
8.A　[设地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，太空电梯离地面高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g'，根据万有引力公式有G=mg'，G=mg0，
联立得==，则=，所以太空电梯距离地面高度为h=R≈1 593 km，故选A。]
9.C　[由万有引力提供向心力有
G=mr，得r3=T2
由图可知斜率k==
所以地球的质量为M=，故C正确，A、B、D错误。]
10.A　[北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，有-M()2R=Mg
北极熊在北极上时有=Mg'，根据题意，有ΔF=M()2R，解得R=，A正确，B、C、D错误。]
11.(1)　(2)　(3)
解析　(1)设星球表面的重力加速度大小为g，对物体，有v0=g·，解得g=
(2)对星球表面的物体m，有G=mg，故星球质量M=
(3)星球的密度ρ=，解得ρ=。
12.A　[设恒星的半径为R，当万有引力恰好提供向心力时星体不瓦解，且密度最小，根据G=mR，解得恒星的质量M=，则恒星的密度ρ===，故选A。]第三节　万有引力定律的应用
［学习目标］　1.进一步理解万有引力定律，明确地球表面的万有引力和重力的关系(重点)。2.了解万有引力定律在预测未知天体中的作用。3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度(重难点)。
一、万有引力和重力的关系
假设地球是一个半径为R且密度均匀的球体，质量为M，在纬度θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体。
(1)根据万有引力定律，物体受到地球的引力大小F=　　　　，方向沿地球半径指向球心。
(2)如图所示，万有引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力。因此，可以将引力F分解为F1和F2两个分量，分力F1=FT，就是我们所熟悉的　　　　，分力F2=mω2Rcos θ，是物体随地球自转所需的　　　　　　，其方向垂直指向地轴。
(3)万有引力指向地轴的分力F2实际上特别小，所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似　　　　地球对物体的万有引力。
1.地球表面的物体在赤道、两极和一般位置时，重力和万有引力的大小关系如何？
2.为什么高山上的重力加速度比山下地面的小？
例1　(多选)(2023·邯郸市高一期中)关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是(　　)
A.地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B.若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C.物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D.在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
例2　(2023·揭阳市高一期末)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为(　　)
A. B.
C. D.
二、天体质量和密度的计算
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的质量”。
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度。
2.月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，若已知月球绕地球运动的周期为T，月球中心到地心的距离为r，引力常量为G。
(1)如何求出地球的质量？思路如何？
(2)如果要求地球的密度，还需要已知什么条件？
　计算中心天体质量的两种方法
1.重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有　　　　，解得中心天体质量为M=　　　　。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样测出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2.“卫星”环绕法
将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力来自于万有引力，由　　　　=mr，可得M=　　　　。
注意：上面两种求中心天体质量的方法中，“R”与“r”意义不同，R为中心天体半径；r为卫星轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r=R+h。当环绕法选择近地卫星时，r=R。
用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？
例3　航天员在某一星球距离星球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到该星球表面，已知该星球的半径为R(R h)，引力常量为G，则该星球的质量为 (　　)
A. B. C. D.
例4　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案精析
一、
(1)G　(2)重力　向心力　(3)等于
讨论与交流
1.在赤道上，重力和向心力在一条直线上，mg=G-mω2R；在两极上，F向=0，mg=G，在一般位置时，重力是万有引力的一个分力，mg2.地球表面重力加速度g=，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h 高度，万有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度处的重力加速度g'=，则g'例1　BD　[地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；
若地球自转角速度变大，由-mg=mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；
万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；
在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确。]
例2　A　[在地球两极G=mg0，在赤道上G-mg=m()2R，联立解得R=，故选A。]
二、
1.(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)由mg=G得，M=。
ρ===。
2.(1)月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，由G=m月()2·r得m地=。
(2)还需要已知地球的半径R，此时地球的密度ρ地===。
提炼总结
1.(1)mg=G　
2.　
讨论与交流
不能。只能测出被环绕的中心天体的质量。
例3　A　[设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，有h=gt2，设该星球的质量为M，在星球表面有mg=，联立解得，该星球的质量M=，故A正确。]
例4　(1)　(2)
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
有G=m(R+h)，可得M=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===
(2)卫星贴近天体表面运动时有G=mR，可得M=，故ρ===。(共47张PPT)
第三节　万有引力定律的应用
DISANZHANG
第三章
1.进一步理解万有引力定律，明确地球表面的万有引力和重力的关系(重点)。
2.了解万有引力定律在预测未知天体中的作用。
3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度(重难点)。
学习目标
一、万有引力和重力的关系
二、天体质量和密度的计算
课时对点练
内容索引
万有引力和重力的关系
一
假设地球是一个半径为R且密度均匀的球体，质量为M，在纬度θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体。
(1)根据万有引力定律，物体受到地球的引力大小F= ，方向沿地球半径指向球心。
(2)如图所示，万有引力主要产生两大作用效果，一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡，另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力。因此，可以将引力F分解为F1和F2两个分量，分力F1=FT，就是我们所熟悉的
，分力F2=mω2Rcos θ，是物体随地球自转所需的
，其方向垂直指向地轴。
G
重力
向心力
(3)万有引力指向地轴的分力F2实际上特别小，所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似 地球对物体的万有引力。
等于
1.地球表面的物体在赤道、两极和一般位置时，重力和万有引力的大小关系如何？
讨论与交流
答案　在赤道上，重力和向心力在一条直线上，mg=G-mω2R；在两极上，F向=0，mg=G，在一般位置时，重力是万有引力的一个分力，mg2.为什么高山上的重力加速度比山下地面的小？
答案　地球表面重力加速度g=，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h 高度，万有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度处的重力加速度g'=，则g'　(多选)(2023·邯郸市高一期中)关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是
A.地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B.若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C.物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D.在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
例1
√
√
地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；
若地球自转角速度变大，由-mg=mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；
万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；
在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确。
　(2023·揭阳市高一期末)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为
A. B.
C. D.
例2
√
在地球两极G=mg0，在赤道上G-mg=m()2R，联立解得R=，故选A。
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天体质量和密度的计算
二
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的质量”。
(1)他“称量”的依据是什么？
答案　若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度。
答案　由mg=G得，M=。
ρ===。
2.月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，若已知月球绕地球运动的周期为T，月球中心到地心的距离为r，引力常量为G。
(1)如何求出地球的质量？思路如何？
答案　月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，由G=m月()2·r得m地=。
(2)如果要求地球的密度，还需要已知什么条件？
答案　还需要已知地球的半径R，此时地球的密度ρ地===。
计算中心天体质量的两种方法
1.重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重
力近似等于中心天体对物体的引力，有 ，解得中心天体质量为M= 。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样测出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
提炼·总结
mg=G
2.“卫星”环绕法
将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力来自于万有引力，由 =mr，可得M= 。
注意：上面两种求中心天体质量的方法中，“R”与“r”意义不同，R为中心天体半径；r为卫星轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r=R+h。当环绕法选择近地卫星时，r=R。
用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？
讨论与交流
答案　不能。只能测出被环绕的中心天体的质量。
　航天员在某一星球距离星球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到该星球表面，已知该星球的半径为R(R h)，引力常量为G，则该星球的质量为
A. B. C. D.
例3
√
设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，有h=gt2，设该星球的质量为M，在星球表面有mg=，联立解得，该星球的质量M=，故A正确。
　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
例4
答案　　
设卫星的质量为m，天体的质量为M。
卫星距天体表面的高度为h时，有G=m(R+h)，
可得M=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案　
卫星贴近天体表面运动时有G=mR，可得M=，
故ρ===。
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课时对点练
三
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D D B D (1)　(2) A
题号 8 9 10 11 12
答案 A C A (1)　(2)　(3) A
考点一　万有引力和重力的关系
1.重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是
A.同一物体在地球上任何地方的重力都一样
B.物体从地球表面移到空中，其重力变大
C.同一物体在赤道上的重力比在两极处小些
D.绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础对点练
√
答案
不同的地方，由于重力加速度不同，导致重力不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度越大，则重力越大，所以同一物体在赤道上的重力比在两极处小些，故A错误，C正确；
物体从地球表面移到空中，重力加速度变小，则重力变小，故B错误；
飞船绕地球做匀速圆周运动，所受地球的引力提供向心力，飞船中的物体处于失重状态，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则
A.vA=vB，ωA=ωB，gA>gB
B.vAgB
C.vA>vB，ωA=ωB，gA>gB
D.vA>vB，ωA=ωB，gA1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过
角度相同，所以角速度相同，即ωA=ωB；根据v=ωr
可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线
速度越大，则vA>vB；地球上随纬度增加，重力加
速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则gA答案
考点二　天体质量和密度的计算
3.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，可得G=m=
mω2r=mr，可得M===，则已知核心舱的质量和绕地半
径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。
答案
4.一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
在天体表面有G=mg，所以M=，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍。故选B。
答案
5.(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为
A. B.
C. D.(1+k)3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立可得ρ=(1+k)3，故选D。
答案
6.(2023·深圳市高一期中)2023年1月9日6时0分，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星和搭载的试验二十二号A/B星发射升空，三颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设实践二十三号卫星绕地球做匀速圆周运动，离地球表面的高度等于地球的半径R。已知地球表面处的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球的自转，求：
(1)地球的密度；
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答案　　
答案
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卫星停在地球表面时有=mg，
得M=
地球的体积为V=πR3
可得，地球的密度为ρ==×=
答案
(2)卫星所在处的重力加速度大小。
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答案　
卫星所在处的重力加速度=mg1，又g=，得g1==。
答案
7.假如地球的自转速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体的重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
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能力综合练
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地球的自转速度增大，由Fn=mω2R可知赤道地面上物体随地球自转所需的
向心力增大，地球的质量和半径都没有变化，由F=可知，放在赤道地
面上的物体所受的万有引力不变，A正确；
在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物体的重力不变，B错误；
根据赤道上万有引力是重力和向心力的合力，地球的自转速度增大时物体所需向心力增大，万有引力不变，重力将减小，C错误；
根据自转周期T=可知，自转速度增大，则周期变小，即“一昼夜”的
时间变短，故D错误。
答案
8.(2023·惠州市高一期中)某影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km，不考虑地球自转，地球表面重力加速度为10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
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设地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，
地球表面重力加速度为g0，太空电梯离地面高度为
h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g'，
根据万有引力公式有G=mg'，G=mg0，
联立得===，所以太空电梯距离地面高度为h= R≈1 593 km，故选A。
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9.(2023·深圳市高一期中)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径三次方r3与周期平方T2的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)
A. B. C. D.
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√
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由万有引力提供向心力有
G=mr，得r3=T2
由图可知斜率k==
所以地球的质量为M=，故C正确，A、B、D错误。
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10.(2023·广州市高一期中)我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为M的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和在馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为
A. B.
C. D.
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北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，
有-M()2R=Mg
北极熊在北极上时有=Mg'，根据题意，有ΔF=M()2R，解得R=，A正确，B、C、D错误。
答案
11.在某质量分布均匀的星球表面，以速度v0竖直上抛一质量为m的物体(引力视为恒力，阻力可忽略)，经过时间t落到地面。已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求：
(1)该星球表面的重力加速度的大小；
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答案　　
设星球表面的重力加速度大小为g，对物体，有v0=g·，解得g=
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(2)该星球的质量；
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答案　　
对星球表面的物体m，有G=mg，故星球质量M=
(3)该星球的密度。
答案　
星球的密度ρ=，解得ρ=。
答案
12.(2023·深圳市高一期中)一项最新的研究发现，在我们所在星系中央隆起处，多数恒星形成于100多亿年前的一次恒星诞生爆发期。若某恒星自转周期为T，星体为质量均匀分布的球体，引力常量为G，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A. B. C. D.
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尖子生选练
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设恒星的半径为R，当万有引力恰好提供向心力时星体不瓦解，且密度最小，根据G=mR，解得恒星的质量M=，则恒星的密度
ρ===，故选A。
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