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专题强化9　卫星的变轨和双星问题
(分值：100分)
1~5题每题9分，共45分
1.(2023·茂名市高一期中)为躲避太空垃圾，中国空间站采取紧急避碰措施，改变轨道高度。若中国空间站在某次紧急避碰过程中进行了向下变轨，假设空间站在不同高度轨道上稳定运行时均是绕地球做匀速圆周运动，且该过程由中国空间站仅在两轨道的切点P、Q两点短时间向站外喷气来实现。则空间站(　　)
A.在P、Q两点处均向前喷气
B.在P、Q两点处均向后喷气
C.在P点处向前喷气，在Q点处向后喷气
D.在P点处向后喷气，在Q点处向前喷气
2.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是(　　)
A.两颗星有相同的角速度
B.两颗星的运动半径与质量成反比
C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比
D.两颗星的线速度大小与质量成正比
3.如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
4.(2023·汕头市高一期末)天舟六号飞船成功对接于空间站天和核心舱后向端口，形成新的空间站组合体。对接前后的示意图如图所示，对接前天舟六号飞船绕地球沿轨道 Ⅰ 做椭圆运动，在O点完成交会对接后，组合体沿原空间站的运行轨道 Ⅱ 做匀速圆周运动。关于天舟六号的升空及运行，下列说法正确的是(　　)
A.天舟六号飞船发射时的速度可能小于7.9 km/s
B.对接后，组合体绕地球运行的速度减小
C.交会对接后组合体在轨道 Ⅱ 经过O点时的加速度比对接前天舟六号在轨道 Ⅰ 经过O点时的加速度大
D.天舟六号需要在O点通过点火加速才能从轨道 Ⅰ 进入轨道 Ⅱ 与空间站顺利对接
5.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
6~8题每题10分，9题14分，共44分
6.(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，m1的公转周期为T，引力常量为G，各自做圆周运动的轨道半径之比为r1∶r2=3∶2。则可知(　　)
A.两星体的质量之比为m1∶m2=3∶2
B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
C.两星体的总质量一定等于
D.m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　)
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
8.(多选)(2023·湛江市高一期末)关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论就预言了其存在。1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，该双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据。上述叙述中，若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化，则下列关于赫尔斯—泰勒脉冲双星的说法正确的是(　　)
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量
9.(14分)双星系统的运动实际上会受其他星体的影响而存在误差。假设质量均为m的星体甲和乙构成理论上的双星系统，已知两星体之间的距离为L，引力常量为G。根据所学的知识计算得出双星系统的理论运行周期为T(T为未知量)，通过测量可知双星系统的实际运行周期为T'=T，假设引起该误差的原因是受到甲、乙两星体连线中点处星体丙的影响。求：
(1)(7分)双星的理论运行周期T；
(2)(7分)星体丙的质量M。
(11分)
10.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星体的质量均为M，并设两种系统的运行周期相同，引力常量为G，则(　　)
A.直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度相同
B.直线三星系统的运行周期为T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为
答案精析
1.A　[由题图可知，空间站在P、Q两点处都是由高轨变到低轨，需要减速，即向前喷气，故选A。]
2.D　[双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。
双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确；
由mrω2=MRω2知，两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确；
两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确；
线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。]
3.C　[飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。]
4.D　[第一宇宙速度7.9 km/s是卫星的最小发射速度，天舟六号飞船发射时的速度不可能小于7.9 km/s，故A错误；
根据G=m
可知v=
对接后，组合体沿原空间站的运行轨道 Ⅱ 做匀速圆周运动，轨道半径不变，则运行速度不变，故B错误；
根据万有引力定律可知F=G=ma
整理得a=
同样都是O点，则加速度大小相等，故C错误；
天舟六号需要在O点通过点火加速做离心运动才能从轨道 Ⅰ 进入轨道 Ⅱ 与空间站顺利对接，故D正确。]
5.D　[天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。]
6.CD　[由于双星的周期相同，则双星系统绕O点转动的角速度相同，两星体做圆周运动的向心力由两星体间的万有引力提供，即F=G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得==，故A、B错误，D正确；根据G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得m1=，m2=，则M=m1+m2==，故C正确。]
7.C　[因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误；
因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误；
因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火8.BC　[设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2 、r1、r2，间距为L=r1+r2，由万有引力提供向心力=m1ω2r1=m2ω2r2得m1=，m2=
则双星总质量m1+m2=
整理得G(m1+m2)=L3ω2，由于总质量不变，脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小，则ω变大，由T=可知周期逐渐变小，故A错误，B正确；由m1ω2r1=m2ω2r2
可得=，故C正确；由以上分析可知
m1+m2==，要想知道双星总质量，需要知道周期T和双星间距L，故D错误。]
9.(1)2π　(2)m
解析　(1)根据万有引力定律，两星体之间的万有引力大小F=G，设两星体轨道半径分别是r1，r2，两星体之间的万有引力提供两星体做匀速圆周运动的向心力，则有F=mω2r1，F=mω2r2，两星体的角速度相同，可得r1=r2，因此两星体绕连线的中点转动，由
G=m··()2，解得T=2π
(2)由于星体丙的存在，甲、乙两星体的向心力均由两个力的合力提供，即G+G=m·()2·，又T'=T，联立解得M=m。
10.BC　[直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有G+G=MR，解得T=4πR，选项B正确；
对三角形三星系统根据万有引力定律可得
2Gcos 30°=M)
两种系统周期相同，即T=4πR，联立解得L=R，选项C正确；
三角形三星系统的线速度大小为v=)=·，选项D错误。]专题强化9　卫星的变轨和双星问题
［学习目标］　1.理解卫星变轨的原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重难点)。
一、卫星的变轨和对接
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
1.变轨过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ 上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火　　　　(选填“加”或“减”)速，由于速度变　　　　，万有引力不足以提供卫星在轨道 Ⅰ 上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道 Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火　　(选填“加”或“减”)速进入圆轨道 Ⅲ。
2.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ　　vⅡB，vⅡA　　vⅠ(均选填“>”“<”或“=”)。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐　　　　。
(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越　　，图中vⅠ　　vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。
(4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期　　　　外侧轨道的周期，图中TⅠ(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ。
1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？
2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？
例1　(多选)(2023·湛江市高一期末)2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道 Ⅲ ；神舟十六号飞船处于半径为r1的圆轨道 Ⅰ ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道 Ⅱ 运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十六号飞船(　　)
A.由轨道 Ⅱ 进入轨道 Ⅲ 需在B点加速
B.沿轨道 Ⅱ 运行的周期为T2=T1
C.在轨道 Ⅰ 上A点的加速度等于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D.在轨道 Ⅲ 上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度
拓展　(1)飞船沿轨道Ⅰ运行的周期　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)沿轨道Ⅱ运行的周期。
(2)飞船沿轨道Ⅱ运行的过程中，经过A点的速率　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)经过B点时的速率。
(3)飞船经过A点时的加速度　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)经过B点时的加速度。
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“高轨低速”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。
二、双星及多星问题
1.双星模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。
2.多星系统
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如：
三星模型 四星模型
(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。
例2　
两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
例3　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星间的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求：
(1)每颗恒星所受的万有引力的大小；
(2)每颗恒星运行的角速度大小。
答案精析
一、
(1)从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动。当飞船加速时，飞船所需的向心力F向=m增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨。
(2)飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速。当飞船减速时，飞船所需的向心力F向=m减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨。
提炼总结
1.(2)加　大　(3)加
2.(1)>　>　(2)增大　(3)小　>　(4)小于
讨论与交流
1.不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。
2.如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。
例1　ACD　[飞船由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以飞船由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，故A正确；
根据开普勒第三定律，有=
解得T2=T1，故B错误；
由于飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的合外力相同，均为万有引力，则加速度也相同，故C正确；
飞船由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以飞船在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确。]
拓展　(1)小于　(2)大于　(3)大于　
例2　见解析
解析　双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，
对质量为m1的星体：=m1r1ω2
对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L
解得r1=，r2=
由G=m1r1及r1=得
周期T=2πL。
例3　(1)G　(2)
解析　(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。
(2)每颗恒星运行的轨道半径R==L，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。(共51张PPT)
DISANZHANG
第三章
专题强化9　卫星的变轨和
双星问题
1.理解卫星变轨的原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。
2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重难点)。
学习目标
一、卫星的变轨和对接
二、双星及多星问题
专题强化练
内容索引
卫星的变轨和对接
一
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
答案　从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动。当飞船加速时，飞船所需的向心力F向=m增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨。
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
答案　飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速。当飞船减速时，飞船所需的向心力F向=m减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨。
提炼·总结
1.变轨过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星
到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火 (选填“加”或“减”)速，由
于速度变 ，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道 Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火 (选填“加”或“减”)速进入圆轨道 Ⅲ。
加
大
加
2.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ vⅡB，vⅡA vⅠ
(均选填“>”“<”或“=”)。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐 。
(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越 ，图中vⅠ
vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。
(4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律=k知，内侧轨
道的周期 外侧轨道的周期，图中TⅠ(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ。
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讨论与交流
1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？
答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。
2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？
答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。
　(多选)(2023·湛江市高一期末)2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道 Ⅲ ；神舟十六号飞船处于半径为r1的圆轨道 Ⅰ ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道 Ⅱ 运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十六号飞船
A.由轨道 Ⅱ 进入轨道 Ⅲ 需在B点加速
B.沿轨道 Ⅱ 运行的周期为T2=T1
C.在轨道 Ⅰ 上A点的加速度等于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D.在轨道 Ⅲ 上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度
例1
√
√
√
飞船由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以飞船由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，故A正确；
根据开普勒第三定律，有
=
解得T2=T1，故B错误；
由于飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的合外力相同，均为万有引力，则加速度也相同，故C正确；
飞船由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以飞船在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确。
拓展　(1)飞船沿轨道Ⅰ运行的周期 (选填“大于”“等于”或“小于”)沿轨道Ⅱ运行的周期。
(2)飞船沿轨道Ⅱ运行的过程中，经过A点的速率 (选填“大于”“等于”或“小于”)经过B点时的速率。
(3)飞船经过A点时的加速度 (选填“大于”“等于”或“小于”)经过B点时的加速度。
小于
大于
大于
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“高轨低速”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。
总结提升
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双星及多星问题
二
1.双星模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。
2.多星系统
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如：
三星模型 四星模型


(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。
　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以
其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的
距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，
如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
例2
答案　见解析
双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，
对质量为m1的星体：=m1r1ω2
对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L
解得r1=，r2=
由G=m1r1及r1=得
周期T=2πL。
　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星间的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求：
(1)每颗恒星所受的万有引力的大小；
例3
答案　G　
任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合
力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。
(2)每颗恒星运行的角速度大小。
答案　
每颗恒星运行的轨道半径R==L，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。
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专题强化练
三
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D D CD C BC
题号 9 　10
答案 (1)2π　(2)m BC
1
2
3
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1.(2023·茂名市高一期中)为躲避太空垃圾，中国空间站采取紧急避碰措施，改变轨道高度。若中国空间站在某次紧急避碰过程中进行了向下变轨，假设空间站在不同高度轨道上稳定运行时均是绕地球做匀速圆周运动，且该过程由中国空间站仅在两轨道的切点P、Q两点短时间向站外喷气来实现。则空间站
A.在P、Q两点处均向前喷气
B.在P、Q两点处均向后喷气
C.在P点处向前喷气，在Q点处向后喷气
D.在P点处向后喷气，在Q点处向前喷气
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基础强化练
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答案
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由题图可知，空间站在P、Q两点处都是由高轨变到低轨，需要减速，即向前喷气，故选A。
答案
2.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是
A.两颗星有相同的角速度
B.两颗星的运动半径与质量成反比
C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比
D.两颗星的线速度大小与质量成正比
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答案
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双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。
双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确；
由mrω2=MRω2知，两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确；
两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确；
线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。
答案
3.如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速
追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验
室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空
间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空
间实验室，两者速度接近时实现对接
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答案
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飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；
空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；
当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；
当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。
答案
4.(2023·汕头市高一期末)天舟六号飞船成功对接于空间站天和核心舱后向端口，形成新的空间站组合体。对接前后的示意图如图所示，对接前天舟六号飞船绕地球沿轨道Ⅰ做椭圆运动，在O点完成交会对接后，组合体沿原空间站的运行轨道Ⅱ做匀速圆周运动。关于天舟六号的升空及运行，下列说法正确的是
A.天舟六号飞船发射时的速度可能小于7.9 km/s
B.对接后，组合体绕地球运行的速度减小
C.交会对接后组合体在轨道Ⅱ经过O点时的加速度比对接
前天舟六号在轨道Ⅰ经过O点时的加速度大
D.天舟六号需要在O点通过点火加速才能从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ与空间站顺
利对接
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答案
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第一宇宙速度7.9 km/s是卫星的最小发射速度，天舟六号飞船发射时的速度不可能小于7.9 km/s，故A错误；
根据G=m
可知v=
对接后，组合体沿原空间站的运行轨道Ⅱ做匀速圆周运动，轨道半径不变，则运行速度不变，故B错误；
答案
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根据万有引力定律可知F=G=ma
整理得a=
同样都是O点，则加速度大小相等，故C错误；
天舟六号需要在O点通过点火加速做离心运动才能从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ与空间站顺利对接，故D正确。
答案
5.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
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答案
天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不
平衡，故A错误；
根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于
轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；
天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；
在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。
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答案
6.(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，m1的公转周期为T，引力常量为G，各自做圆周运动的轨道半径之比为r1∶r2=3∶2。则可知
A.两星体的质量之比为m1∶m2=3∶2
B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
C.两星体的总质量一定等于
D.m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
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能力综合练
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答案
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由于双星的周期相同，则双星系统绕O点转动的角速度
相同，两星体做圆周运动的向心力由两星体间的万有
引力提供，即F=G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得==，
故A、B错误，D正确；
根据G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得m1=，m2=，则M=m1+m2==，故C正确。
答案
7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比
在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
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答案
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因“天问一号”要能脱离地球引力束
缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，
即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s
之间，故A错误；
因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误；
答案
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因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小
于调相轨道的半长轴，则由开普勒第
三定律可知在环绕火星的停泊轨道运
行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火答案
8.(多选)(2023·湛江市高一期末)关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论就预言了其存在。1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，该双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据。上述叙述中，若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化，则下列关于赫尔斯—泰勒脉冲双星的说法正确的是
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答案
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，
但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量
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设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2 、r1、
r2，间距为L=r1+ r2，由万有引力提供向心力
=m1ω2r1=m2ω2r2得m1=，m2=
则双星总质量m1+m2=
整理得G(m1+m2)=L3ω2，由于总质量不变，脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小，则ω变大，由T=可知周期逐渐变小，故A错误，B正确；
答案
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由m1ω2r1=m2ω2r2
可得=，故C正确；
由以上分析可知
m1+m2==，要想知道双星总质量，需要知道周期T和双星间距L，故D错误。
答案
9.双星系统的运动实际上会受其他星体的影响而存在误差。假设质量均为m的星体甲和乙构成理论上的双星系统，已知两星体之间的距离为L，引力常量为G。根据所学的知识计算得出双星系统的理论运行周期为T(T为未知量)，通过测量可知双星系统的实际运行周期为T'=T，假设引起该误差的原因是受到甲、乙两星体连线中点处星体丙的影响。求：
(1)双星的理论运行周期T；
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答案　2π　
答案
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根据万有引力定律，两星体之间的万有引力大小F=G，设两星体轨道半径分别是r1，r2，两星体之间的万有引力提供两星体做匀速圆周运动的向心力，则有F=mω2r1，F=mω2r2，两星体的角速度相同，可得r1=r2，因此两星体绕连线的中点转动，由
G=m··()2，解得T=2π
答案
(2)星体丙的质量M。
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答案　m
由于星体丙的存在，甲、乙两星体的向心力均由两个力的合力提供，
即G+G=m·()2·，又T'=T，联立解得M=m。
答案
10.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并
沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这
三颗星体的质量均为M，并设两种系统的运行
周期相同，引力常量为G，则
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尖子生选练
答案
A.直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度相同
B.直线三星系统的运行周期为T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为
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答案
直线三星系统中甲、丙两颗星的线速度大
小相同，方向相反，选项A错误；
三星系统中，对直线三星系统有G+G
=MR，解得T=4πR，
选项B正确；
对三角形三星系统根据万有引力定律可得2Gcos 30°=M)
两种系统周期相同，即T=4πR，联立解得L=R，选项C正确；
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答案
三角形三星系统的线速度大小为v=
)=·，选项D错误。
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