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2024-2025学年福建省泉州市永春一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降现小李有两种加油方案第一种方案是每次加油升，第二种方案是每次加油元，则下列说法正确的是( )
A. 第一种方案更划算 B. 第二种方案更划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定
3.设函数，则的表达式为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的值域为，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
5.若函数存在个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若是的根，则( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.定义在上的奇函数满足且在上为增函数，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．令，以下结论正确的有( )
A. B. 函数为奇函数
C. D. 函数的值域为
11.设函数，已知在内有且仅有个零点，则下列结论成立的有( )
A. 函数在内没有零点
B. 在内有且仅有个零点
C. 在上单调递增
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有______人
13.函数的最小值为 ．
14.函数的零点个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点，两点，轴正半轴与单位圆交于点，已知，点的纵坐标是．
求的值；
求 的值．
17.本小题分
已知．
求的单调递增区间；
若函数在区间上恰有两个零点，．
求的取值范围；
求的值．
18.本小题分
已知函数为常数，．
讨论函数的奇偶性；
当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中，，，函数图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值．
求函数的解析式；
若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间；
若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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7.
8.
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10.
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13.
14.
15.解：当时，，
，
，
，解得，
故不等式解集为；
函数的图象过点，
，解得，即，
，
关于的方程有实根，
有解，
方程有实根，
令，
，则，所以值域为，
，解得，
故的取值范围是．
16.解：由题意，，设，
，且为锐角，
，
，
，
又点的纵坐标是，为钝角，
在单位圆上，，
，
；
，
，
，
，
，
，
故．
17.解：，
，
，
．
由，得，，
故的单调递增区间为；
令，当时，，
作函数的图象，
数形结合可得，当或时，与有两个交点，
即有两解，
综上，当函数在区间上恰有两个零点，时，的取值范围为．
设，是函数的两个零点即，，
由正弦函数图象性质可知，即，
所以．
18.解：函数的定义域为，
又
当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数．
由可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
又，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
此时的取值不存在；
此时，可得的取值为
综上可得
19.解：由题知函数的最小正周期为，解得，
所以，
又函数在处取到最小值，所以，且，
即，，
令可得，；
函数图象上所有点的横坐标伸长至原来的倍纵坐标不变，得，
向左平移个单位长度可得，
令，，解得，，
的单调递增区间为；
方程在上有两个不同的实根，
，的图象如图所示，
由图可知或，解得或，
的取值范围为．
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