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章末检测卷(三)　第3章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
1 2
4 8
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)
y＝±x y＝±x
y＝±x y＝±x
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
椭圆 双曲线
双曲线的一支 抛物线
4．若椭圆C：＋y2＝1与椭圆D：＋＝1(02 4
3 5
5．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上的动点，△F1MF2面积的最大值为ab，则椭圆的离心率为(　　)
1
－1
6．从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
2
7．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
5 6
7 8
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知曲线C的方程为＋＝1(m∈R)，则(　　)
当m＝1时，曲线C为圆
当m>1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x
存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
10．已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则m的值可以为(　　)
6＋2 6＋4
24 25
11．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，且与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝6，则以下结论正确的有(　　)
p＝2 F为AD中点
|BD|＝2|BF| |BF|＝2
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________.
13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________.
14．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，则该双曲线的渐近线方程为________；若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
16．(15分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
17．(15分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4，0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有⊥？请说明理由．
18．(17分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点．
①求证：OA⊥OB；
②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值．
19．(17分)已知椭圆G：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
章末检测卷(三)　第3章
1.C　[抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.]
2.D　[∵y2＝8x的焦点是(2，0)，
∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴长b＝1且a>0，
∴a＝＝，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.]
3.D　[已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，
由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.]
4.B　[由两个椭圆的图形可得，当C的长轴端点恰好为D的短轴端点时，两个椭圆只有两个公共点，则m＝4.]
5.A　[设椭圆的半焦距为c，
∵F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，M在椭圆上，
∴△F1MF2面积的最大值为bc，
∴ab＝bc，即c＝a，
∴e＝.]
6.C　[设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2，
所以P(3，2)，F(1，0)，
所以直线PF的斜率k＝＝.故选C.]
7.D　[不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则可令F(c，0)，B(0，b)，
直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，
所以－·＝－1，即b2＝ac，
所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去).]
8.D　[法一　过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，
由消y得x2－5x＋4＝0，
解得x＝1或x＝4，
所以或
不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，
所以＝(0，2)，＝(3，4)，
所以·＝8.故选D.
法二　过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，
由消y，得x2－5x＋4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，
根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.
易知F(1，0)，
所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]
9.AC　[当m＝1时，曲线C为x2＋y2＝2，轨迹为圆，A正确；
当m>1时，如m＝4，曲线C为－y2＝1，轨迹为双曲线，B错误；
当m＝5时，曲线C为－＝1，
轨迹为双曲线，a＝，b＝，
渐近线方程为y＝±x，C正确；
若C为双曲线且离心率为，
则无解，
m值不存在，D错误.]
10.BCD　[设椭圆的左焦点为F′，则F′(－2，0)，
由点A在椭圆内部得＋<1，
结合m>4，解得m>6＋2.
根据椭圆的定义及|PA|＋|PF|＝8得
||PA|－|PF′||＝|8－2|，
又当P，F′，A三点共线时||PA|－|PF′||最大，
从而|8－2|≤|AF′|＝2，
解得9≤m≤25，
综上，6＋211.BCD　[由题意得F，
直线l的方程为y＝.
由得12x2－20px＋3p2＝0，
解得xA＝p，xB＝p.
则|AF|＝xA＋＝2p＝6，得p＝3，A错误；
∴抛物线方程为y2＝6x，
则xB＝，|BF|＝xB＋，D正确；
∵|BD|＝＝2|BF|，C正确；
∴|BD|＋|BF|＝6＝|AF|，则F为AD中点，B正确.]
12.y2＝16x　[∵双曲线的方程为－＝1，
∴右顶点为(4，0).
设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)，
则＝4，即p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.]
13.＋＝1　[设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝知，＝.
∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，
∴a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.]
14.y＝±3x　2　[由双曲线方程，知a＝1，b＝3，c＝.
该双曲线的渐近线方程为y＝±3x.
由F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，且·＝0(O为坐标原点)，
得|＋|＝2||＝||＝|F1F2|＝2.]
15.解　设PF1的中点为M，连接F2M.
由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
在Rt△F1F2M中，
|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，
即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x，
即4x±3y＝0.
16.解　(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线方程为－＝1，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).
∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
17.解　(1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，
所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消x得，y2－4ty－16＝0，
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16
＝－16t2＋16t2＋16＝16，
所以·＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，
所以⊥.
综上所述，无论l如何变化，总有⊥.
18.(1)解　设P(x，y)(x≥0)，
由题意得，＝x＋1(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
(2)证明　①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0，
∴OA⊥OB.
②设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x＝ty＋λ，
代入＋＝1，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0，
于是y3＋y4＝－，y3y4＝，
从而x3x4＝(ty3＋λ)(ty4＋λ)＝.
由①知OD⊥OE，
∴x3x4＋y3y4＝0，
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1)，
∴原点到直线DE的距离d＝＝，为定值.
19.解　(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由
消y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1AB中点为E(x0，y0)，
则x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，
解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
所以A(－3，－1)，B(0，2).
所以|AB|＝3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.(共33张PPT)
章末检测卷(三)　第3章
(时间：120分钟　满分：150分)
√
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是
A.1 B.2 C.4 D.8
抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
√
√
已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，
3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
√
√
设椭圆的半焦距为c，
√
6.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为
设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
√
√
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
√
√
设椭圆的左焦点为F′，则F′(－2，0)，
√
√
√
√
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
y2＝16x
y＝±3x
设PF1的中点为M，连接F2M.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，
∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
17.(15分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C，从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝－1，所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
由题意得直线l的斜率不为0，
18.(17分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
①设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
(2)求△PAB的面积.
设直线l的方程为y＝x＋m.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.

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