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章末检测卷(四)　第4章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A＝2A，则m的值为(　　)
5 3
6 7
2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)
40 74
84 200
3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
32 －32
1 024 512
4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有(　　)
A种 AA种
CA种 CCA种
5．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
40 41
－40 －41
6．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)
5 3
2 0
7．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为(　　)
AA AAA
CAA AAA
8．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)
－ －
－ －1
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列是组合问题的是(　　)
平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
10．男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生有(　　)
2人 3人
4人 5人
11．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　)
－3 －1
1 3
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.
13．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种.
14．若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为____________，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝____________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项.
16．(15分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．
(1)A，B必须被选出；
(2)至少有2名女生被选出；
(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．
17．(15分)设＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列，
(1)求展开式的中间项；
(2)求展开式中所有含x的奇次幂项的系数和．
18．(17分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．
(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．
19．(17分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
章末检测卷(四)　第4章
1.A　[依题意得＝2·，
化简得(m－3)·(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，
又m≥5，∴m＝5，故选A.]
2.B　[分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；
第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；
第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，
由分类加法计数原理得共有不同选法的种数为CC＋CC＋CC＝74.]
3.A　[由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10
＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.]
4.C　[先将4名水暖工选出2人分成一组，另外两人分别为一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种分配方案.]
5.B　[法一(赋值法)　依题意，令x＝1，
可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0.
令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，
以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，
所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
法二(通项公式法)　(2x－1)4的展开式的通项为
Tr＋1＝C(2x)4－r(－1)r，
分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，
所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.]
6.A　[常数项为C·22·C＝4，x7的系数为C·C·(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.]
7.D　[先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A种放法，再考虑4幅油画本身排放有A种方法，5幅国画本身排放有A种方法，故不同的排列法有AAA种.]
8.B　[令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.
两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，
两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.
又由条件可知a5＝－1，
故＝＝－.]
9.ABC　[A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.]
10.AB　[设男生有x人，则女生有(8－x)人.
∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，
∴C·C＝30，
∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，
或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.
∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3，
∴女生有2人或3人.]
11.AC　[令x＝1，由(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6可得，(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，
所以1＋m＝2或1＋m＝－2，
解得m＝1或m＝－3.]
12.240　[分两步完成：
第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；
第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法.由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种).]
13.30　[先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，
若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法.
故共有6×(1＋4)＝30(种)放法.]
14.405　1 024　[由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10
＝[－3＋(1－x)]10，
所以展开式的第9项为
T9＝C(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，
即a8＝405.
令x＝0，则a0＋a1＋…＋a10＝(2＋0)10＝1 024.]
15.解　二项展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，
由题意知展开式中第r＋1项系数是第r项系数的2倍，是第r＋2项系数的倍，
∴解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大的项是T4＝C(2)3＝280x和T5＝C(2)4＝560x2.
16.解　(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.
(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生.
所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.
(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务.
根据分步乘法计数原理，
所有选法数为C·C·A＝25 200.
17.解　(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝C.
由2a1＝a0＋a2，得m＝1＋C，
解得m＝8或m＝1(应舍去)，
所以展开式的中间项是第5项，
为T5＝C＝x4.
(2)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，即＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝，
所以展开式中所有含x的奇次幂项的系数和为.
18.解　(1)1，2，3，4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.
(2)需要考查5个数中相同数的个数.
若5个数各不相同，有A＝120(个)；
若有2个数相同，则有＝60(个)；
若有3个数相同，则有＝20(个)；
若有4个数相同，则有＝5(个)；
若5个数全相同，则有1个.
19.解　(1)将所有的三位偶数分为两类：
①若个位数为0，则共有A＝12(个)；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个).
所以共有12＋18＝30(个)符合题意的三位偶数.
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位数字为0，则共有A＝12(个)；
②若十位数字为1，则共有A＝6(个)；
③若十位数字为2，则共有A＝2(个).
所以共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”.
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(个)；
②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(个)；
③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(个).
所以共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.(共26张PPT)
章末检测卷(四)　第4章
(时间：120分钟　满分：150分)
√
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A.5 B.3 C.6 D.7
√
分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；
2.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是
A.40 B.74 C.84 D.200
第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；
第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，
√
A.32 B.－32 C.1 024 D.512
√
4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有
√
法一(赋值法)　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0.
5.若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝
A.40 B.41 C.－40 D.－41
令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，
以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，
所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，
所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
√
6.(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为
A.5 B.3 C.2 D.0
7.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为
√
令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
√
再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.
两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，
两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列是组合问题的是
A.平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B.10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
C.从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D.从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
√
√
√
A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.
10.男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生有
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
设男生有x人，则女生有(8－x)人.
√
√
∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，
11.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝
A.－3 B.－1 C.1 D.3
令x＝1，由(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6可得，
√
√
(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，
所以1＋m＝2或1＋m＝－2，
解得m＝1或m＝－3.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.
240
分两步完成：
13.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种.
30
先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，
若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法.
故共有6×(1＋4)＝30(种)放法.
14.若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为__________，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝__________.(第一空3分，第二空2分)
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由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10＝[－3＋(1－x)]10，
1 024
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(15分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.
(1)A，B必须被选出；
(2)至少有2名女生被选出；
选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务.
18.(17分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数.
(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
需要考查5个数中相同数的个数.
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.
将所有的三位偶数分为两类：
19.(17分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
将这些“凹数”分为三类：
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
将符合题意的五位数分为三类：
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

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