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(共26张PPT)
周测卷6　(范围：§3.1)
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
√
√
√
4.若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是
由题意，知当b＝c时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”.选项中只有A中b＝c＝2符合题意，故选A.
√
设直线m与x2＋2y2＝2的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
√
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
√
若C上存在点P满足∠APB＝120°，
√
则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.
故分析长半轴与短半轴的关系即可.
当焦点在x轴时，若∠APB≥120°，
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
2
四、解答题(本题共3小题，共43分)
13.(15分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，周测卷6(范围：§3.1)
(时间：50分钟　满分：100分)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，l与C的公共点个数为(　　)
0 1
2 无法判断
2.已知点M(，0)，直线y＝k(x＋)与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABM的周长为(　　)
4 8
12 16
3.已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·等于(　　)
0 1
2
4.若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是(　　)
＋＝1 ＋＝1
＋＝1 ＋＝1
5.过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
2 －2
－
6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围为(　　)
[1，2] [，]
[，4] [1，4]
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.设A，B是椭圆C：＋＝1(k>0且k≠4)长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB＝120°，则k的取值可能是(　　)
2
6 12
8.设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是(　　)
直线AB与OM垂直
若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为 若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.若直线y＝x＋1和椭圆＋＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________.
10.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
11.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点C在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P在椭圆E上，且t＝·，求实数t的取值范围.
13.(15分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
14.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P是C上一点，F1，F2是C的两个焦点，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y＝x＋n交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
周测卷6　(范围：§3.1)
1.C　[因为直线l：x＋my－m＝0恒过(0，1)，
而将(0，1)代入椭圆方程得<1，
故此点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，故有两个交点.]
2.B　[椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，
a2＝4，b2＝1，c＝＝，
所以椭圆的两个焦点为N(－，0)，M(，0).
又因为直线y＝k(x＋)必经过定点N(－，0)，由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AN|＋|AM|)＋(|BN|＋|BM|)＝2a＋2a＝4a＝8.]
3.A　[设P(x0，y0)，则依题意有S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|＝1，
而|F1F2|＝2，所以y0＝±，
故得x0＝±.
取P，可得·＝0.]
4.A　[由题意，知当b＝c时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”.选项中只有A中b＝c＝2符合题意，故选A.]
5.D　[设直线m与x2＋2y2＝2的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则中点P(x0，y0)，
且x0＝，y0＝，
将P1(x1，y1)，P2(x2，y2)代入x2＋2y2＝2，
可得x＋2y＝2，x＋2y＝2，
以上两式相减，可得x－x＋2(y－y)＝0，
则由于k1＝，k2＝＝，
所以1＋2×＝0，
即1＋2k1k2＝0，所以k1k2＝－.]
6.D　[由椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2b＝2，得b＝1.
又S△F1AB＝(a－c)b＝，解得a－c＝2－，
又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1，
∴a＝2，c＝，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
设|PF1|＝x，则|PF2|＝4－x，x∈[a－c，a＋c]，
即x∈[2－，2＋]，
∴＋＝＋
＝∈[1，4].]
7.AD　[若C上存在点P满足∠APB＝120°，
则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.
故分析长半轴与短半轴的关系即可.
当焦点在x轴时，若∠APB≥120°，
则 0当焦点在y轴时，若∠APB≥120°，
则 k≥12.
故k∈∪[12，＋∞)，
由选择项可知，A，D符合题意.]
8.BD　[因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质
kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A不正确；
根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0，所以B正确；
若直线方程为y＝x＋1，点M，
则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，
得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，
所以|AB|＝＝，
所以D正确.]
9.　[由消y得3x2＋4x－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝－，x1＋x2＝－，
所以|AB|＝·＝.]
10.　[设M(x，y)，∵·＝0，
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，
∴|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，
∴b>c，∴a2>2c2，
∴<，∴011.2　[设P(x0，y0)(x0∈[－，])，而F(－1，0)，
∴|OP|2＋|PF|2＝x＋y＋(x0＋1)2＋y.
又y＝1－，
∴|OP|2＋|PF|2＝x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2(当且仅当x0＝－1时等号成立).
∴|OP|2＋|PF|2的最小值为2.]
12.解　(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知c＝1，所以a2－b2＝1.①
因为点C在椭圆E上，
所以＋＝1.②
由①②得，a2＝4，b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，由·＝t，
得(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝t，
即x＋y＝t＋1.③
因为点P在椭圆E上，所以＋＝1.④
由③得y＝t＋1－x，代入④，
并整理得x＝4(t－2).⑤
由④知，0≤x≤4，⑥
结合⑤⑥，解得2≤t≤3.
故实数t的取值范围为[2，3].
13.解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点F′的坐标为(－2，0).
所以
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t(t≠0).
由
消去y，整理得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4，且t≠0.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4可得＝4，
解得t＝±2.
因为±2 [－4，0)∪(0，4]，
所以符合题意的直线l不存在.
14.解　(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，即a＝2.
∵e＝＝，∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝2，
即椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，
将y＝x＋n代入椭圆C的方程，
整理得5x2＋4nx＋2n2－4＝0，
Δ＝32n2－20(2n2－4)>0，∴n2<10，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝·，
点O到直线AB的距离d＝，
∴S△OAB＝×|AB|×d＝×××＝×≤××(10－n2＋n2)＝，
∴当且仅当10－n2＝n2，即n2＝5时取等号，
∴△OAB面积的最大值为.

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