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周测卷7(范围：§3.2)
(时间：50分钟　满分：100分)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
22或2 7
22 2
2.若双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)，则m的值为(　　)
1或3
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)
(－2，2) [－2，2)
(－2，2] [－2，2]
4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
5.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
6.已知F1、F2是双曲线C：－1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C交于M，N两两点，且F1N＝3F1M，|F2M|＝|F2N|，则C的离心率为(　　)
3
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为(　　)
－y2＝1 y2－＝1
x2－＝1 －x2＝1
8.我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则(　　)
曲线－＝1是黄金双曲线
如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么b2＝ac(c为半焦距)
如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.双曲线－y2＝1的焦点坐标是________.
10.已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
11.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点均在双曲线Γ：－y2＝1(a>0)的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为________.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
13.(15分)已知双曲线C的焦点在y轴，对称中心O为坐标原点，焦距为2，且过点A(5，).
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点，且·＝－，求|PQ|.
14.(15分)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
周测卷7　(范围：§3.2)
1.A　[∵a2＝25，∴a＝5.
设此点为P，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10，
则|PF1|－|PF2|＝±10.
由题意得|PF1|＝12，解得|PF2|＝22或2.]
2.A　[∵双曲线的一个焦点为(2，0)，
∴c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4，∴m＝.]
3.A　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－24.A　[双曲线C的渐近线方程为y＝±x，点P(2，1)在渐近线上，
∴＝1，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，
解得b2＝5，a2＝20，故选A.]
5.D　[由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，
所以F(2，0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，
所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，
故△APF的面积为×3×(2－1)＝.]
6.C　[设||＝m，则||＝3m，设|F2M|＝|F2N|＝n，
则由双曲线的定义得解得
所以||＝2a，||＝6a，|F2M|＝|F2N|＝4a，|MN|＝4a，
所以△MNF2为等边三角形，
所以∠NMF2＝60°，则∠F1MF2＝120°.
在△F1MF2中，由余弦定理得，
cos∠F1MF2＝，
即－＝，化简得c2＝7a2，c＝a，
所以双曲线的离心率为e＝＝.]
7.AB　[由题意知c＝，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
∴－＝1，
∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.]
8.BD　[对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，
所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠＝，故A错误；
对于B，若双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，
则e＝＝，
由c2＝a2＋b2，所以b2＝－a2＝a2＝ac，故B正确；
对于C，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，
则F(c，0)到该渐近线的距离d＝＝b，
而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；
对于D，当x＝c时，y2＝b2＝，
令M，N，
则＝，＝，
所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，
由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.]
9.(±，0)　[焦点在x轴上，c2＝4＋1＝5，c＝.]
10.9　[由题意知，双曲线右焦点的坐标为(4，0)，
设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4，
|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.
当A，P，E三点共线时，|PE|＋|PA|取得最小值，
(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
故|PF|＋|PA|的最小值为9.]
11.[1，＋∞)　[设点P2关于x轴的对称点P3(x2，－y2)，
易知点P3仍在双曲线右支上，如图.
由x1x2>y1y2，
得x1x2－y1y2>0，
即·>0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，则∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1.
故实数a的取值范围为[1，＋∞).]
12.解　(1)法一　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0).
由题意，得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，
即c＝3且焦点在x轴上.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
因为e＝＝，
所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二　因为椭圆焦点在x轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).
因为e＝，所以＝－1，
解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13.解　(1)∵双曲线C的焦点在y轴，焦距为2，
∴设F1(0，－)，F2(0，)，
又双曲线过点A(5，)，∴|AF1|＝＝7，|AF2|＝5，
∴2a＝|AF1|－|AF2|＝2，∴a＝1，c＝，∴b＝，
∴C的方程为y2－＝1.
(2)设斜率为2的直线l的方程为y＝2x＋m，
由得19x2＋20mx＋5m2－5＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(2x1＋m)(2x2＋m)＝4x1x2＋2m(x1＋x2)＋m2，
∴x1x2＋y1y2＝5x1x2＋2m(x1＋x2)＋m2＝，
由·＝－，可得＝－，∴m＝±1，
∴|PQ|＝＝.
14.(1)解　当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，
有c＋a＝＝，所以a＝c－a，
解得e＝2.
(2)证明　由(1)知双曲线方程为－＝1，
设B(x，y)(x>a，y>0)，易知渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈，
当x>a，x≠2a时，则kAB＝，kBF＝.
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan 2θ＝＝＝
＝＝＝
＝＝－kBF＝tan∠BFA.
因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.
当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，
故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.(共25张PPT)
周测卷7　(范围：§3.2)
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
√
∵双曲线的一个焦点为(2，0)，
√
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为
A.(－2，2) B.[－2，2)
C.(－2，2] D.[－2，2]
易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程
(4－k2)x2－16＝0，
√
√
由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
√
所以△MNF2为等边三角形，
所以∠NMF2＝60°，则∠F1MF2＝120°.
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
√
√
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
由题意知，双曲线右焦点的坐标为(4，0)，
9
设点P2关于x轴的对称点P3(x2，－y2)，
[1，＋∞)
易知点P3仍在双曲线右支上，如图.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)；
法二　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，即c＝3且焦点在x轴上.
法二　因为椭圆焦点在x轴上，
当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，

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