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周测卷8(范围：§3.3～§3.5)
(时间：50分钟　满分：100分)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　)
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于(　　)
2
1
3.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
4.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为点K，则△AKF的面积是(　　)
4 3
4 8
5.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　)
5
－1 ＋1
6.已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若＝(＋)，则||＋||＋||＝(　　)
6 8
10 12
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的可能取值为(　　)
1 2
3 4
8.已知O为坐标原点，点M(1，2)，P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F为其焦点，若F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有(　　)
若|PF|＝6，则点P的横坐标为4
该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
若△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的面积为9π
△PMF周长的最小值为3＋
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.以椭圆＋＝1的中心为顶点，且以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________.
10.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.
11.已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是________.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).
13.(15分)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
14.(15分)如图，P为抛物线y＝x2上的一点，抛物线的焦点为F，PC垂直于直线y＝－，垂足为C，直线AB垂直于PF，分别交x轴、y轴于点A，B.
(1)求使△PCF为等边三角形的点P的坐标.
(2)是否存在点P，使P平分线段AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
周测卷8　(范围：§3.3～§3.5)
1.B　[抛物线的标准方程为x2＝－y，2p＝1，p＝，焦点在y轴负半轴，故选B.]
2.C　[由抛物线焦点弦的性质，可得＋＝，
由|AF|＝4，|BF|＝1，得＝＋1＝，解得p＝.]
3.D　[设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.]
4.C　[∵y2＝4x，
∴焦点F(1，0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：
y＝(x－1)，
将其与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍去)，故A(3，2)，
∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.]
5.C　[点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.
圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为，
即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，
这个值即为所求.]
6.D　[由抛物线x2＝8y得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＝(＋)，得(－x1，2－y1)
＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)，
则2－y1＝(y2－y1＋y3－y1)，
化简得y1＋y2＋y3＝6，
所以||＋||＋||＝y1＋y2＋y3＋2×3
＝6＋6＝12，故选D.]
7.BD　[因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，
所以即
代入抛物线方程可得8＝2p，整理得p2－6p＋8＝0，
解得p＝2或p＝4.故选BD.]
8.ACD　[因为双曲线的方程为－y2＝1，
所以a2＝3，b2＝1，
则c＝＝2.
因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，
所以＝2，即p＝4.
若|PF|＝6，则点P的横坐标为x0＝|PF|－＝4，A正确.
因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为＝＝，B错误.
因为O(0，0)，F(2，0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1.
又因为△POF外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离，
又等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，
所以r＝3，所以该外接圆的面积为S＝πr2＝9π，C正确.
因为△PMF的周长为C＝|PF|＋|PM|＋|MF|＝xP＋＋|PM|＋＝(xP＋|PM|)＋2＋≥xM＋2＋＝3＋，D正确.]
9.y2＝12x　[因为椭圆＋＝1的右焦点为(3，0)，
所以＝3，p＝6，且抛物线开口向右，故抛物线的方程为y2＝12x.]
10.9　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，
故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，
所以点M到y轴的距离为9.]
11.x＝－1　[如图所示，
过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，由题意，得∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，所以|AB|＝|AF|·
sin 30°＝2，点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝2＋p＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1.]
12.解　设探测器的运行轨道方程为＋＝1(a>b>0)，
且c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35 028.
∴探测器的运行轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)处，
则x＋y＝ab≈81 975.1，①
＋＝1，②
由①②得x0≈239.7，y0≈156.7.
－R≈187.
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.
13.(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，
代入抛物线方程，整理得y2－ty－t－3＝0.
因为Δ＝(t＋2)2＋8>0，
所以y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.
所以k1k2＝·＝·
＝＝
＝＝－，故k1k2是定值.
14.解　(1)设点P的坐标为(m，n)，
则点C的坐标为，|PC|＝＋n.
由抛物线的定义知|PC|＝|PF|.
因为|CF|＝，且△PCF为等边三角形，
所以n＋＝，
又n＝m2，
所以m＝±，n＝，
所以点P的坐标为或.
(2)设点P的坐标为(m，n)，假设存在点P使|PA|＝|PB|，连接AF.
易知点A的坐标为(2m，0)，点B的坐标为(0，2n)，F.
又PF⊥AB，所以|AF|＝|BF|，
即＝，又n＝m2，
所以m＝±，n＝.所以存在满足条件的点P，且点P的坐标为或.(共21张PPT)
周测卷8　(范围：§3.3～§3.5)
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y＝－x2的焦点坐标为
√
√
3.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是
√
∵y2＝4x，
√
点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.
5.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
√
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
√
√
√
√
√
因为O(0，0)，F(2，0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
y2＝12x
9
11.已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是________.
如图所示，
x＝－1
过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，由题意，得∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，所以|AB|＝|AF|·sin 30°＝2，点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝2＋p＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
13.(15分)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，1).
(1)求抛物线C的方程.
由题意得2p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，

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