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综合检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
y＝－ y＝－
x＝－ x＝－
2．已知直线l1：x＋(1＋m)y＝2－m，l2：2mx＋4y＝－16，若l1∥l2，则m等于(　　)
－2或1 －2或4
4 1
3．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为(　　)
4．某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有(　　)
510种 105种
50种 3 024种
5．已知2，m＋2n，－6成等差数列，则圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的点到点M(m，n)距离的最大值为(　　)
1 2
5 3
6.展开式中的xy2的系数为(　　)
10 －10
30 －30
7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　)
78石 76石
75石 74石
8．已知双曲线C：－＝1(a>3)左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交双曲线C于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
3x±4y＝0 4x±3y＝0
3x±8y＝0 8x±3y＝0
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列选项正确的是(　　)
的最大值是
的最大值是
过点(1，－)作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x－y＋1＝0
过点(1，－)作x2＋y2－4x＋1＝0的切线，则切线方程为x＋y＋1＝0
10．如图所示，
某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是(　　)
c1＝a2＋c2 a1＋c1>2(a2＋c2)
e2＝2e1－1 椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则(　　)
a8>0
a9<0
，，…，中最大的项为
，，…，中最大的项为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 024，则n的值为________.
13．若x6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a5＝________．(本题第一空3分，第二空2分)
14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－3，0)的直线与双曲线交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为(3，6)，则双曲线方程是____________.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0.
(1)求证：直线l必过定点，并求该定点；
(2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．
16．(15分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－n2＋2n＋2.
(1)证明：数列{an－n2＋1}为等比数列；
(2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.
17．(15分)已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)点C的轨迹与经过点(2，0)且斜率为1的直线交于D，E两点，求线段DE的长．
18．(17分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
19．(17分)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，离心率e＝，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点A作两条斜率为k1，k2的直线分别交椭圆E于M，N(异于A，B)两点，设M，N在x轴的上方，过点B作直线AN的平行线交椭圆E于点N1，若直线MN1过椭圆的左焦点F，求的值．
综合检测卷(一)
1.A　[∵抛物线的方程为x2＝y，焦点在y轴上，
∴2p＝1，即p＝，∴＝，
∴准线方程是y＝－＝－.]
2.D　[因为l1∥l2，则
解得m＝1.]
3.A　[设S3＝a，S6＝3a，
根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a，2a，3a，4a，
故＝＝.]
4.A　[每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.]
5.C　[因为2，m＋2n，－6成等差数列，
所以2(m＋2n)＝2－6，可得m＋2n＋2＝0，
所以点M的轨迹方程为x＋2y＋2＝0，
又圆C的圆心为(3，－1)，半径为2，
则圆C上的点到点M距离的最大值为
dmax＝＋2＝3＋2＝5.]
6.D　[＝，
含y2的项为T3＝C·y2，
其中中含x的项为Cx2·＝－3x.
∴xy2的系数为C·(－3)＝－30.]
7.A　[今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，
因此公差d＝＝＝－18，
则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.
所以甲应该分得78石.]
8.A　[设F1(－c，0)，A(－c，y1)，B(－c，y2)，
因为l垂直于x轴，
所以y1＝－y2，
又A，B在双曲线C上，
所以－＝1，
又c2＝a2＋b2＝a2＋9，所以|y1|＝＝，
所以|AB|＝＝，
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2×＝25，
所以a＝4或a＝(舍去).
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
即3x±4y＝0.]
9.AD　[对于A，B，设＝k，即y＝k(x＋1)，
由圆心(2，0)到直线y＝k(x＋1)
的距离等于半径时直线与圆相切，即＝，解得k2＝，
即kmax＝，kmin＝－，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于C，D，显然点(1，－)在圆(x－2)2＋y2＝3上，过(1，－)与圆心(2，0)的直线斜率为k＝，由切线性质知，切线斜率k′＝－，所以切线方程为y＋＝－(x－1)，整理得x＋y＋1＝0，故C错误，D正确.]
10.ABC　[由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则a1＝2a2，
且|PF|＝a1－c1＝a2－c2.
对于A选项，2a2－c1＝a2－c2，∴c1＝a2＋c2，A选项正确；
对于B选项，∵a1＝2a2，c1＝a2＋c2>2c2，
∴a1＋c1>2a2＋2c2＝2(a2＋c2)，B选项正确；
对于C选项，∵c1＝a2＋c2，
∴e1＝＝＝＝e2＋，
即2e1＝e2＋1，∴e2＝2e1－1，C选项正确；
对于D选项，∵e2＝2e1－1＝(e1－1)＋e1∴椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D选项错误.]
11.ABD　[由S15＝＝15a8>0，得a8>0，A正确；
由S16＝＝<0，
得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；
因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，
则，…，为正，，…，为负，C错误；
当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，
所以，，…，中最大的项为，D正确.]
12.2 023　[由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)及a1＝2，
得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.
数列{an}的前n项之积为Tn＝×××…×＝n＋1.
∴当Tn＝2 024时，n的值为2 023.]
13.0　－6　[因为x6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，
令x＝0得，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝06＝0，
由x6＝[(x＋1)－1]6，
又[(x＋1)－1]6展开式的通项公式为
Tk＋1＝(－1)kC(1＋x)6－k，
令6－k＝5，解得k＝1，
则(x＋1)5的系数为－C＝－6.]
14.－＝1　[设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则－＝1，－＝1，
两式相减可得＝，
所以＝，
因为点(3，6)是线段MN的中点，
所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，
所以kMN＝＝×＝×＝，
因为kMN＝＝1，所以＝1，即b2＝2a2，
因为c2＝a2＋b2＝3a2＝9，所以a2＝3，b2＝6，
所以双曲线方程是－＝1.]
15.(1)证明　直线l的方程可化为k(x－3)－y＝0，
对上式中，当x＝3，y＝0时，不论k取何值，等式恒成立，
∴直线l恒过点A(3，0).
(2)解　将圆M的方程化为(x－4)2＋(y－1)2＝8，
圆心为M(4，1)，半径r＝2，
由(1)知，直线l恒过点A(3，0)，
当圆M截直线l所得弦长最小时，
则MA垂直于直线l，即kMA·k＝－1，
∵M(4，1)，A(3，0)，∴kMA＝＝1，∴k＝－1.
∴当圆M截直线l所得弦长最小时，k的值为－1.
16.(1)证明　法一　由an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
知an＋1－(n＋1)2＋1＝2(an－n2＋1)，
又a1－12＋1＝1，故{an－n2＋1}是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
法二　由a1＝1，可知a1－12＋1＝1，
又an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
∴＝＝＝2，
∴{an－n2＋1}是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
(2)解　由(1)知，an－n2＋1＝2n－1，则an－n2＝2n－1－1，
∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1－n＝－n＝2n－n－1.
17.解　(1)∵点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.
又|AB|＝2>2，
∴点C的轨迹方程是以A(－，0)和B(，0)为焦点的双曲线，
且a＝1，c＝，
∴点C的轨迹方程是x2－＝1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2－y2＝2，经过点(2，0)且斜率为1的直线方程为y＝x－2.
∴联立得x2＋4x－6＝0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，
∴|DE|＝＝4.
故线段DE的长为4.
18.解　(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
所以2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝.
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)×31－n.
当n＝1时，T1＝b1＝；
当n≥2时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n＝－，
所以Tn＝－.
经检验，n＝1时也适合上式 .
综上可得，Tn＝－.
19.解　(1)由题意得，解得
则椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，A(－2，0)，B(2，0)，
则AM：y＝k1(x＋2)，BN1：y＝k2(x－2)，
设M(x1，y1)，由
得(3＋4k)x2＋16kx＋16k－12＝0，
有x1－2＝－，x1＝，即y1＝，
设N1(x2，y2)，由
得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，
有x2＋2＝，x2＝，
即y2＝－，
∵直线MN1过椭圆的左焦点F(－1，0)，
∴由kMF＝kN1F知，＝，
整理得(3k2－k1)(3＋4k1k2)＝0，
又k1，k2>0，∴3＋4k1k2>0，
即3k2－k1＝0，故＝3.(共35张PPT)
综合检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
√
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y＝x2的准线方程是
√
2.已知直线l1：x＋(1＋m)y＝2－m，l2：2mx＋4y＝－16，若l1∥l2，则m等于
A.－2或1 B.－2或4
C.4 D.1
√
设S3＝a，S6＝3a，
√
4.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有
A.510种 B.105种
C.50种 D.3 024种
每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.
√
因为2，m＋2n，－6成等差数列，
√
A.10 B.－10 C.30 D.－30
7.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得
A.78石 B.76石 C.75石 D.74石
√
今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，
设F1(－c，0)，A(－c，y1)，B(－c，y2)，
√
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
√
√
10.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1和e2，则下列结论正确的是
√
√
√
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则
√
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 024，则n的值为________.
2 023
13.若x6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a5＝________.(本题第一空3分，第二空2分)
0
因为x6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，
-1
令x＝0得，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝06＝0，由x6＝[(x＋1)－1]6，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0.
(1)求证：直线l必过定点，并求该定点；
直线l的方程可化为k(x－3)－y＝0，
(2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值.
16.(15分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－n2＋2n＋2.
(1)证明：数列{an－n2＋1}为等比数列；
法一　由an＋1＝2an－n2＋2n＋2，
由(1)知，an－n2＋1＝2n－1，
(2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.
∵点C的轨迹方程是2x2－y2＝2，经过点(2，0)且斜率为1的直线方程为
y＝x－2.
因为2Sn＝3n＋3，
18.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求数列{an}的通项公式；
所以2a1＝3＋3，故a1＝3.

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