资源简介

综合检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
相离 相切
相交 不确定
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
－2 －1
0 1
3．经过圆x2＋y2－2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0平行的直线方程是(　　)
x＋y－1＝0 x＋y＋1＝0
x－y－1＝0 x－y＋1＝0
4．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
14 12
6 3
5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则的最小值为(　　)
2 1
6．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)
第11项 第13项
第18项 第20项
7．过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＝4在第一象限的部分有交点，则直线 l的斜率k的取值范围是(　　)
8.
如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
3
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)．直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是(　　)
当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
当－1当0当m>1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
10．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　)
1 2
3 4
11．已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
P点纵坐标为3 ∠F1PF2>90°
△F1PF2的周长为4(＋1) △F1PF2的内切圆半径为(－1)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N＋)．令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.
13．已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
16．(15分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
17．(15分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
18．(17分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
19．(17分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
综合检测卷(二)
1.C　[直线ax－y＋2a＝0可化为a(x＋2)－y＝0，
故直线恒过定点(－2，0)，
由点(－2，0)在圆x2＋y2＝9内可知，直线与圆相交.]
2.B　[∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.]
3.A　[圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0).
设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0(C≠0)，
将(1，0)代入，得C＝－1，
∴直线方程为x＋y－1＝0.]
4.D　[法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可得
即
解得所以a6＝a1q5＝3，故选D.
法二　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可得
即
解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.]
5.A　[由e＝2得＝2，从而b＝a>0，
所以＝＝a＋≥2＝2＝，当且仅当a＝，即a＝时“＝”成立.]
6.D　[(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为
C＋C＋C＝C＋C＋C＝55，
以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为
an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.]
7.D　[如图，圆C：x2＋y2＝4与x轴的正半轴的交点为A(2，0)，与y轴正半轴的交点为B(0，2)，
∵直线l与圆C：x2＋y2＝4在第一象限的部分有交点，
∴kPA∴－8.C　[根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，
即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，
又∵|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.
∵△AF1F2中，|AF1|＝2a，
|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos 120°，
即4c2＝4a2＋16a2－2·2a×4a·＝28a2，得c＝a，
由此可得双曲线C的离心率e＝＝.故选C.]
9.ABD　[设P(x，y)(x≠±1)，
则直线AP的斜率kAP＝(x≠－1)，kBP＝(x≠1)，
由已知得·＝m(x≠±1)，
化简得P点的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1).故选ABD.]
10.BD　[任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15(次)，
如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.
现有6位同学总共交换了13次，少交换了2次，
这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，
若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.故选BD.]
11.CD　[由椭圆方程，可知a＝2，b＝2，c＝2.
由S△F1PF2＝3可得3＝·|F1F2|·|yP|，
故|yP|＝.故A错误；
把|yP|＝代入椭圆方程，可求得x＝.
所以·＝(－2－xP，－yP)·(2－xP，－yP)＝x＋y－4＝＋－4>0，故∠F1PF2<90°.故B错误；
△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋4.故C正确；
S△F1PF2＝·(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·R＝3.
∴R＝(－1)，故D正确.]
12.5 050　[由an＋1＝3an＋2(n∈N＋)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＝3n，an＝3n－1.
所以bn＝log3(an＋1)＝n，
因此b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5 050.]
13.8　－2　[由多项式的展开式可知，a2＝2C(－1)2＋C(－1)3＝12－4＝8.
令x＝0可得a0＝2，
令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.]
14.2　[如图，由AB的斜率为，知α＝60°，
又＝，
∴M为AB的中点.
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
∴＝＝.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.]
15.(1)解　显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
由解得
故直线经过一定点M(2，－2).
(2)证明　过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.
16.解　(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，
即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得an＝(－2)n－1，
所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n·(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.
所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n＝－n·(－2)n.所以Sn＝－.
17.解　由题意知直线l的斜率存在且不为0，设为k，
则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
由方程组消去x得ky2－2y＋4＝0，
由Δ＝4－16k>0得k<(k≠0).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又故x1x2＝(y1y2)2＝.
由题意知OM⊥ON，
∴kOM·kON＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴＋＝0，
解得k＝－1.
∴所求直线方程为y＝－x＋2，
即x＋y－2＝0.
18.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根.
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴
∴∴an＝4n－3(n∈N＋).
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－(c＝0舍去).
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.
19.解　(1)由题意，得∴
故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1，0)，B(0，－2)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由消y得9x2＋16x＋6＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|＝·
＝·＝，
又点F2(1，0)到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.(共31张PPT)
综合检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
√
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
4
直线ax－y＋2a＝0可化为a(x＋2)－y＝0，
故直线恒过定点(－2，0)，
由点(－2，0)在圆x2＋y2＝9内可知，直线与圆相交.
√
∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是
A.－2 B.－1 C.0 D.1
∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
√
圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0).
3.经过圆x2＋y2－2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0平行的直线方程是
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋1＝0
C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0(C≠0)，
将(1，0)代入，得C＝－1，∴直线方程为x＋y－1＝0.
√
4.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝
A.14 B.12 C.6 D.3
法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
法二　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
√
√
6.在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的
A.第11项 B.第13项 C.第18项 D.第20项
7.过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＝4在第一象限的部分有交点，则直线 l的斜率k的取值范围是
√
如图，圆C：x2＋y2＝4与x轴的正半轴的交点为A(2，0)，与y轴正半轴的交点为B(0，2)，
8.如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为
根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
√
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，
又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.
∵△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
√
9.已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0).直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是
A.当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B.当－1C.当0D.当m>1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
√
√
10.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
√
如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.
现有6位同学总共交换了13次，少交换了2次，
这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，
若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.故选BD.
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N＋).令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.
5 050
由an＋1＝3an＋2(n∈N＋)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋1＝3n，an＝3n－1.所以bn＝log3(an＋1)＝n，
13.已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
8
－2
2
显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，
设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，
16.(15分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
记Sn为{nan}的前n项和.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
17.(15分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程.
设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
18.(17分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∵F1(－1，0)，B(0，－2)，

展开更多......

收起↑