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章末检测卷(二)　第2章
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.与向量a=(-1,2,-3)平行的一个向量的坐标是 (　　)
(2,4,-4) (-1,2,-4)
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD的对角线交于点O,且=a,=b,则等于 (　　)
-a-b a+b
a-b 2(a-b)
3.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是 (　　)
(1,-4,2)
(0,-1,1)
4.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ= (　　)
2 -2
-2或
5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于 (　　)
1 2
3 4
6.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于 (　　)
1 2
13 26
7.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=4,原点O是BC的中点,点A,点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则AD的长为 (　　)
8.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,且AB=3,AD=4,PA=,则平面ABD与平面PBD所成的角为 (　　)
30° 45°
60° 75°
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是 (　　)
=0
=0
10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE的值可能是 (　　)
a a
2a a
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中正确的是 (　　)
AC⊥BE
EF∥平面ABCD
三棱锥A-BEF的体积为定值
异面直线AE,BF所成的角为定值
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),a与b夹角的余弦值为　　　　;若a⊥(a-λb),则λ=　　　　.
13.已知点A(-1,1,-1),平面α经过原点O,且垂直于向量n=(1,-1,1),则点A到平面α的距离为　　　　.
14.如图所示,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=,b=,c=,试以a,b,c为基向量表示出向量,并求BN的长.
16.(15分)已知空间内三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a与向量,都垂直,且|a|=,求向量a的坐标.
17.(15分)如图,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点,PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.
(1)求证:AE∥平面PFQ;
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
18.(17分)如图,在多面体ABC A1B1C1中,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
19.(17分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,说明理由;
(3)若平面AB1E与平面A1B1E所成角的大小为30°,求AB的长.
章末检测卷(二)　第2章
1.B　[a=-,故选B.]
2.A　[=-a-b.]
3.D　[因为=(0,2,4),直线l平行于向量a,
若m是平面α的法向量,则必须满足
把选项代入验证,只有选项D不满足,故选D.]
4.C　[由题意,得cos=,
解得λ=-2或λ=.]
5.A　[若向量a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,
即(1,3,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),
∴解得x=1,y=1,λ=1.故选A.]
6.B　[设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),
则
不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),
所以四棱锥的高h==2.]
7.D　[因为点D在平面yOz内,所以点D的横坐标为0,
又BC=4,原点O是BC的中点,∠BDC=90°,∠DCB=30°,
所以点D的竖坐标z=4·sin 30°·sin 60°=,
纵坐标y=-(2-4·sin 30°·cos 60°)=-1,
所以D(0,-1,).
所以AD=.故选D.]
8.A　[如图所示,建立空间直角坐标系,则
P,B(3,0,0),D(0,4,0),,
=(-3,4,0).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则
∴令x=1,则n=.
又n1=为平面ABD的一个法向量,
∴cos=.∴平面ABD与平面PBD所成的角为30°.]
9.ABC　[如图,,即,,,故A,B,C选项均正确.]
第9题解析图　　　　　　第10题解析图
10.AC　[以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D,B1(0,0,3a),C(0,a,0).
设点E的坐标为(a,0,z)(0≤z≤3a),则,
=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).
由CE⊥平面B1DE,得CE⊥DE,CE⊥B1E,故
即解得z=a或2a,即AE=a或2a.]
11.ABC　[因为AC⊥平面BB1D1D,又BE 平面BB1D1D,所以AC⊥BE,故A正确;因为B1D1∥平面ABCD,又E,F在直线D1B1上运动,所以EF∥平面ABCD,故B正确;
C中由于点B到直线EF(即B1D1)的距离不变,故△BEF的面积为定值,
又点A到平面BEF(即平面BB1D1D)的距离为,故VA-BEF为定值,故C正确;
①当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(1,1,0),
B(0,1,0),E(1,0,1),F,
所以=(0,-1,1),,
所以,|,
所以cos<,.
所以此时异面直线AE与BF成30°角.
②当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1),
所以,=(0,0,1),所以=1,
|,||=1,
所以cos<,,故D错误.]
12.　2　[∵a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),
∴cos=.
由题意a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,又a2=14,a·b=7,∴14-7λ=0,
∴λ=2.]
13.　[∵=(-1,1,-1),n=(1,-1,1),
∴点A到平面α的距离为d=.]
14.　[设正四面体棱长为4,
又,,AB⊥CD,AD⊥BC,
所以cos<,
=,故直线DE和BF所成角的余弦值为.]
15.解　因为()
=[-()]=-,
所以a+b+c.
又|a|=|b|=2,|c|=3,a·b=0,a·c=2×3·cos 60°=3,
b·c=2×3·cos 60°=3,
所以|
=(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=.
所以|,即BN的长为.
16.解　(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴cos∠BAC=,
又∵∠BAC∈[0,π],∴∠BAC=,
∴平行四边形的面积S=|.
(2)设a=(x,y,z),由a⊥,得-2x-y+3z=0,
由a⊥,得x-3y+2z=0,由|a|=,得x2+y2+z2=3,
∴x=y=z=1或x=y=z=-1.∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
17.(1)证明　如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=2,AB=BC=AC=4,
又E,F分别是BC,AC的中点,
∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),
E(,3,0),Q,P(0,0,2).
∵,=(,3,0),∴.
∵AE与FQ无交点,∴AE∥FQ.
又FQ 平面PFQ,AE 平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.
(2)解　由(1)知,AE∥平面PFQ,
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),
则=(0,2,-2),,
∴
令y=1,则x=-,z=1,
∴平面PFQ的一个法向量为n=(-,1,1).
又,∴所求距离d=.
18.(1)证明　如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知各点坐标如下:
A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),
B1(1,0,2),C1(0,,1),
因此=(1,,2),=(1,,-2),
=(0,2,-3).
由=0得AB1⊥A1B1,
由=0得AB1⊥A1C1.
又A1B1∩A1C1=A1,A1B1,A1C1 平面A1B1C1,
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解　由(1)可知=(0,2,1),
=(1,,0),=(0,0,2).
设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),
由
令y=1,则x=-,z=0,
可得平面ABB1的一个法向量n=(-,1,0).
设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,
所以sin θ=|cos<,n>|=.
因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
19.(1)证明　以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),
D1(0,1,1),E,B1(a,0,1).
故=(0,1,1),,
=(a,0,1),.
∵·0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.
(2)解　假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)(0≤z0≤1),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,得
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,
即n·=0,-az0=0,解得z0=.
又DP 平面B1AE,
∴存在点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.
(3)解　连接A1D,B1C,
由ABCD-A1B1C1D1为长方体及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C,
又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,B1C,B1E 平面DCB1A1,
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴是平面DCB1A1即平面A1B1E的一个法向量,且=(0,1,1).
设与n所成的角为θ,
则cos θ=.
∵平面AB1E与平面A1B1E所成角的大小为30°,
∴|cos θ|=cos 30°,
即,解得a=2,即AB的长为2.(共41张PPT)
章末检测卷(二)　第2章
第2章　空间向量与立体几何
(时间：120分钟　满分：150分)
√
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.与向量a＝(－1，2，－3)平行的一个向量的坐标是
√
√
3.已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是
√
√
5.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于
A.1 B.2 C.3 D.4
若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
√
设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，
√
因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，
√
如图所示，建立空间直角坐标系，
√
√
√
√
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是
√
√
√
√
因为AC⊥平面BB1D1D，又BE 平面BB1D1D，所以AC⊥BE，故A正确；
因为B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，所以EF∥平面ABCD，故B正确；
C中由于点B到直线EF(即B1D1)的距离不变，故△BEF的面积为定值，
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________.
2
∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，
由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，
∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
13.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.
设正四面体棱长为4，
设a＝(x，y，z)，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
17.(15分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；
如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，
又E，F分别是BC，AC的中点，
∵AE与FQ无交点，
∴AE∥FQ.
又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
18.(17分)如图，在多面体ABC A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC， ∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
19.(17分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若平面AB1E与平面A1B1E所成角的大小为30°，求AB的长.
连接A1D，B1C，
由ABCD－A1B1C1D1为长方体及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C，
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E 平面DCB1A1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，

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