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章末检测卷(一)　第1章
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设曲线y=在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,则a= (　　)
-
-2 2
2.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为 (　　)
(-∞,-1)和(0,1) (-1,0)和(1,+∞)
(-1,1) (-∞,-1)和(1,+∞)
3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于 (　　)
2 3
4 5
4.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4,则实数a的值是 (　　)
1 -1
4 -4
5.已知函数f(x)=x+在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　)
[1,+∞) (-∞,0)∪(0,1]
(0,1] (-∞,0)∪[1,+∞)
6.函数f(x)=的部分图象大致为 (　　)
A B
C D
7.设a=e,b=,c=,则a,b,c大小关系是 (　　)
ac8.方程-ln x-2=0的根的个数为 (　　)
0 1
2 3
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列函数中,存在极值点的是 (　　)
y=x- y=2|x|
y=-2x3-x y=xln x
10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则 (　　)
在x=-2时,函数y=f(x)取得极值
在x=1时,函数y=f(x)取得极值
y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零
函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增
11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)2f(2)-3f(1)>5
若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+
f(3)-2f(1)<7
若f(1)=2,0x2+
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)满足f(x)=f'sin x-cos x,则f'=　　　　.
13.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x14.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)满足条件:
(1)在闭区间[a,b]上是连续不断的;
(2)在区间(a,b)上都有导数.
则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f'(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=x2在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;(2)求g(x)的单调区间.
16.(15分)已知函数f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)若对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若函数f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=xex-x-ax2.
(1)当a=时,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
18.(17分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m,高为h m,体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100 元/m2,底面的建造成本为160 元/m2,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.
19.(17分)已知函数f(x)=xln x-ax.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x+1>成立.
章末检测卷(一)　第1章
1.A　[由题意得,y'=(x>0),
∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,
∴=-a,解得a=-,故选A.]
2.A　[y'=4x3-4x=4x(x2-1),
令y'<0得x的范围为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.]
3.D　[f'(x)=3x2+2ax+3.
由f(x)在x=-3时取得极值,即f'(-3)=0,
即27-6a+3=0,∴a=5,经检验a=5合题意.]
4.B　[由函数f(x)=(x>1),则f'(x)=,
要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0,
则当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,
所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,
即f(x)max=f(2)==-4,解得a=-1,满足题意.故选B.]
5.D　[由题意知f'(x)=1-,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,
则f'(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即≤x2在(-∞,-1)上恒成立.
当x<-1时,x2>1,则有≤1,解得a≥1或a<0.故选D.]
6.C　[f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;
f(1)=<1,故排除A;
∵f(x)=,当x>0时,可得f'(x)=,
当x>1时,f'(x)>0,f(x)为增函数,故排除D.故选C.]
7.A　[构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)>0,则f(x)在(e,+∞)上单调递增.
又e<3<π,∴f(e)8.C　[令f(x)=-ln x-2(x>0),则f'(x)=,
当x∈(0,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln 4-2<0,f(e6)=e3-ln e6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-ln e-2-2=>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在一个零点,在区间(4,+∞)上也存在一个零点,故方程-ln x-2=0的根的个数为2.故选C.]
9.BD　[由题意函数y=x-,则y'=1+>0,
所以函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,没有极值点,故A错误;
函数y=2|x|=根据指数函数的图象与性质可得,当x<0时,函数y=2|x|单调递减,当x>0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值,故B正确;
函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点,故C错误;
函数y=xln x,则y'=1+ln x,当x∈时,y'<0,函数单调递减,当x∈时,y'>0,函数单调递增,当x=时,函数取得极小值,故D正确.故选BD.]
10.AD　[由题图可知,x=-2是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;
x=1不是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;
y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f'(0)>0,选项C错误;
当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,此时函数y=f(x)单调递增,选项D正确.故选AD.]
11.CD　[设函数g(x)=,
则g'(x)=,
因为(x+1)f'(x)-f(x)故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.
当0g(1)=,即,即f(x)>x2+,故D正确,从而B错误.故选CD.]
12.　[因为f(x)=f'sin x-cos x,所以f'(x)=f'cos x+sin x,
则f',即f'.]
13.(2,+∞)　[记f(x)=x3-x2-x,所以f'(x)=3x2-2x-1.
令f'(x)=0,得x=-或x=1.
又因为f,f(2)=2,f(-1)=-1,f(1)=-1,
所以当x∈[-1,2]时,f(x)max=2,所以m>2.]
14.　[因为g(x)=x2,所以g'(x)=2x,结合“拉格朗日中值”定义可得g'(t)==1,所以2t=1,即t=.]
15.解　(1)因为f(x)=x3+bx2+cx,所以f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)
=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.
因为g(x)是一个奇函数,且x∈R,所以g(0)=0,得c=0.
由奇函数的定义,得b=3.
(2)由(1),知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6.
令g'(x)>0,得x>;令g'(x)<0,得-.
所以(-∞,-)和(,+∞)是函数g(x)的单调递增区间,(-,)是函数g(x)的单调递减区间.
16.解　(1)f'(x)=3x2-9x+6=3,
由f'(x)≥m恒成立,可得m≤-,即m的最大值为-.
(2)f'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),
由f'(x)>0 x>2或x<1,
由f'(x)<0 1∴f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增,
在(1,2)上单调递减,
∴f(x)极大值=f(1)=-a,f(x)极小值=f(2)=2-a.
∵f(x)恰有一个零点,
∴-a<0或2-a>0,即a<2或a>,
所以a的取值范围为(-∞,2)∪.
17.解　(1)当a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,
f'(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
令f'(x)=0,则x=-1或0,
当x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-1,0).
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,则g'(x)=ex-a.
若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,
从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.
若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,
从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,
即f(x)<0,不符合题意.
综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
18.解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为
100·2πrh=200πrh(元),
底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),所以V'(r)=(300-12r2).
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5 m,h=8 m时,该蓄水池的体积最大.
19.(1)解　当a=-1时,f(x)=xln x+x,∴f'(x)=ln x+2(x>0).
由f'(x)=0,得x=时,f'(x)<0;
当x>时,f'(x)>0.所以f(x)在上是减函数,
在上是增函数.因此f(x)在x=处取得最小值,
即f(x)min=f.
显然,当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)没有最大值.
(2)证明　当x>0时,ln x+1>等价于x(ln x+1)>.
由(1)知a=-1时,f(x)=xln x+x的最小值是-,当且仅当x=时,取等号.
设g(x)=,x∈(0,+∞),
则g'(x)=,易知g(x)max=g(1)=-,
当且仅当x=1时取到,从而可知对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>g(x),
即ln x+1>.(共34张PPT)
章末检测卷(一)　第1章
第1章 导数及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
√
√
2.函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为
A.(－∞，－1)和(0，1) B.(－1，0)和(1，＋∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)和(1，＋∞)
y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，
令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0，1).故选A.
√
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于
A.2 B.3 C.4 D.5
f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
由f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，
即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，经检验a＝5合题意.
√
要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，
√
由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，
则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，
√
√
√
√
√
√
10.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则
A.在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
B.在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
C.y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D.函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
√
由题图可知，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；
x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；
y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(0)>0，选项C错误；
当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)单调递增，选项D正确.故选AD.
√
√
13.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________.
(2，＋∞)
记f(x)＝x3－x2－x，
14.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y＝f(x)满足条件：
(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；
(2)在区间(a，b)上都有导数.
则在区间(a，b)上至少存在一个实数t，使得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)＝x2在区间[0，1]上的“拉格朗日中值”t＝________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数.
(1)求b，c的值；
因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
因为g(x)是一个奇函数，且x∈R，
所以g(0)＝0，得c＝0.
由奇函数的定义，得b＝3.
(2)求g(x)的单调区间.
由(1)，知g(x)＝x3－6x，
从而g′(x)＝3x2－6.
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0 x>2或x<1，由f′(x)<0 1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，
在(1，2)上单调递减，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).
令f′(x)＝0，则x＝－1或0，
当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1，0).
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
f(x)＝x(ex－1－ax).
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，
从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，
从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，
即f(x)<0，不符合题意.
综上，实数a的取值范围为(－∞，1].
18.(17分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100 元/m2，底面的建造成本为160 元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大.
19.(17分)已知函数f(x)＝xln x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；
当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，
本课结束
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