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综合检测卷(一)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在空间四边形OABC中,等于 (　　)
2.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用x甲、x乙表示)指标如下:
x甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
x乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标 (　　)
均值与方差 正态分布
卡方χ2 概率
3.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为 (　　)
y=2x-e y=-2x-e
y=2x+e y=-x-1
4.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为 (　　)
5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态分布密度曲线如图所示,则成绩X位于区间(51,69)的人数大约是 (　　)
997 954
800 683
6.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据,求得线性回归方程为,若某儿童记忆能力为12,则估计他的识图能力约为 (　　)
9.5 9.8
9.2 10
7.如图,AB=AC=BD=1,AB 平面α,AC⊥平面α,BD⊥AB,BD与平面α成30°角,则C,D间的距离为 (　　)
1 2
8.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当b>a时,有 (　　)
af(b)>bf(a) af(b)af(a)bf(b)
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.给出以下四个说法,其中正确的说法有 (　　)
绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距
随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,则P(X<0.5)=0.34
设随机变量X服从正态分布N(4,22),则P(X>4)=
对分类变量X与Y,若计算出的χ2越小,则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小
10.如图是导数y=f'(x)的图象,下列说法正确的是 (　　)
(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间
(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
函数y=f(x)在x=0处取得极大值
函数y=f(x)在x=5处取得极小值
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.则 (　　)
CD⊥AN
BD⊥PC
PB⊥平面ANMD
BD与平面ANMD所成的角为30°
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.任意选择四个日期,设X表示取到的四个日期中星期天的个数,则E(X)=　　　　.
13.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.若已知从中任意取出2粒恰好是同一色,则这2粒都是黑子的概率是　　　　.
14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,xf'(x)>f(x),若f(2)=0,则2f(3)　　　　　　3f(2)(填“>”“<”),不等式x·f(x)>0的解集为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时,得到如下数据:在试验的470株黄烟中,经过药物处理的黄烟有25株发生青花病,60株没有发生青花病;未经过药物处理的有185株发生青花病,200株没有发生青花病.试推断药物处理跟发生青花病是否有关系.
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005
x0 3.841 6.635 7.879
　χ2=.
16.(15分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
17.(15分)近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2017年至2021年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图.(为便于计算,把2017年编号为1,2018年编号为2,…,2021年编号为5)
(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程;
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期-1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限值.
参考公式：＝，＝－.
18.(17分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA1的中点.
(1)求证:DC1⊥平面BCD;
(2)平面ABD与平面CBD所成角的大小.
19.(17分)已知函数f(x)=x3+ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)-xln x在上有零点,求实数a的取值范围.
综合检测卷(一)
1.C　[根据向量加法、减法法则,,故选C.]
2.A　[检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.]
3.A　[y'=ln x+1,则曲线在点(e,e)处的切线斜率ln e+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选A.]
4.C　[记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,
则P(AB)=,P(A)=,
∴P(B|A)=.]
5.D　[由题图知,X~N(μ,σ2),其中,μ=60,σ=9,
∴P(51∴人数大约为0.683×1 000≈683.]
6.A　[∵×(4+6+8+10)=7,×(3+5+6+8)=5.5,
∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5=0.8×7+,
∴=-0.1,
∴=0.8x-0.1,当x=12时,=0.8×12-0.1=9.5.]
7.C　[||2
=|
=1+1+1+0+0+2×1×1·cos 120°=2.
∴|.]
8.C　[因为y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f'(x)+>0,
所以>0,令F(x)=xf(x),
则F'(x)=xf'(x)+f(x),
则当x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增.
因为a,b∈(0,+∞),当b>a时,F(b)>F(a),
即af(a)9.BC　[A中,各小长方形的面积等于相应各组的频率;
B中,由于随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,则P(X<0.5)=P(X>1.5)=0.34,B正确;
C中,随机变量X服从正态分布N(4,22),正态曲线对称轴为x=4,所以P(X>4)=,正确;
D中,对分类变量X与Y,χ2越小,则说明“X与Y有关系”的犯错误的概率越大.]
10.ABD　[由题图,可知当x<-1或3当x>5或-10,
所以函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞),
所以函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,故选项C说法错误,ABD正确.]
11.CD　[以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设BC=1,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M,N(1,0,1),
从而=(-2,1,0),=(1,0,1),=(-2,2,0),=(2,1,-2),=(2,0,-2),=(0,2,0).
∵=-2×1≠0,∴A错误;
∵=-2×2+2×1=-2≠0,∴B错误;
设平面ANMD的法向量为n=(x,y,z),
则由
令x=1,得n=(1,0,-1).
∴=2n,∴PB⊥平面ANMD,∴C正确;
∵cos<,n>=,
∴BD与平面ANMD所成的角为30°,∴D正确.]
12.　[由题意得,X~B,所以E(X)=4×.]
13.　[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,
则C=A∪B,且事件A与B互斥.
所以P(C)=P(A)+P(B)=,
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为,
故所求概率为P(A|C)=.]
14.>　(-2,0)∪(2,+∞)　[由题意,令g(x)=,
∵x>0时,g'(x)=>0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,∴在(0,+∞)上单调递增,
∴,即2f(3)>3f(2).
又∵f(-x)=f(x),
∴g(-x)=-g(x),则g(x)是奇函数,且g(x)在(-∞,0)上递增,
又g(2)==0,∴当0当x>2时,g(x)>0;
根据函数的奇偶性,可得当-20,当x<-2时,g(x)<0.
∴不等式x·f(x)>0的解集为{x|-22}.]
15.解　由已知条件得2×2列联表如下:
药物处理 未经药物处理 合计
青花病 25 185 210
无青花病 60 200 260
合计 85 385 470
先提出统计假设H0:经过药物处理跟发生青花病无关系.
根据列联表中的数据,可以求得
χ2=≈9.788>7.879,
故否定假设H0,所以有99.5%的把握认为药物处理跟发生青花病是有关系的.
16.解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为=28,
这2个产品都是次品的事件数为=3,
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
P(B1)=,P(B2)=,
P(B3)=,P(A|B1)=,
P(A|B2)=,P(A|B3)=,
∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=.
17.解　(1)由散点图可得,样本点分布在一条直线附近,平均浓度与年份编号具有线性相关关系,变量xi,yi组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),
则=3,=19,
所以=3.1,
=19-3.1×3=9.7.
所以所求线性回归方程为=3.1x+9.7.
(2)由3.1x+9.7>35,得x>8.16,
因为x∈N,所以x=9.
故可预测到2025年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限值.
18.(1)证明　如图所示建立空间直角坐标系.
由题意知C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),
D(2,0,2),A1(2,0,4),C1(0,0,4).
∴=(-2,0,2),=(-2,0,-2),
=(-2,2,-2).
∵=0,=0,
∴DC1⊥DC,DC1⊥DB.
又∵DC∩DB=D,DC,DB 平面BCD,
∴DC1⊥平面BCD.
(2)解　设n=(x,y,z)是平面ABD的法向量,
则n·=0,n·=0,
又=(-2,2,0),=(0,0,2),
∴取y=1,得n=(1,1,0).
由(1)知,=(-2,0,2)是平面BDC的一个法向量,记n与的夹角为θ,
则cos θ=,
∴平面ABD与平面CBD所成角的大小是.
19.解　(1)因为f(x)=x3+ax,所以f'(x)=3x2+a.
①当a≥0时,因为f'(x)=3x2+a≥0,所以f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,令f'(x)>0,
得x<-.
令f'(x)<0,得-,
则f(x)在,上单调递增,
在上单调递减.
(2)因为g(x)=f(x)-xln x,
所以g(x)=x3+ax-xln x.
函数g(x)在上有零点,等价于方程g(x)=0在上有解,
即x3+ax-xln x=0在x∈上有解.
因为x3+ax-xln x=0,
所以a=-x2+ln x.
设h(x)=-x2+ln x,x∈,
则h'(x)=-2x+,x∈.
令h'(x)<0,得0,得,
则h(x)在上单调递减,在上单调递增.
因为h-ln 2,
h(2)=-22+ln 2=-4+ln 2,
所以h-h(2)=-2>0,
则h(x)min=h(2)=-4+ln 2,
h(x)max=hln 2,
故实数a的取值范围为.(共38张PPT)
综合检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
√
√
2.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用x甲、x乙表示)指标如下：
x甲 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
x乙 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标
A.均值与方差 B.正态分布 C.卡方χ2 D.概率
检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较波动情况.
√
3.曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线方程为
A.y＝2x－e B.y＝－2x－e
C.y＝2x＋e D.y＝－x－1
y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e，故选A.
√
记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，
√
5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间(51，69)的人数大约是
由题图知，X～N(μ，σ2)，其中，μ＝60，σ＝9，
A.997 B.954
C.800 D.683
∴P(51＜x＜69)＝P(μ－σ＜x＜μ＋σ)≈0.683，
∴人数大约为0.683×1 000≈683.
√
6.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
√
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为
√
则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，
则当x>0时，F′(x)>0，F(x)单调递增.
因为a，b∈(0，＋∞)，当b>a时，F(b)>F(a)，
即af(a)√
√
√
10.如图是导数y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是
A.(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B.(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
√
√
由题图，可知当x<－1或3当x>5或－10，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，
所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误，ABD正确.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.则
A.CD⊥AN
B.BD⊥PC
C.PB⊥平面ANMD
D.BD与平面ANMD所成的角为30°
√
√
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝_______.
设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，
14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则2f(3)________3f(2)(填“>”“<”)，不等式x·f(x)>0的解集为__________________.
(本题第一空2分，第二空3分)
>
(－2，0)∪(2，＋∞)
即2f(3)>3f(2).
又∵f(－x)＝f(x)，
∴g(－x)＝－g(x)，则g(x)是奇函数，且g(x)在(－∞，0)上递增，
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病.试推断药物处理跟发生青花病是否有关系.
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005
x0 3.841 6.635 7.879
由已知条件得2×2列联表如下：
药物处理 未经药物处理 合计
青花病 25 185 210
无青花病 60 200 260
合计 85 385 470
先提出统计假设H0：经过药物处理跟发生青花病无关系.
根据列联表中的数据，可以求得
16.(15分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
17.(15分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2017年至2021年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图.(为便于计算，把2017年编号为1，2018年编号为2，…，2021年编号为5)
由散点图可得，样本点分布在一条直线附近，平均浓度与年份编号具有线性相关关系，变量xi，yi组成的几组数据为(1，13)，(2，15)，(3，20)，(4，22)，(5，25)，
18.(17分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1的中点.
(1)求证：DC1⊥平面BCD；
如图所示建立空间直角坐标系.
由题意知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，B(0，2，0)，
D(2，0，2)，A1(2，0，4)，
C1(0，0，4).
∴DC1⊥DC，DC1⊥DB.
又∵DC∩DB＝D，DC，DB 平面BCD，
∴DC1⊥平面BCD.
(2)平面ABD与平面CBD所成角的大小.
设n＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，
19.(17分)已知函数f(x)＝x3＋ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
因为f(x)＝x3＋ax，
因为g(x)＝f(x)－xln x，所以g(x)＝x3＋ax－xln x.

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