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综合检测卷(二)
(时间:120分钟　满分:150分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽一张,则第2次才抽到A的概率是 (　　)
2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男性 女性 合计
爱好某项运动 40 20 60
不爱好某项运动 20 30 50
合计 60 50 110
由χ2=≈7.8.
得到的正确结论是 (　　)
有99.5%以上的把握,认为“爱好该项运动与性别有关”
有99.5%以上的把握,认为“爱好该项运动与性别无关”
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y= (　　)
4.一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是 (　　)
5.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 (　　)
y=-2x y=-x
y=2x y=x
6.已知三条正态密度曲线φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)如图所示,则下列判断正确的是 (　　)
μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
7.若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.7,a=3,|e|≤0.5,如果今年该地区财政收入10亿元,年支出预计不会超过 (　　)
9亿元 9.5亿元
10亿元 10.5亿元
8.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则 (　　)
0b>0 b<
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量X和Y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线(如图所示),以下结论中错误的是 (　　)
X和Y的相关系数为直线l的斜率
X和Y的相关系数在0到1之间
当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同
直线l过点(,)
10.抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1,P2,P3,P4,则下列结论中正确的是 (　　)
P1=P2=P3=P4 P3=2P1
P1+P2+P3+P4=1 P4=3P2
11.已知函数f(x)=ex·x3,则以下结论正确的是 (　　)
f(x)在R上单调递增
f(log52)方程f(x)=-1有实数解
存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设随机变量X的概率分布如下表,则P(|X-2|=1)=　　　　.
X 1 2 3 4
P m
13.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角的大小是　　　　.
14.若函数f(x)=ax-ln x的图象上存在与直线x+2y-4=0垂直的切线,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如下图.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品的数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列;
(3)从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的质量超过505克的概率.
16.(15分)已知函数f(x)=ex+,a∈R,试讨论函数f(x)的零点个数.
17.(15分)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下的2×2列联表.已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.
成绩优秀 成绩非优秀 合计
甲班 20
乙班 60
合计 210
(1)请完成上面的2×2列联表,并分析成绩是否与班级有关;
(2)从全部210人中有放回地抽取3次,每次抽取1人,记被抽取的3人中的优秀人数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列及均值E(ξ).
附:χ2=.　
P(χ2≥x0) 0.05 0.01 0.005
x0 3.841 6.635 7.879
18.(17分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为长方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取值为:①λ=;②λ=;③λ=;④λ=;⑤λ=3.
(1)求直线AS与平面ABCD所成角的大小;
(2)若线段CD上能找到点E,满足AE⊥SE,则λ可能的取值有几种情况 请说明理由;
(3)在(2)的条件下,当λ为所有可能情况的最大值时,线段CD上满足AE⊥SE的点有两个,分别记为E1,E2,求平面E1SB与平面E2SB所成角的大小.
19.(17分)已知函数f(x)=ln x+x2.
(1)求h(x)=f(x)-3x的极值;
(2) 若函数g(x)=f(x)-ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
综合检测卷(二)
1.C　[法一　所求概率P=.
法二　设Ai表示第i次抽到A,i=1,2,
则P()=,P(A2|)=,
∴P(A2)=P()P(A2|)=.]
2.C　[根据独立性检验的定义,由χ2≈7.8>6.635,可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.]
3.B　[由BP⊥平面ABC,可得BP⊥AB,BP⊥BC,又,
∴,y=-,z=4,
∴x+y=.]
4.C　[由题意知,恰有一次通过的概率为.]
5.D　[因为函数f(x)是奇函数,
所以a-1=0,解得a=1,
所以f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,
所以f'(0)=1,f(0)=0,
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x,
化简可得y=x,故选D.]
6.D　[由正态密度曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3,σ的大小决定曲线的形状,σ越大,随机变量的分布越分散,曲线越“矮胖”;σ越小,随机变量的分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.]
7.D　[因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx+a+e,
其中b=0.7,a=3,
所以y=0.7x+3+e.
当x=10时,得y=0.7×10+3+e=10+e,
又|e|≤0.5,即-0.5≤e≤0.5,
所以9.5≤y≤10.5,
所以年支出预计不会超过10.5亿元,故选D.]
8.A　[因为f'(x)=3x2-3b=0,所以x2=b,
若y=f(x)在(0,1)内有极小值,
则只需即09.ABC　[因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以A,B错误;
C中n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数可以不相同,所以C错误;
根据回归直线方程一定经过样本点的中心可知D正确.]
10.CD　[由题意知,抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1,P2,P3,P4,
则P1=,P2=,
P3=,
P4=,
P1=P2P3=3P1,故B错误;
P1+P2+P3+P4=1,故C正确;
P4=3P2,故D正确.]
11.BCD　[f(x)=ex·x3,
则f'(x)=ex·x3+ex·3x2=x2ex(x+3),
故函数在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,A错误;
01,
根据单调性知f(log52)f(0)=0,f(-3)=-<-1,
故方程f(x)=-1有实数解,C正确;
f(x)=kx,易知当x=0时成立,当x≠0时,k==exx2,
设g(x)=exx2,则g'(x)=exx(x+2),
故函数在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,且g(-2)=.
画出函数图象,如图所示:
当0综上所述:存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解,D正确;故选BCD.]
12.　[根据=1,解得m=.由|X-2|=1,得X=1或X=3.
故所求概率为P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=.]
13.30°　[如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=OS=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,
从而=(2a,0,0),,=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
由可得n=(0,1,1),则cos∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.]
14.(2,+∞)　[因为函数f(x)=ax-ln x的图象上存在与直线x+2y-4=0的垂直的切线,
所以函数f(x)=ax-ln x的图象上存在斜率为2的切线,
故k=f'(x)=a-=2有解,
所以a=2+,x>0有解,因为y=2+,x>0的值域为(2,+∞).
所以a∈(2,+∞).]
15.解　(1)由频率分布直方图,知质量超过505克的产品数为[(0.01+0.05)×5]×40=12.
(2)依题意,得Y的所有可能取值为0,1,2.
P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
(3)利用样本估计总体,该流水线上产品质量超过505克的概率为0.3.
令ξ为任取的5件产品中质量超过505克的产品数量,则ξ~B(5,0.3),
故所求概率P(ξ=2)=(0.7)3=0.308 7.
16.解　函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.
(1)当x>a时,ex>0,x-a>0,
∴f(x)>0,即f(x)在(a,+∞)上无零点.
(2)当x令g(x)=ex(x-a)+1,则g'(x)=ex(x-a+1).
由g'(x)=0得x=a-1.
当x当x>a-1时,g'(x)>0,
∴g(x)在(-∞,a-1)上单调递减,
在(a-1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(a-1)=1-ea-1.
∴当a=1时,g(a-1)=0,
∴x=a-1是f(x)的唯一零点;当a<1时,g(a-1)=1-ea-1>0,
∴f(x)没有零点;当a>1时,g(a-1)=1-ea-1<0,∴f(x)有两个零点.
17.解　(1)2×2列联表如表所示:
成绩优秀 成绩非优秀 合计
甲班 20 90 110
乙班 40 60 100
合计 60 150 210
χ2=≈12.2>7.879.
所以有99.5%的把握认为成绩与班级有关.
(2)ξ~B,且P(ξ=k)=(k=0,1,2,3),
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×.
18.解　(1)因为SB⊥底面ABCD,
所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角.
在Rt△SBA中,tan∠SAB=1,
∴∠SAB=45°,
即直线AS与平面ABCD所成角的大小为45°.
(2)以B为坐标原点,BC,BA,BS的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为B(0,0,0),A(0,2,0),D(λ,2,0),S(0,0,2).
设E(λ,k,0)(0≤k≤2).
所以=(λ,k,-2),=(-λ,2-k,0).
由,得-λ2+k(2-k)=0,
即λ2=k(2-k).
因为k∈[0,2],
所以λ2=k(2-k)∈[0,1].
所以在所给的数据中,λ可以取①②③.
(3)由题意及(2)知λ=,此时,k=,即满足条件的点E有两个,
不妨设E1,
则,.
因为SB⊥平面ABCD,BE1,BE2 平面ABCD,
所以SB⊥BE1,SB⊥BE2,
所以∠E1BE2是平面E1SB与平面E2SB所成的角.
由cos<,,
知平面E1SB与平面E2SB所成角的大小为30°.
19.解　(1)由已知可得h(x)=f(x)-3x=ln x+x2-3x,
h'(x)=(x>0),
令h'(x)==0,
可得x=或x=1,
则当x∈∪(1,+∞)时,h'(x)>0,
当x∈时,h'(x)<0,
∴h(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
则h(x)极小值=h(1)=-2,
h(x)极大值=h-ln 2.
(2)g(x)=f(x)-ax=ln x+x2-ax,
g'(x)=+2x-a(x>0),
由题意可知g'(x)≥0(x>0)恒成立,
即a≤,
∵x>0时,2x+,
当且仅当x=时,等号成立,
∴,∴a≤2,
即实数a的取值范围为(-∞,2].(共39张PPT)
√
√
2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男性 女性 合计
爱好某项运动 40 20 60
不爱好某项运动 20 30 50
合计 60 50 110
√
√
√
5.设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x
因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，
所以f′(0)＝1，f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，
化简可得y＝x，故选D.
√
由正态密度曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3，σ的大小决定曲线的形状，σ越大，随机变量的分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，随机变量的分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2＜σ3.
√
7.若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过
A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元
因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋e.
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，
所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元，故选D.
√
因为f′(x)＝3x2－3b＝0，所以x2＝b，
√
√
√
因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A，B错误；
C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误；
根据回归直线方程一定经过样本点的中心可知D正确.
√
10.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是
A.P1＝P2＝P3＝P4 B.P3＝2P1
C.P1＋P2＋P3＋P4＝1 D.P4＝3P2
√
由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，
P3＝3P1，故B错误；
P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
P4＝3P2，故D正确.
√
√
√
f(x)＝ex·x3，则f′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设随机变量X的概率分布如下表，则P(|X－2|＝1)＝________.
13.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________.
30°
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
14.若函数f(x)＝ax－ln x的图象上存在与直线x＋2y－4＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是______________.
(2，＋∞)
因为函数f(x)＝ax－ln x的图象上存在与直线x＋2y－4＝0的垂直的切线，
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；
由频率分布直方图，知质量超过505克的产品数为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
依题意，得Y的所有可能取值为0，1，2.
∴Y的分布列为
(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的质量超过505克的概率.
利用样本估计总体，该流水线上产品质量超过505克的概率为0.3.
函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.
(1)当x>a时，ex>0，x－a>0，
∴f(x)>0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点.
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1).
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当xa－1时，g′(x)>0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，
在(a－1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，
∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a<1时，g(a－1)＝1－ea－1>0，
∴f(x)没有零点；
当a>1时，g(a－1)＝1－ea－1<0，
∴f(x)有两个零点.
成绩优秀 成绩非优秀 合计
甲班 20
乙班 60
合计 210
(1)请完成上面的2×2列联表，并分析成绩是否与班级有关；
2×2列联表如表所示：
成绩优秀 成绩非优秀 合计
甲班 20 90 110
乙班 40 60 100
合计 60 150 210
(1)求直线AS与平面ABCD所成角的大小；
因为SB⊥底面ABCD，
所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角.
在Rt△SBA中，tan∠SAB＝1，
∴∠SAB＝45°，
即直线AS与平面ABCD所成角的大小为45°.
(2)若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；
以B为坐标原点，BC，BA，BS的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(λ，2，0)，S(0，0，2).
设E(λ，k，0)(0≤k≤2).
因为k∈[0，2]，
所以λ2＝k(2－k)∈[0，1].
所以在所给的数据中，λ可以取①②③.
(3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求平面E1SB与平面E2SB所成角的大小.
19.(17分)已知函数f(x)＝ln x＋x2.
(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；
(2) 若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围.

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