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(共20张PPT)
周测卷1　(范围：§1.1～§1.2)
第1章 导数及其应用
(时间：50分钟　满分：100分)
√
√
√
√
4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于
A.－4 B.3 C.－2 D.1
则l：x＋y＝4，
√
对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.
令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).
√
6.已知函数f(x)＝ex－a＋1在点O(0，0)处的切线与函数g(x)＝ax2－ax－xln x＋1的图象相切于点A，则点A的坐标为
由题意可知，点O(0，0)在函数f(x)的图象上，即f(0)＝2－a＝0，
∴a＝2，∴f′(x)＝ex，f′(0)＝1，
∴函数f(x)在点O处的切线方程为x－y＝0，g(x)＝2x2－2x－xln x＋1，
则g′(x)＝4x－3－ln x.
令点A(m，n)，则g′(m)＝4m－3－ln m＝1，g(m)＝2m2－2m－mln m＋1＝n.
∵点A在直线x－y＝0上，
√
√
√
√
√
y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴当x＝0时，切线的斜率为2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b(b≠1)，
5
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝1，f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－2 023)－f′(2 025)＝________.
0
因为f(x)＋f(2－x)＝1，
两边同时求导可得f′(x)－f′(2－x)＝0，
故f′(－2 023)－f′(2 025)＝0.
11.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________.
x－y－1＝0
设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝x0ln x0.
∵f′(x0)＝ln x0＋1，
∴切线l的方程为y－y0＝(ln x0＋1)(x－x0)，即y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0).
又直线l过点(0，－1)，
∴－1－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0－x0)，解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1，0)，∴f′(1)＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
13.(15分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
又由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为
本课结束
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(时间:50分钟　满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知函数f(x)=xsin x+cos x,则f'的值为 (　　)
1
-1 0
2.若函数f(x)的导数f'(x)满足f(x)=2f'(1)ln x+,则f'= (　　)
e 2
1 0
3.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点为 (　　)
(k∈Z) (k∈Z)
4.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f'(2)等于 (　　)
-4 3
-2 1
5.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为 (　　)
1
6.已知函数f(x)=ex-a+1在点O(0,0)处的切线与函数g(x)=ax2-ax-xln x+1的图象相切于点A,则点A的坐标为 (　　)
(1,1) (2,5-2ln 2)
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.下列导数式子错误的是 (　　)
(cos x)'=sin x
(logax)'=
8.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为,则直线l的方程可能为 (　 )
y=2x+6 y=2x-4
y=3x+1 y=3x-4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知某运动着的物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位:m,时间单位:s),则t=1 s时物体的瞬时速度为　　　　 m/s.
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=1,f(x)的导函数为f'(x),则f'(-2 023)-f'(2 025)=　　　　.
11.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)求下列函数的导数:
(1)y=;(2)y=x+2;(3)y=cos xln x;(4)y=.
13.(15分)已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数为f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
14.(15分)已知函数f(x)=-1(a>0)的图象在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.
周测卷1　(范围:§1.1~§1.2)
1.D　[因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以f'=0,故选D.]
2.D　[∵f(x)=2f'(1)ln x+,∴f'(x)=2f'(1)·,
令x=1,可得f'(1)=2f'(1)-1,解得f'(1)=1,因此f'(x)=,
∴f'=4-4=0,故选D.]
3.D　[设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0,y0),
∵y',
∴x0=2kπ+(k∈Z),
∴y0=.
∴切点坐标为(k∈Z).]
4.D　[由图象可得函数y=f的图象在点P处的切线是l,与x轴交于点,与y轴交于点,则l:x+y=4,
∴f=2,f'(2)=-1,f(2)+f'(2)=1.]
5.B　[对y=xn+1(n∈N*)求导得y'=(n+1)·xn.
令x=1,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得xn=,
∴x1·x2·…·xn=,故选B.]
6.C　[由题意可知,点O(0,0)在函数f(x)的图象上,即f(0)=2-a=0,
∴a=2,
∴f'(x)=ex,f'(0)=1,
∴函数f(x)在点O处的切线方程为x-y=0,g(x)=2x2-2x-xln x+1,
则g'(x)=4x-3-ln x.
令点A(m,n),则g'(m)=4m-3-ln m=1,
g(m)=2m2-2m-mln m+1=n.
∵点A在直线x-y=0上,
∴解得m=n=1,
∴点A(1,1),故选C.]
7.ABC　[根据导数的运算法则,可得'=(x-1)'=-,所以A错误;
(cos x)'=-sin x,所以B错误;
'=0,所以C错误;
(logax)'=,所以D正确.故选ABC.]
8.AB　[y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),
∴当x=0时,切线的斜率为2,则所求的切线方程为y=2x+1,
设直线l的方程为y=2x+b(b≠1),则,解得b=6或-4.
∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.]
9.5　[因为s(t)=+2t2,
所以s'(t)=-+4t,
所以s'(1)=-1+2+4=5,即物体在t=1 s时的瞬时速度为5 m/s.]
10.0　[因为f(x)+f(2-x)=1,
两边同时求导可得f'(x)-f'(2-x)=0,
故f'(-2 023)-f'(2 025)=0.]
11.x-y-1=0　[设直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=x0ln x0.
∵f'(x0)=ln x0+1,
∴切线l的方程为y-y0=(ln x0+1)(x-x0),
即y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0).
又直线l过点(0,-1),
∴-1-x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),解得x0=1,y0=0.
∴切点坐标为(1,0),∴f'(1)=1.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.]
12.解　(1)y'='=(x-2)'+cos x
=-cos x.
(2)y'='=(x3)'-'-(6x)'+(2)'=3x2-3x-6.
(3)y'=(cos xln x)'=(cos x)'ln x+cos x(ln x)'=-sin xln x+.
(4)y'=.
13.解　(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),所以f'(x)=2ax+b.
又f'(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
(2)又由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8,
所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7.
又g(0)=3,所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),
即7x+y-3=0.
14.解　∵f'(x)=,∴f'(1)=.
又∵f(1)=-1,
∴曲线f(x)在x=1处的切线l的方程是y-(x-1).
令x=0,得y=--1;令y=0,得x=.
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=×(2+2)=1,
当且仅当a=,即a=1时,等号成立,
∴直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.

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