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周测卷2　(范围：§1.3.1～§1.3.3)
第1章 导数及其应用
(时间：50分钟　满分：100分)
√
√
√
3.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是
A.0≤a≤21 B.a＝0或a＝7
C.a<0或a>21 D.a＝0或a＝21
f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，
当Δ＝4a2－84a≤0，
即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点.
√
4.定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是
A.f(0)＋f(2)>2f(1) B.f(0)＋f(2)＝2f(1)
C.f(0)＋f(2)<2f(1) D.f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
∵(x－1)f′(x)<0，
∴当x>1时，f′(x)<0；
当x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
∴f(0)则f(0)＋f(2)<2f(1).
√
5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1，2)，则
A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点.
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)＜0，
当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值.
6.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
√
由题图知，当－20，
∴当－2当－10，∴f′(x)<0，
∴当－1当0∴当0当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
∴当x>1时，y＝f(x)的单调递增.故选C.
√
√
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，
所以f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，
所以f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2，1]的最大值为________.
e2
f′(x)＝x(x＋2)ex＋1，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)＞0时，得x＜－2或x＞0；
当f′(x)＜0时，得－2＜x＜0.
当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，
所以函数的最大值为e2.
(－∞，－1)
由y＝3x－x3得y′＝3－3x2，
令y′＞0，得－1＜x＜1，
令y′＜0，得x＜－1或x＞1，
所以y＝3x－x3在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减,在(－1，1)上单调递增，
所以当x＝－1时，y＝3x－x3取得极小值，为－2.
11.若函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间(a－2，a＋1)内存在极小值，则a的取值范围是_________________.
(1，4)
因为f(x)＝x3－3x2＋2，则f′(x)＝3x2－6x，
令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2，
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)无极值.
②当a＞0时，令f′(x)＝0，
得ex＝a，即x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
因为h(x)在[1，4]上单调递减，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex＞0，
所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.
又因为a＞0，
所以当－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，
当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.
由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
本课结束
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(时间:50分钟　满分:100分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数y=4x2+的单调递增区间为 (　　)
(0,+∞)
(-∞,-1)
2.函数y=xex的最小值是 (　　)
-1 -e
- 不存在
3.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是 (　　)
0≤a≤21 a=0或a=7
a<0或a>21 a=0或a=21
4.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f'(x)<0,则下列各项正确的是 (　　)
f(0)+f(2)>2f(1) f(0)+f(2)=2f(1)
f(0)+f(2)<2f(1) f(0)+f(2)与2f(1)大小不定
5.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)·(x-1)k(k=1,2),则 (　　)
当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值 当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值
当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值 当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值
6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是 (　　)
A B
C D
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知函数f(x)=(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则 (　　)
实数k=-1 函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)
函数f(x)的单调递增区间为(0,1) 函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞)
8.已知f(x)=,下列说法正确的是 (　　)
f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1 f(x)的单调递减区间为(e,+∞)
f(x)的极大值为 方程f(x)=-1有两个不同的解
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为　　　　.
10.设函数f(x)=若函数f(x)无最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
11.若函数f(x)=x3-3x2+2在区间(a-2,a+1)内存在极小值,则a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数),求函数f(x)的极值.
13.(15分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
14.(15分)已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
周测卷2　(范围:§1.3.1~§1.3.3)
1.B　[由y=4x2+,得y'=8x-(x≠0),
令y'>0,即8x->0,解得x>,
∴函数y=4x2+.]
2.C　[因为y=xex,所以y'=ex+xex=(1+x)ex.当x>-1时,y'>0;当x<-1时,y'<0,所以当x=-1时,函数取得最小值,且ymin=-.]
3.A　[f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,
即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.]
4.C　[∵(x-1)f'(x)<0,∴当x>1时,f'(x)<0;
当x<1时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增,
∴f(0)5.C　[当k=1时,f'(x)=ex·x-1,f'(1)≠0,∴x=1不是f(x)的极值点.
当k=2时,f'(x)=(x-1)(xex+ex-2),
显然f'(1)=0,且在x=1附近的左侧f'(x)<0,
当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在x=1处取得极小值.]
6.C　[由题图知,当-20,
∴当-2当-10,∴f'(x)<0,
∴当-1当0∴当0当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,
∴当x>1时,y=f(x)的单调递增.故选C.]
7.CD　[f'(x)=(x>0).
又由题意知f'(1)==0,所以k=1.f'(x)=(x>0).
设h(x)=-ln x-1(x>0),则h'(x)=-<0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h(1)=0知,当00,所以f'(x)>0;
当x>1时,h(x)<0,所以f'(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).]
8.BC　[由f(x)=,得f'(x)=(x>0),则f(1)=0,f'(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,A错误;
当x>e时,f'(x)<0,函数单调递减,当00,函数单调递增,故当x=e时,函数取得极大值f(e)=,B正确,C正确;
因为f(1)=0,当x→0时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→0且f(x)>0,所以f(x)=-1只有一解,D错误.]
9.e2　[f'(x)=x(x+2)ex+1,令f'(x)=0,得x=-2或x=0.
当f'(x)>0时,得x<-2或x>0;当f'(x)<0时,得-2当x=-2时,f(-2)=;当x=0时,f(0)=0;
当x=1时,f(1)=e2,所以函数的最大值为e2.]
10.(-∞,-1)　[由y=3x-x3得y'=3-3x2,
令y'>0,得-11,
所以y=3x-x3在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,
所以当x=-1时,y=3x-x3取得极小值,为-2.
因为f(x)=无最小值,
所以解得a<-1.]
11.(1,4)　[因为f(x)=x3-3x2+2,则f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)=0可得x=0或x=2,
列表如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以,函数f(x)的极小值点为x=2,
由题意可得解得112.解　f'(x)=1-,
①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)无极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,
得ex=a,即x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.
13.解　(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=-ax-2,
由于h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>有解.
设G(x)=,所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)=-1,所以G(x)min=-1,所以a>-1.
又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,
h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥恒成立.
由(1)知G(x)=,所以a≥G(x)max,则G(x)=-1,
因为x∈[1,4],所以,
所以G(x)max=-(此时x=4),
所以a≥-,又因为a≠0,
所以a的取值范围是∪(0,+∞).
14.解　(1)f'(x)=.
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为ex>0,
所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)的符号相同.
又因为a>0,所以当-30,即f'(x)>0,
当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),
单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,
所以解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),
单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,
而f(-5)==5e5>5=f(0),
所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.

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