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周测卷3　(范围：§1.3)
第1章 导数及其应用
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为
A.－1，－3 B.－2，3 C.1，－3 D.2，3
∵f′(x)＝3ax2＋b，且当x＝1时有极值－2，
∴f′(1)＝3a＋b＝0，①
且f(1)＝a＋b＝－2，②
√
√
3.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2；令f′(x)＜0，得－2＜x＜2，
所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，
单调递减区间为(－2，2)，
所以函数的极大值为f(－2)＝0，
极小值为f(2)＝－32，
当x→－∞时，f(x)＜0；当x→＋∞时，f(x)＞0，
所以函数的零点个数为2.
√
4.把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时圆柱的高为
A.1 B.2 C.3 D.4
设圆柱的底面半径为r，
则该圆柱的体积V＝πr2·(6－2πr)＝－2π2r3＋6πr2，
则V′＝－6π2r2＋12πr＝－6πr(πr－2)，
√
5.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]
函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，
当x＞0时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当x＜0时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
所以函数g(x)的最小值为g(0)＝1，所以a≥1.
√
6.若不等式x4－4x3＞2－a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是
A.a＜－27 B.a＞－25 C.a≥29 D.a＞29
令f(x)＝x4－4x3，则f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，
当x＜3时，f′(x)＜0；当x＞3时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，3)，单调递增区间是(3，＋∞)，
所以当x＝3时，f(x)取得极小值，也是最小值，
则f(x)min＝f(3)＝－27，
因为不等式x4－4x3＞2－a对任意实数x都成立，
所以－27＞2－a，即a＞29.
√
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)＞f(x)，则下列不等式一定成立的是
A.3f(4)＜4f(3) B.4f(4)＞5f(3) C.3f(3)＜4f(2) D.3f(3)＞4f(2)
√
√
√
√
A项，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
当f′(x)＞0时，－1＜x＜2；
当f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2，
所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，
所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；
C项，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；
D项，由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，
∵函数f(x)有极大值和极小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
10.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是___________.
(－2，2)
f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，
所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2，
函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，
a＜b＜c
设函数g(x)＝f(x)cos x，则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x，
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a，求实数a的取值范围.
故m(x)≥m(e)＝e－2＞0，∴h′(x)＞0，
13.(15分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元， 问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
所以，航行1海里的总费用为
令q′＝0，解得v＝20.
∴当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，
∴当v＝20时，q取得极小值，也是最小值，
即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.
(2)求f(x)的单调区间；
本课结束
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(时间:50分钟　满分:100分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为 (　　)
-1,-3 -2,3
1,-3 2,3
2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f'(x)<,则f(x)<的解集为 (　　)
{x|-1{x|x<-1或x>1} {x|x>1}
3.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为 (　　)
0 1
2 3
4.把一个周长为12的长方形围成一个圆柱,当该圆柱的体积最大时圆柱的高为 (　　)
1 2
3 4
5.已知函数f(x)=ex-x-a,若函数y=f(x)有零点,则实数a的取值范围是 (　　)
(1,+∞) [1,+∞)
(-∞,1) (-∞,1]
6.若不等式x4-4x3>2-a对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是 (　　)
a<-27 a>-25
a≥29 a>29
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是 ( 　)
3f(4)<4f(3) 4f(4)>5f(3)
3f(3)<4f(2) 3f(3)>4f(2)
8.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是 (　　)
函数f(x)存在两个不同的零点
函数f(x)既存在极大值又存在极小值
当-e若x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最小值为2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是　　　　.
10.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a的取值范围是　　　　.
11.设函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=,b=0,c=-,则a,b,c的大小关系是　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,求实数a的取值范围.
13.(15分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元, 问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小
14.(15分)已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R),
(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时,x3.
周测卷3　(范围:§1.3)
1.C　[∵f'(x)=3ax2+b,且当x=1时有极值-2,
∴f'(1)=3a+b=0, ①
且f(1)=a+b=-2, ②
联立①②,解得]
2.D　[构造函数h(x)=f(x)-,所以h'(x)=f'(x)-<0,
故h(x)在R上单调递减,且h(1)=f(1)-=0,
故h(x)<0的解集为{x|x>1}.]
3.C　[由题意得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),
令f'(x)>0,得x>2或x<-2;
令f'(x)<0,得-2所以函数的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调递减区间为(-2,2),
所以函数的极大值为f(-2)=0,极小值为f(2)=-32,
当x→-∞时,f(x)<0;当x→+∞时,f(x)>0,
所以函数的零点个数为2.]
4.B　[设圆柱的底面半径为r,则高为6-2πr,可得0则该圆柱的体积V=πr2·(6-2πr)=-2π2r3+6πr2,
则V'=-6π2r2+12πr=-6πr(πr-2),
令V'>0,解得0所以当r=时,圆柱体积取得最大,
此时圆柱的高为6-2π×=2.]
5.B　[函数y=f(x)有零点等价于方程ex-x=a有解,
令g(x)=ex-x,g'(x)=ex-1,
当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,
所以函数g(x)的最小值为g(0)=1,所以a≥1.]
6.D　[令f(x)=x4-4x3,则f'(x)=4x3-12x2=4x2(x-3),
当x<3时,f'(x)<0;当x>3时,f'(x)>0,
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,3),单调递增区间是(3,+∞),
所以当x=3时,f(x)取得极小值,也是最小值,则f(x)min=f(3)=-27,
因为不等式x4-4x3>2-a对任意实数x都成立,所以-27>2-a,即a>29.]
7.BD　[由(x+1)f'(x)>f(x),得(x+1)f'(x)-f(x)>0,令g(x)=,
则g'(x)=>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(2)即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4),故选BD.]
8.ABC　[A项,由f(x)=0,得x2+x-1=0,解得x=,所以A正确;
B项,f'(x)=-,
当f'(x)>0时,-12,
所以函数的单调递减区间为(-∞,-1),(2,+∞),函数的单调递增区间为(-1,2),
所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确;
C项,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,根据B项可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-eD项,由图象可知,t的最大值是2,所以D不正确.]
9.(-∞,-1)∪(2,+∞)　[f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),
令f'(x)=0,即x2+2ax+a+2=0,
∵函数f(x)有极大值和极小值,
∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,
即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1.]
10.(-2,2)　[f'(x)=3x2-3,
令f'(x)=0,得x=1或x=-1.
因为当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,
所以f(x)极小值=f(1)=-2,f(x)极大值=f(-1)=2,
函数y=x3-3x的大致图象如图所示,
所以-211.a则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x,
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以g'(x)>0,
所以g(x)在(0,π)上单调递增,
a=,
b=0=f,
c=-,
所以a12.解　若对任意的x∈[e,+∞),都有xln x≥ax-a,等价于a≤在[e,+∞)上恒成立,
令h(x)=,
则h'(x)=,x∈[e,+∞),
令m(x)=x-ln x-1,
则当x≥e时,m'(x)=1->0,
即m(x)在[e,+∞)上单调递增,
故m(x)≥m(e)=e-2>0,∴h'(x)>0,
所以h(x)=在[e,+∞)上单调递增,
h(x)min=h(e)=,所以a≤.
即实数a的取值范围是.
13.解　设速度为v海里的燃料费每小时p元,那么由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数,它可以由v=10,p=6求得,即k==0.006,于是有p=0.006v3,
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元).
又设当船的速度为v海里时,航行1海里所需的总费用为q元,
而航行1海里所需时间为小时,
所以,航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q'=0.012v-(v3-8 000),
令q'=0,解得v=20.
∴当v<20时,q'<0;当v>20时,q'>0,
∴当v=20时,q取得极小值,也是最小值,
即速度为20海里/时时,航行1海里所需费用总和最小.
14.(1)解　f'(x)=x-,因为x=2是一个极值点,
所以2-=0,则a=4.
此时f'(x)=x-,
因为f(x)的定义域是(0,+∞),所以当x∈(0,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,+∞),f'(x)>0,
所以当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.
(2)解　因为f'(x)=x-,
所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,f'(x)=x-,
当0时,f'(x)>0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞),递减区间为(0,).
(3)证明　设g(x)=x2-ln x,
则g'(x)=2x2-x->0,
又x>1,所以g(x)在x∈(1,+∞)上为增函数,
所以当x>1时,所以g(x)>g(1)=>0,
所以当x>1时,x3.

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