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(共25张PPT)
周测卷4　(范围：§2.1～§2.3)
第2章　空间向量与立体几何
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知点A(1，3，4)，则点A关于平面xOz对称的点为
A.(－1，3，4) B.(1，－3，4)
C.(1，3，－4) D.(1，－3，－4)
点A(1，3，4)关于平面xOz对称的点为(1，－3，4).
√
∵a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
√
√
√
∵a，b，c三向量共面，
√
如图，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
√
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，
M(2，0，1)，N(2，2，1)，
√
√
√
8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线B1D和BD1相交于点O，则有
√
相等
相反
10.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________.
由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0).
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点.
(2)求证：EG⊥AB.
(2)当a为何值时，线段MN最短？
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
(2)求FH的长；
(3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.周测卷4(范围:§2.1~§2.3)
(时间:50分钟　满分:100分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知点A(1,3,4),则点A关于平面xOz对称的点为 (　　)
(-1,3,4) (1,-3,4)
(1,3,-4) (1,-3,-4)
2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 (　　)
x=,y=-4 x=,y=4
x=2,y=- x=1,y=-1
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基{i,j,k}下的坐标是 (　　)
(1,1,1)
(3,2,5) (3,2,-5)
4.在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间的一组基,则下列说法不正确的是 (　　)
O,A,B,C四点不共线 O,A,B,C四点共面,但不共线
O,A,B,C四点不共面 O,A,B,C四点中任意三点不共线
5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于 (　　)
6.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,,,若PN⊥BM,则λ等于 (　　)
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是棱AA1和BB1的中点,则下列选项正确的是 (　　)
·()=0
8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,对角线B1D和BD1相交于点O,则有 (　　)
a2
=a2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,是　　　　向量,是　　　　向量.(用“相等”“相反”填空)
第9题图　　　　　　　　　　　第11题图
10.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是　　　　.
11.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.
(1)计算:①;②.
(2)求证:EG⊥AB.
13.(15分)已知正方形ABCD,ABEF的边长均为1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0(1)求线段MN的长;
(2)当a为何值时,线段MN最短
14.(15分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求FH的长;
(3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
周测卷4　(范围:§2.1~§2.3)
1.B　[点A(1,3,4)关于平面xOz对称的点为(1,-3,4).]
2.A　[∵a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),
∴3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2),解得x=,y=-4.]
3.C　[=3i+2j+5k,∴向量在基{i,j,k}下的坐标是(3,2,5),故选C.]
4.B　[选项A对应的说法是正确的,若四点共线,则向量,,共面,构不成一组基;
选项B对应的说法是错误的,若四点共面,则,,共面,构不成一组基;
选项C对应的说法是正确的,若四点共面,则,,构不成一组基;
选项D对应的说法是正确的,若有三点共线,则这四点共面,向量,,构不成一组基.]
5.D　[∵a,b,c三向量共面,
∴存在不全为零的实数x,y,使c=xa+yb,
即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),
所以
解得.]
6.C　[如图,
以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,
则P(λ,0,1),N,B(1,0,0),M,,,
所以=0,即λ=.]
7.ACD　[如图,
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),M(2,0,1),N(2,2,1),=(-2,2,0),=(2,2,-1),
=0,,A正确;
=(-2,2,-1),=1,B错误;
=(2,2,0),·()=0,C正确;
,D正确.]
8.AC　[连接A1D(图略),则,a×cos 60°=a2.故A正确.
·()==a2,故B错误.
·()=()=a2.故C正确.
·()==-a2.故D错误.]
9.相等　相反　[由相等向量与相反向量的定义知:是相等向量,是相反向量.]
10.　[由已知,得b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0).
∴|b-a|=,
∴当t=时,|b-a|的最小值为.]
11.　[由题意可知,BG=,所以AG=,所以k=,
j-k=.]
12.(1)解　设=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=1,===60°,
①c-a,=-a,
·(-a)=a2-a·c=.
②=()·()=·()=·()
=·(c-a)
=.
(2)证明　由(1)知()=(b+c-a),
所以(a·b+a·c-a2)==0.
故,即EG⊥AB.
13.解　(1)由已知得|,|,
∴,,
∴
=()-·(-)
=,
∴|
=
=(0即MN的长度为(0(2)由(1)知当a=,即M,N分别是AC,BF的中点时,MN的长度最短,最短长度为.
14.(1)证明　如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
则E,F,C(0,1,0),B1(1,1,1),
,=(-1,0,-1),
∴×(-1)+×(-1)=0,
∴,即EF⊥B1C.
(2)解　∵F,H,∴,
∴|,
∴FH的长为.
(3)解　∵C1(0,1,1),G,∴,∴|.
由(1)得,
则×(-1)=,|,
∴|cos<,,
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.

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