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(共28张PPT)
周测卷5　(范围：§2.4)
第2章　空间向量与立体几何
(时间：50分钟　满分：100分)
√
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.下列说法中不正确的是
A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D.如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
选项A，B，C显然是正确的.
只有当a，b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确.
√
√
3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是
√
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).
√
5.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝3，AA1＝4，则点D到直线A1C的距离为
∵AB＝1，BC＝3，AA1＝4，∴A1(0，0，4)，C(1，3，0)，D(0，3，0)，
√
6.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面CBF与平面DBF所成角的正切值为
如图，连接BD交AC于点O，连接OF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴O为AC的中点，AC⊥BD.
∵F为PC的中点，
∴OF∥PA.
∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
√
√
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3，则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，
√
√
√
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________.
1
以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设CE＝x(0≤x≤1)，DF＝y(0≤y≤1)，
则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成角的正切值为________.
设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1)，A1B1的方向向量为(2，0，0)，
设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ，
11.在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，O是AD的中点，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为________，点O到平面ABC的距离为________.
如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
因为O为B1C的中点，D为AC的中点，
所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
13.(15分)如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
(1)求直线BF与平面ABCD所成的角；
设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.
以O点为坐标原点，以OD为x轴，OA为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为z轴垂直于平面ABCD，
因此可令平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1).
(2)求点A到平面FBD的距离.
14.(15分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD.
因为AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，
所以O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1和平面DOB1所成角的余弦值.
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，
又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.周测卷5(范围:§2.4)
(时间:50分钟　满分:100分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.下列说法中不正确的是 (　　)
平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
一个平面的所有法向量互相平行
如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直
如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量
2.设A是空间一定点,n为空间内任一非零向量,满足条件·n=0的点M构成的图形是 (　　)
圆 直线
平面 线段
3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 (　　)
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成角大小为 (　　)
5.如图所示,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,BC=3,AA1=4,则点D到直线A1C的距离为 (　　)
1
第5题图　　　　　　　　第6题图
6.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面CBF与平面DBF所成角的正切值为 (　　)
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则正确的选项为 (　　)
EF至多与A1D,AC之一垂直
EF⊥A1D,EF⊥AC
EF与BD1相交
EF与BD1平行
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,则下列说法中正确的是 (　　)
a+b+c　　　　　　　 |
直线AB1和直线BC1相互垂直 直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF之和为　　　　.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1C1,AB的中点,则A1B1与截面A1ECF所成角的正切值为　　　　.
11.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,O是AD的中点,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,则点D到平面ABC的距离为　　　　,点O到平面ABC的距离为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
13.(15分)如图,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,∠ADC=60°.
(1)求直线BF与平面ABCD所成的角;
(2)求点A到平面FBD的距离.
14.(15分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求平面C1OB1和平面DOB1所成角的余弦值.
周测卷5　(范围:§2.4)
1.D　[选项A,B,C显然是正确的.
只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.]
2.C　[∵A是空间一定点,n为空间内任一非零向量,满足条件·n=0,
∴M构成的图形是经过点A,且以n为法向量的平面.]
3.B　[∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),
∴两平面间的距离d=.]
4.D　[建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴=(1,1,0),=(-1,1,-1),
∵=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴,
∴AC与B1D所成的角为.]
5.B　[∵AB=1,BC=3,AA1=4,
∴A1(0,0,4),C(1,3,0),D(0,3,0),
∴直线A1C的方向向量=(1,3,-4).
=(1,0,0),对应的单位向量为u=,
所以点D到A1C的距离为d=.]
6.D　[如图,
连接BD交AC于点O,连接OF,
∵四边形ABCD为菱形,
∴O为AC的中点,AC⊥BD.
∵F为PC的中点,∴OF∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.
以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,
设PA=AD=AC=1,则BD=,
∴B,F,C,
D,
结合图形可知,,
且为平面BDF的一个法向量.
由,,
可求得平面CBF的一个法向量n=(1,,).
∴cos即平面CBF与平面DBF所成角的正切值为.]
7.BD　[如图,
以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3,则E(1,0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),
∴=(1,1,-1),=(-3,3,0),=(-3,0,-3),
∵=0,=0,
∴EF⊥AC,EF⊥A1D,B正确,A错误.
由=(-3,-3,3),,故选项D正确,C错误.]
8.ABD　[对于A,()=a+b+c,故选项A正确;
对于B,因为|a|=|b|=|c|=1,∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1×1×,所以|(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=(1+1+1+0+1+1)=,所以|,故选项B正确;
对于C,=a+c,=c+b-a,
所以=(a+c)·(c+b-a)=a·c+a·b-a2+c2+b·c-a·c=≠0,故选项C不正确;
对于D,|,
|,
所以cos<,,故选项D正确.故选ABD.]
9.1　[以D1为坐标原点,分别以D1A1,D1C1,D1D为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(图略),
设CE=x(0≤x≤1),DF=y(0≤y≤1),
则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),
∴=(x-1,0,1),=(1,1,y),由于B1E⊥平面ABF,
所以=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,则x+y=1.]
10.　[设棱长为2,建立以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,则平面A1ECF的一个法向量为n=(-2,1,1),A1B1的方向向量为(2,0,0),
设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ,
则sin θ=|coscos θ=,∴tan θ=.]
11.　[如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz,
则A,B,
C,D,
∴,,.
设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则
∴y=-x,z=-x,取x=-,则y=1,z=3,∴n=(-,1,3),
代入d=,得d=,即点D到平面ABC的距离是.
因为O是AD的中点,所以点O到平面ABC的距离是.]
12.(1)证明　如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
因为O为B1C的中点,D为AC的中点,
所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D,OD 平面BC1D,
所以AB1∥平面BC1D.
(2)解　建立如图所示的空间直角坐标系
B-xyz,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),
因此=(0,-2,2),=(2,0,2).
所以cos<,,
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,
则cos θ=,由于θ∈,故θ=,
即异面直线AB1与BC1所成的角为.
13.解　设AC∩BD=O,因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所以易得AF⊥平面ABCD.
以O点为坐标原点,以OD为x轴,OA为y轴,过O点且平行于AF的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,
(1)由已知得A(0,1,0),B(-,0,0),
C(0,-1,0),D(,0,0),F(0,1,2).
因为z轴垂直于平面ABCD,
因此可令平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).
又=(,1,2),
设直线BF与平面ABCD的夹角为θ,
则有sin θ=|cos即θ=,所以直线BF与平面ABCD所成的角为.
(2)因为=(2,0,0),=(,1,2),
设平面FBD的法向量为n=(x,y,z),
由
令z=1得n=(0,-2,1).
又因为=(0,0,2),
所以点A到平面FBD的距离d=.
14.(1)证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,
所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.
因为AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,
所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解　因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,
又O1O⊥底面ABCD,
所以OB,OC,OO1两两垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,
所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),=(,0,2),=(0,1,2),
平面DOB1即平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0).
设平面C1OB1的法向量为m=(x,y,z),则由m⊥,m⊥,
得,则x=2,y=2,所以m=(2,2,-),
所以cos=.
所以平面C1OB1和平面DOB1所成角的余弦值为.

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