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北京市陈经纶中学分校
2024-2025 学年第二学期 3 月月质量监测
九年级数学试卷 2025.3.20
（考试时间 90分钟 满分 100分）
班级__________________ 姓名__________________ 考号__________________
一、选择题（共 16分，每题 2分）
1. 2024年末，人工智能公司 DeepSeek 在全球范围内迅速发展。据统计，其平台每月处理的用
户请求量约为 6.5 ×1012次。若 DeepSeek 计划将用户请求数据以科学记数法存档，每日平均处
理量可表示为（ ）次。（每月按 30 天计算）
(A) 2.17×1011 (B) 2.17×1012 (C) 6.5×1010 (D) 1.95×1014
2. 如图，数轴上有 A，B，C，D四个点，其中判断正确的是
（A）点 A与点 D表示的数相等 （B）点 A与点 C表示的数之和为负
（C）点 A比点 B表示的数大 1 （D）点 B与点 C表示的数之积为正
第 4题图
3.下列计算正确的是（ ）
（A） 3 3 6
6 3
（B） x x x
2 3 3 2 2 4
（C） （D） a a a
4．如图，在⊙O中，弦 AB的长为 2，点 C在 AB上移动，连接 OC，过点 C作 CD⊥OC交
⊙O于点 D，则 CD的最大值为
（A）4 （B）2 （C） 2 （D）1
5.已知点 A( 1，m)，B(1，m)，C(2，m n)（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是
2
（A）y＝x （B）y＝ （C）y＝ x2 （D）y＝x2
x
6．如图，矩形 ABCD的面积为 10 cm2，点 E在 AB边上，点 F在 CD边上，四边形 AEFD是
正方形，记线段 AD的长为 x cm，AB的长为 y1 cm ，正方形 AEFD的面积为 y cm22 . 当 x
在一定范围内变化时， y1， y2随 x的变化而变化，则 y1， y2与 x满足的函数关系分别是
（A）一次函数关系，二次函数关系 （B）反比例函数关系，一次函数关系
（C）二次函数关系，一次函数关系 （D）反比例函数关系，二次函数关系
第 6 题图 第 1 页 共 6 页
7. 如图，AB是⊙O的直径，将弦 AC绕点 A顺时针旋转 30°得到 AD，
此时点 C的对应点 D落在 AB上，延长 CD，交⊙O于点 E，若 CE＝2，
则图中阴影部分的面积为
1
（A） π （B）1
2
1 第 7 题图
（C） π﹣1 （D） 2
2
8．将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6、2 和 5、3 和 4）放置于水平桌面上，
如图 8-1．在图 8-2 中，将骰子向右翻滚 90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90°，则完成
一次变换．若骰子的初始位置为图 8-1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10次变换后，
骰子朝上一面的点数是（ ）
向右翻滚 90° 逆时针旋转 90°
图 8-1 图 8-2
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题（共 16分，每题 2分）
y 3 x9．在函数 中，自变量 x的取值范围是 ．
x 2
10．分解因式： 3a3 6ab 3ab2 .
11. 1 1举例说明命题“若 > ,则 b>a”是假命题,a= ,b= .

12.如果关于 x的一元二次方程 ax2 bx 1 0的一个解是 x=-1，则 2024 - b+a=_______.
13. 某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩
的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）y与该班参加竞赛人数 x的情况，
其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这
次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 .
第 13 题 第14题图
14. 如图，在⊙O 上顺次取点 A，B，C，D，E，连接 AB，AE，OB，OC，OD，OE．
若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则∠COB+∠EOD＝ ° ．
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15.一个旅游团去游览某个水上景点，游客可以沿岸边徒步游览，也可以乘坐游船游览，都是
原路去，原路返回，如果乘坐游船，方式和费用为：单程每人 100 元，往返每人 150 元．若
该旅游团队每个人都至少乘坐一次游船，去程时有 9 人乘坐游船，返程时有 13 人乘坐游船，
他们乘坐游船的总费用是 1 800 元，则该旅游团队只乘坐一次游船的有______人．
16.阿凡提巧取七环"的故事是这样的:一个地主非常自负和刻薄,经常出难题借以克扣长工的
工钱.有一回,他用纯银打了个七连环作为工钱,请人做工七天,要求打工者只能断开其中的一
环,干几天就取几个银环,不能多取,也不能少取.很多打工者因为不能完成这个任务,而没能
拿到工钱.聪明的阿凡提先将第三环断开,第一天取走断开的那一环;第二天,阿凡提还给地主
断开的那一环,拿走两连环;第三天,阿凡提再拿走断开的那一环;第四天,用前三天拿走的三
个环去换四连环;第五天再拿走断开的那一环;第六天,还给断开的那一环,拿走两连环;第七
天再取走断开的那一个环,正好是七环. 如图所示：
断开前： 断开后：
如果老板有一个 23 连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两
个环，在 23 天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第___号和
第____号环。
三、解答题（共 68分，第 17~22题每题 5分，第 23~26题每题 6分，第 27，28题每题 7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算：： 1 π 2010 0 3 tan 60 2°+ -2 ．
5x 1 3x 4
18.解不等式组： 2
x
1

3 3
5 1
19.解分式方程： 2
x 2 2 x
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20．如图，四边形 ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点 E，DF⊥BA交 BA的延长线于
点 F．
（1）求证：△ADF∽△DCE；
（2）当 AF=2，AD=6，且点 E恰为 AD中点时，求 AB的长．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点 D，DO的延长线交⊙O于点 E．若
AC＝ 4 2，DE＝4，求 BC的长.
2
22 2
m 3
．已知关于 x的一元二次方程 x (m 1)x 0有两个不相等的实数根．
4
（1）求 m的取值范围；
（2）若 m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求 m的值.
23.高速公路某收费站出城方向有编号为 A,B,C,D,E的五个小客车收费出口,假定各收费出口
每 20分钟通过小客车的数量是不变的.同时开放其中的某两个收费出口,这两个出口 20分钟一
共通过的小客车数量记录如下:
收费出口编号 A,B B,C C,D D,E E,A
通过小客车数量(辆) 260 330 300 360 240
(1)在 A,B,C,D,E五个收费出口中,判断每 20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口。.
(2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加。假设各收费出口每 20分钟通过
的小客车数量同比增长相同的百分比 x 。此时同时开放出口 A和 B，20分钟内通过的车辆数
为 300辆。求增长率 x 的值（精确到 0.1%）。
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24．如图，过⊙O外一点 A作⊙O的两条切线 AB，AC，切点分别为 B，C，连接 CO并延长，
交 AB的延长线于点 D，点 E是 OC的中点，过点 D作 AE的垂线，垂足为 F．
（1）求证：∠CAE=∠CDF；
（2）若∠BAC=60°，OC=2，求 EF的长．
25．如图，在水池中心点 O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动
时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O在同一水平面．安装师傅进行了
4
调试，记录了三次数据：第一次，喷头高 m时，水柱落点距 O点 2m；第二次，喷头高
3
4m时，水柱落点距 O点 3m．第三次，喷头高 8m时，水柱落点距 O点 4m．
（1）根据上述数据，求该抛物线 y ax2 bx c (a＜0)表达式中 a，b的值；
（2）若记第一次调试时，抛物线形水柱距离水面的最大高度为 d1m，记第二次调试时，抛
物线形水柱距离水面的最大高度为 d2m，在某次调试中，抛物线形水柱距离水面的最
大高度为 d m，若 2d = d2 d1，则喷头的高度为 m.
26 2．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y ax 3ax b（a≠0）经过点 A 3，1 ，与 y轴交于
点 B．
（1）①求抛物线的对称轴；
②直接写出点 B的坐标；
（2）点 P（m，n）在抛物线上，若对于 a+1＜m＜3，都有 n＞ a3 3a2 b，求 a的取值范围．
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27．在正方形 ABCD 中，将射线 AB绕点 A顺时针旋转α（45°＜α＜ 90°），得到射线 AE，将
射线 BA绕点 B逆时针旋转 90°-α，与射线 AE交于点 E，过点D作DF BE于点 F ．
（1）根据题意补全图形；
（2）用等式表示线段 AE，BF，DF之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE，若 AB=2，当线段CE的长度最大时，直接写出△ABE的面积．
28．对于平面直角坐标系 xOy中的点 P（x，y），若点 Q的坐标为（x+2y，2x+y），则称 Q
是点 P的变换点.例如：点 P(1,2)的变换点 Q的坐标为（5,4）.
（1）已知点 P在直线 y x 2上.
①若点 P的横坐标为 2，则它的变换点 Q的坐标为 ；若点 P（x，y）与它的
变换点 Q关于原点 O对称，则点 P的坐标为 ；
②若 P的变换点 Q的坐标为（m,n），求 m与 n之间的关系；
（2）已知点 A（x，y）, B（x+1，y+1）都在直线 y x 2上，若线段 AB上所有点（含端
点）和它的变换点都在半径为 r的⊙O上或内部，直接写出 r的最小值及此时点 A的
坐标.
第 6 页 共 6 页

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