资源简介

第二课时　椭圆标准方程的综合问题
题型一　椭圆定义的应用
例1 (1)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)
A.24 B.12
C.8 D.6
(2)已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
训练1 (1)椭圆E：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆E上，若|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝90°，求△F1PF2的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　由椭圆定义求轨迹方程
例2 已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不是起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中.
训练2 △ABC的三边a>b>c且成等差数列，A，C两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，求顶点B的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　点与椭圆的位置关系
例3 已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A.在椭圆内 B.在椭圆外
C.在椭圆上 D.不确定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　点与椭圆的位置关系的判断
(1)|PF1|＋|PF2|<2a 点P在椭圆内部；
|PF1|＋|PF2|＝2a 点P在椭圆上；
|PF1|＋|PF2|>2a 点P在椭圆外部.
(2)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1；
点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；
点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
训练3 若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆＋＝1内部，则m的取值范围是________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.7
C.13 D.15
2.已知椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为________.
3.设点P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且点P的纵坐标y≠0，点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
第二课时　椭圆标准方程的综合问题
例1　(1)C　[∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，
∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8.]
(2)解　由椭圆方程＋＝1可得a＝，
b＝2，c＝＝1.
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 30°，
∴4＝(2)2－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°
＝8－4.
训练1　(1)B　[∵F1，F2为椭圆E的焦点，点P在椭圆E上，
|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝6，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∵|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2
＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，
∴S△PF1F2＝×2×4＝4.]
(2)解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2
＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝.
所以△F1PF2的面积
S＝·|PF1|·|F1F2|
＝××6＝，
即△F1PF2的面积是.
例2　解　建系如图所示，连接AP，
∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4>2＝|AB|，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∵2a＝4，2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
训练2　解　设B(x，y)，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b＝4，
即|BA|＋|BC|＝4，且4>2，
故点B应在椭圆＋＝1上.
又a>c，
即>，
所以x<0.
当x＝－2时，B，A，C共线，故排除.所以顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2例3　A　[∵直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有共公点，
∴>，即m2＋n2<5，
∴m2<5，n2<5.
又∵＋<＋＝<1，
∴点P(m，n)在椭圆内部.]
训练3　(1，5)　[由题意知＋<1，∴m>1，
又椭圆的焦点在x轴上，∴m<5，
故m的取值范围是(1，5).]
课堂达标
1.B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]
2.3　[由题意，可知b＝，c＝，
|PF1|＝4，
则|PF2|＝2a－4，|F1F2|＝2c＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，
即－＝，
解得a＝3.]
3.解　∵点P在椭圆＋＝1上，
∴y2＝16＝16×.①
∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5.
∵kPA＝，kPB＝.
∴kPA·kPB＝·＝，②
将①代入②，得
kPA·kPB＝＝－，
∴kPA·kPB为定值，这个定值是－.(共44张PPT)
第二课时　椭圆标准方程的综合问题
第3章 3.1　椭　圆 3.1.1 椭圆的标准方程
题型剖析
题型一　椭圆定义的应用
例1
A.24 B.12 C.8 D.6
√
思维升华
椭圆定义的应用技巧
(1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
A.2 B.4 C.6 D.8
训练1
∵F1，F2为椭圆E的焦点，点P在椭圆E上，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝6，
√
题型二　等差中项及其应用5
例2
已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.
建系如图所示，连接AP，
∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4>2＝|AB|，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∵2a＝4，2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
思维升华
求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不是起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中.
△ABC的三边a>b>c且成等差数列，A，C两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，求顶点B的轨迹方程.
训练2
设B(x，y)，因为a，b，c成等差数列，
题型三　点与椭圆的位置关系
例3
A.在椭圆内 B.在椭圆外
C.在椭圆上 D.不确定
√
∵直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有共公点，
∴m2<5，n2<5.
思维升华
训练3
(1，5)
课堂达标
√
A.5 B.7 C.13 D.15
由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
3
课时精练
一、基础巩固
√
A.点在椭圆上 B.点在椭圆内
C.点在椭圆外 D.无法判断
√
√
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
A.4 B.6 C.9 D.12
√
由|AB|＋|AC|＝20－8＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆
(除去与y轴的交点)，
4.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是
其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20，
√
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8.
√
√
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2的周长为12.
又|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
4
根据题意，设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(c，d)，
(0，1)或(0，－1)
∵点A，B都在椭圆上，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
且|PA|＋|PB|>|AB|，
√
二、综合运用
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，
3
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2，
13.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
三、创新拓展3.1.1　椭圆的标准方程
课标要求　1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
【知识梳理】
1.椭圆的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之和为____________的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离________叫作焦距.
温馨提醒　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点 ________ ________
a，b，c的关系 ________
温馨提醒　(1)椭圆的标准方程是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴时的方程.
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.
【自测检验】
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的焦点只能在坐标轴上(　　)
(3)方程＋＝1(m>0，n>0)不一定表示椭圆.(　　)
(4)两种椭圆的标准方程中，有时a>b>0，有时b>a>0.(　　)
(5)椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c，且a2＝b2＋c2.(　　)
2.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
第一课时　椭圆的标准方程
题型一　椭圆的定义
例1 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　椭圆定义的双向运用
判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
训练1 (1)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m>0)，则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.线段
C.射线 D.椭圆或线段
(2)求椭圆＋＝1的焦点坐标及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　椭圆的标准方程
例2 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
(3)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点
P.
(4)求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程；
(5)已知椭圆的中心在原点，过点(，－2)和(0，2)，求椭圆的标准方程 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1.
当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式.
训练2 求适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(2)经过A，B两点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　椭圆标准方程的简单应用
例3 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断椭圆焦点在x轴，y轴的依据是标准方程中的x2，y2对应的分母，焦点在分母大的对应的坐标轴上.
训练3 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　)
A.m<2
B.1C.m<－1或1D.m<－1或1【课堂达标】
1.椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)
A.(±5，0) B.(0，±5)
C.(0，±12) D.(±12，0)
2.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________.
3.如图，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长.
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
3.1.1　椭圆的标准方程
新知导学
知识梳理
1.常数(大于|F1F2|)　|F1F2|　
2.(－c，0)，(c，0)　(0，－c)，(0，c)　c2＝a2－b2
自测检验
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段F1F2.]
3.B　[将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0，1)，故－1＝1，
解得k＝2.]
4.50　[由椭圆方程，知a2＝169，b2＝25，
∴a＝13，c＝＝12.
由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝26，
又|F1F2|＝2c＝24，
故△PF1F2的周长为2a＋2c＝50.]
第一课时　椭圆的标准方程
题型剖析
例1　解　如图，连接QA.
由已知，得|QA|＝|QP|.
所以，|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，
所以|OA|<|OP|.
根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
训练1　(1)D　[因为m>0，所以m＋≥
2＝4(当且仅当m＝2时等号成立)，
所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆或线段.]
(2)解　已知方程是椭圆的标准方程，由4>2，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝4，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝2，c＝.
因此椭圆的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为2a＝4.
例2　解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以即
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，焦距为2c.
由题意得c＝1，|PF1|＝＝，
|PF2|＝＝，
则m＝＝＝，
n＝＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)代入，可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(5)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1
(m>0，n>0，m≠n)，
椭圆过点(，－2)和(0，2)，
则解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
训练2　解　(1)设所求椭圆方程为
＋＝1(k<1)，
将点代入，可得＋＝1，
解得k＝－2或k＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1
(m>0，n>0，m≠n).
把A，B两点代入，
得解得m＝，n＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例3　解　由题意得3－2m>2m－1>0，
即解得∴m的取值范围是.
训练3　D　[由题意得
解得m<－1或1课堂达标
1.C　[因为椭圆的焦点在y轴上，
且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).]
2.　[由题意16＋m>25－m>0，
∴3.解　(1)由题意知A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝10＋10＝20，
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变.
理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，和AB与x轴是否垂直无关.(共54张PPT)
3.1.1　椭圆的标准方程
第3章 3.1　椭　圆 3.1.1 椭圆的标准方程
课标要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.椭圆的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之和为___________________的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离_______叫作焦距.
常数(大于|F1F2|)
|F1F2|
温馨提醒
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
温馨提醒
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
√
×
√
√
2.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段F1F2.
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
50
由椭圆方程，知a2＝169，b2＝25，
第一课时　椭圆的标准方程
题型剖析
题型一　椭圆的定义
例1
如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
如图，连接QA.
由已知，得|QA|＝|QP|.
所以，|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.
根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
思维升华
椭圆定义的双向运用
判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
训练1
√
已知方程是椭圆的标准方程，由4>2，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝4，b2＝2，
题型二　椭圆的标准方程
例2
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
因为椭圆的焦点在x轴上，
因为2a＝10，所以a＝5.又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
因为椭圆的焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
思维升华
求适合下列条件的椭圆标准方程：
训练2
题型三　椭圆标准方程的简单应用
例3
由题意得3－2m>2m－1>0，
训练3
√
课堂达标
√
因为椭圆的焦点在y轴上，
且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
课时精练
一、基础巩固
√
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆.
√
由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
√
根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.
√
√
5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
√
8
18
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)，
法一　(1)当焦点在x轴上时，
(2)当焦点在y轴上时，
法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
√
二、综合运用
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是
如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则|AC|＝R－r，由于r＝|BC|，
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
√
∴|AC|＝R－|BC|即|CA|＋|CB|＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴|AB|∴动点C的轨迹为椭圆.
若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
12
13.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，
三、创新拓展
由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，第3章　课时精练28　椭圆的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
9 4
3 2
3.若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
6 7
8 9
4.“2充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
当a＝2时，点P的轨迹不存在
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
6.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________.
7.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则焦距为________；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
8.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为________.
9.(15分)求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
10.(15分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是( )
圆 椭圆
线段 射线
12.已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
13.(15分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
三、创新拓展
14.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
课时精练28　椭圆的标准方程
1.B　[当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆.]
2.C　[由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).]
3.B　[根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.]
4.B　[若方程＋＝1表示椭圆，
则解得2所以“25.AC　[当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.]
6.＋x2＝1　[由已知2a＝8，2c＝2，
所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.]
7.8　18　[由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，
故焦距为8，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18.]
8.±　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，
即y2＝，∴y＝±，
∴点M的纵坐标为±.]
9.解　法一　(1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
11.AB　[如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，
则|AC|＝R－r，
由于r＝|BC|，
∴|AC|＝R－|BC|即|CA|＋|CB|＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.∵B为圆内的定点，∴|AB|∴动点C的轨迹为椭圆.
若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.]
12.12　[如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)
＝4a＝12.]
13.解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，
又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的方程为＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，
由|PB|＝3，得＝3，
∴解得或
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3).
14.　[由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，
顶点B在椭圆＋＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知
＝＝＝.]第3章　课时精练29　椭圆标准方程的综合问题
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.已知椭圆C：＋＝1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是( )
点在椭圆上 点在椭圆内
点在椭圆外 无法判断
2.方程＋＝10化简的结果是( )
＋＝1 ＋＝1
＋＝1 ＋＝1
3.设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
4 6
9 12
4.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0)
＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0)
5.(多选)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是( )
|PF1|＝6，|PF2|＝4
△PF1F2为直角三角形
△PF1F2的面积为6
△PF1F2的周长为12
6.点P(1，m)在椭圆＋y2＝1内，则m的取值范围是________.
7.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
8.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.
9.(15分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程.
10.(15分)已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆的两焦点，若·＝0.试求：
(1)椭圆的方程；
(2)sin∠PF1F2的值.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，且·＝0，则M到y轴的距离为( )
3 2
12.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
13.(15分)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
三、创新拓展
14.若点P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值为________.
课时精练29　椭圆标准方程的综合问题
1.B　[因为＋＝<1，所以点A在椭圆C内部.]
2.B　[方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10，且10>2＋2，
由椭圆的定义可得，动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21.
所以椭圆的方程为＋＝1.]
3.C　[∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号.]
4.B　[由|AB|＋|AC|＝20－8＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，
其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20，
故其方程为＋＝1(x≠0).]
5.BCD　[由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝4，
∴△PF1F2的周长为12.
又|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴S△PF1F2＝×3×4＝6.]
6.　[由题意知，＋m2<1，
则－7.4　[设椭圆的另一个焦点为E，
则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.]
8.(0，1)或(0，－1)　[根据题意，设点A的坐标为(m，n)，点B的坐标为(c，d)，
易得F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(m＋，n)，＝(c－，d).
∵＝5，∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，
∴解得
故点A的坐标为(0，1)或(0，－1).]
9.解　如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.在Rt△ABC中，
|BC|＝
＝.
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|>|AB|，
∴由椭圆的定义知，动点P的轨迹E为以A，B为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
10.解　(1)因为＝(－c－6，－8)，
＝(c－6，－8)，且·＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝a2－c2＝80.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为·＝0，所以PF1⊥PF2，
由(1)知，|PF2|＝＝4，
|F1F2|＝2c＝20，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
11.C　[设M(x0，y0)，点M在椭圆＋y2＝1上，所以＋y＝1，①
又椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，
则F1(－，0)，F2(，0)，
所以＝(－－x0，－y0)，
＝(－x0，－y0).
由·＝0，
可得(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝0，
化简可得x＋y＝3，②
联立①②可解得x0＝±，
故M到y轴的距离为.]
12.3　[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
又PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9，∴b＝3.]
13.解　(1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4，2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，
解得mn＝4.∴S△PF1F2＝mnsin∠F1PF2＝×4sin 60°＝.
14.－　[由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
∵cos∠F1PF2＝
＝
＝－1.
又|PF1|＋|PF2|＝6≥2，
∴|PF1|·|PF2|≤9，
∴－1≥－1＝－，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时等号成立，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.]

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