资源简介
第二课时 椭圆的方程及性质的应用
课标要求 1.进一步熟悉求解椭圆方程的方法. 2.会判断直线与椭圆的位置关系. 3.能利用弦长公式解决相关问题.
【知识梳理】
1.直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立
消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 ____解 Δ____0
相切 ____解 Δ____0
相离 ____解 Δ____0
2.弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝＝____________，
或|AB|＝
＝ ＝________________.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
温馨提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
【自测检验】
1.思考辨析，判断正误
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( )
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线.( )
(3)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交.( )
(4)直线与椭圆的位置关系有：相离、相切、相交三种.( )
2.过点(2，1)，焦点在x轴上且与椭圆＋＝1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.4 B.2
C.1 D.4
4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm.
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
例1 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？
思维升华 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
训练1 若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围.
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例2 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
思维升华 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
训练2 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
题型三 最短距离问题
例3 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
思维升华 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.
训练3 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
【课堂达标】
1.直线y＝kx＋k与焦点在y轴上的椭圆＋＝1总有两个公共点，则实数m的取值范围是________.
2.已知椭圆C：＋y2＝1的焦点F(1，0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||等于________.
3.已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点.
(1)求线段AB的中点坐标；
(2)求△AOB的面积.
第二课时 椭圆的方程及性质的应用
新知导学
知识梳理
1.两 > 一 ＝ 无 <
2.
自测检验
1.(1)√
(2)× 提示 因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.
(3)√ (4)√
2.D [因为所求椭圆与椭圆＋＝1有相同的离心率，
可设所求椭圆的方程为＋＝λ(λ>0)，
又由椭圆过点(2，1)代入椭圆的方程，
可得＋＝λ，解得λ＝，即所求椭圆的方程为＋＝，即＋＝1.]
3.C [因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，所以右焦点坐标为(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，
故|AB|＝1.故选C.]
4.20 [因为两个椭圆的扁平程度相同，
所以椭圆的离心率相同，所以＝，
即＝.
所以＝，
解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm.]
题型剖析
例1 解 由
消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)
＝－576m2＋14 400.
(1)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点；
(2)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(3)当Δ>0时，得－5训练1 解 把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，
解得－故m的取值范围为(－，).
例2 解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4).
由
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
训练2 解 法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直线与椭圆有两个交点，
故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0.∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋
4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
两边同除以(x1－x2)得(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－.
∴弦所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).
例3 解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，
得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为
d＝＝＝.
由得
即P.
训练3 解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝.
由得
即P.
课堂达标
1.(1，4) [直线y＝kx＋k恒过(－1，0)，
由直线y＝kx＋k与焦点在y轴上的椭圆＋＝1总有两个公共点，
可得]
2. [设A(2，y0)，B(x1，y1)，又F(1，0)，
所以＝(1，y0)，＝(x1－1，y1)，
由＝3，即(1，y0)＝3(x1－1，y1)，
所以又点B在椭圆C上，
所以＋＝1，
解得y0＝±1，所以A点坐标为(2，±1)，
所以||＝＝.]
3.解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得a＝3，c＝2，于是b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
由得10x2＋36x＋27＝0.
因为该一元二次方程的Δ>0，
所以点A，B不同，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，
故线段AB的中点坐标为.
(2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，
则d＝＝.
又由(1)知x1x2＝，
所以|AB|＝
＝＝，
故S△AOB＝××＝.(共59张PPT)
第二课时 椭圆的方程及性质的应用
第3章 3.1.2 椭圆的简单几何性质
课标要求
1.进一步熟悉求解椭圆方程的方法.
2.会判断直线与椭圆的位置关系.
3.能利用弦长公式解决相关问题.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.直线与椭圆的位置关系
消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 ____解 Δ____0
相切 ____解 Δ____0
相离 ____解 Δ____0
两
一
>
＝
无
<
2.弦长公式
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
温馨提醒
利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( )
√
√
√
√
4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm.
20
因为两个椭圆的扁平程度相同，
题型剖析
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
例1
当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
(1)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点；
(2)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(3)当Δ>0时，得－5思维升华
判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
训练1
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例2
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
思维升华
研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
训练2
法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
题型三 最短距离问题
例3
思维升华
本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.
训练3
已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
课堂达标
直线y＝kx＋k恒过(－1，0)，
(1，4)
设A(2，y0)，B(x1，y1)，又F(1，0)，
课时精练
一、基础巩固
√
1.(多选)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是
√
√
把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32
＝－64<0，
故直线与椭圆相离.
√
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是
√
√
√
以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
6
9.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
√
二、综合运用
其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，
√
三、创新拓展
(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆L交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程及|AB|的大小.
易知直线l的斜率存在且不为零，3.1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
课标要求 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
【知识梳理】
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 ____________，___________ ____________，____________
顶点 ____________，____________， ____________，____________，
轴长 短轴长＝________，长轴长＝________
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：________ 对称中心：________
离心率 e＝∈________
温馨提醒 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)e＝＝.
(5)离心率的范围为(0，1).
(6)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.
【自测检验】
1.思考辨析，判断正误
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.( )
(4)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).( )
2.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5，3， B.10，6，
C.5，3， D.10，6，
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
4.已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________.
题型一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
思维升华 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
题型二 由椭圆的几何性质求方程
例2 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
思维升华 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
训练2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
A.(±13，0) B.(0，±10)
C.(0，±13) D.(0，±)
(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.
题型三 求椭圆的离心率
角度1 求离心率
例3 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率.
角度2 求离心率的取值范围
例4 已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，求它的离心率e的最大值.
思维升华 求椭圆离心率的方法：
①直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝ 求解.
②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
训练3 (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________.
【课堂达标】
1.(多选)已知点(3，2)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
2.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(－，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋y2＝1 B.x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.x2＋＝1
3.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.
第一课时 椭圆的简单几何性质
新知导学
知识梳理
－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，
B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，
B2(b，0) 2b 2a x轴、y轴 原点 (0，1)
自测检验
1.(1)× 提示 椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是2a.
(2)× 提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
(3)× 提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.
(4)√
2.B [将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，
∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝.]
3.C [依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.]
4.＋＝1或＋＝1 [由题意知，2a＝8，e＝＝，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15，∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.]
题型剖析
例1 解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，则a＝5，b＝1.
所以c＝＝2，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
两个焦点分别是F1(0，－2)，F2(0，2)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，
B1(－1，0)，B2(1，0).
训练1 解 (1)由椭圆C1：＋＝1，
可知a＝10，b＝8，c＝＝6，
故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.
性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，
短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
例2 解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
训练2 (1)D (2)＋＝1 [(1)由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D.
(2)由已知，得焦点在x轴上，
且∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.]
例3 解 由题意知A(a，0)，B(0，b)，
从而直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，
又|F1F2|＝2c，∴＝c.(*)
∵b2＝a2－c2，
∴(*)式可化简为3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.
例4 解 ∵椭圆＋＝1的焦点在x轴上，∴5a>4a2＋1，∴∴椭圆的离心率e＝
＝
≤
＝(当且仅当4a＝，即a＝时取等号)，
∴椭圆的离心率的最大值为.
训练3 (1)A (2)
[(1)如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，
|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴＝cos 60°＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是.]
课堂达标
1.BC [由椭圆的对称性知点(－3，－2)，
(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上.]
2.A [依题意，椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则
所以a＝2，b＝1，
所以该椭圆的标准方程为＋y2＝1.]
3.解 依题意F1(－c，0)，
则直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).
∵点B为CF1的中点，∴B.
由已知点B在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1，
∴＋＝1，∴k2＝.
由已知，|k|≤，
∴k2≤，即≤，
∴2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8，又0∴≤e2<1即≤e<1.(共54张PPT)
第3章 3.1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
课标要求
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
椭圆的几何性质
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
(0，1)
温馨提醒
温馨提醒
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
×
×
√
√
2.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是
√
题型剖析
题型一 椭圆的简单几何性质
例1
求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
思维升华
解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
训练1
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
题型二 由椭圆的几何性质求方程
例2
分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
思维升华
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
(1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为
训练2
√
由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
由已知，得焦点在x轴上，
题型三 求椭圆的离心率
例3
角度1 求离心率
由题意知A(a，0)，B(0，b)，
例4
角度2 求离心率的取值范围
思维升华
训练3
(1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
√
如图，△BF1F2是正三角形，
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________.
课堂达标
√
由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上.
√
√
依题意F1(－c，0)，则直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).
课时精练
一、基础巩固
√
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为
√
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是
√
3.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是
√
√
5.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则
√
√
若焦点在x轴上，则a＝2.
(2，4]
9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，
√
二、综合运用
设P点的坐标为(x0，y0)，
√
由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
由题意可得，c＝1，a＝2，
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
三、创新拓展
14.如图，底面直径为12的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，离心率为________.第3章 课时精练30 椭圆的简单几何性质
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
＋＝1 x2＋＝1
＋y2＝1 ＋＝1
3.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
7，2， 14，4，
7，2， 14，4，
4.曲线＋＝1与＋＝1(0有相等的焦距，相同的焦点
有相等的焦距，不同的焦点
有不等的焦距，不同的焦点
以上都不对
5.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
a－c＝m＋R a＋c＝n＋R
2a＝m＋n b＝
6.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是________.
7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率08.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为________.
9.(15分)分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
10.(15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.已知椭圆＋x2＝1(a>1)的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1，0)，则|PB|的最大值为( )
2
3
12.椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
13.(15分)已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
三、创新拓展
14.如图，底面直径为12的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，离心率为________.
课时精练30 椭圆的简单几何性质
1.B [由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，
∴e2＝＝，∴e＝.]
2.B [将椭圆方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，故其焦点为(0，±).
又b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，
故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.]
3.B [先将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，则b＝2，a＝7，c＝3.故长轴长为2a＝14, 短轴长为2b＝4，离心率e＝＝.]
4.B [曲线＋＝1的焦距为2c＝8，
而曲线＋＝1(05.ABD [∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得∴
故A，B正确；
由①＋②，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由①×②，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝，故D正确.]
6.＋y2＝1或＋＝1
[若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝＝，∴＝1－＝，
∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1.
综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.]
7.(2，4] [∵e＝，b＝1，0∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2，4].]
8. [由＋y2＝1知，F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)，即点P的横坐标为xP＝－，代入椭圆方程得|yP|＝，
∴|PF1|＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.]
9.解 (1)由已知得2a＝6，e＝＝，
∴a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，
|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，
∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.解 由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，
得＝＝，
从而＝，整理得a2＝3c2.
故离心率e＝＝.
11.C [由题意可得e2＝＝，
据此可得a2＝5，
则椭圆方程为＋x2＝1.
设P点的坐标为(x0，y0)，
则y＝5(1－x)，故|PB|＝＝
＝，
当x0＝时，|PB|max＝.]
12.C [由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|＝5|PF2|，
则|PF1|＝，|PF2|＝，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴≤2c，e≥.
又e<1，
∴椭圆离心率的取值范围是.]
13.解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，
则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
14.8 [由题图知短轴长为底面圆的直径12，长轴长为＝8，
则c2＝(4)2－62＝12，∴c＝2，
∴离心率e＝＝.]第3章 课时精练31 椭圆的方程及性质的应用
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.(多选)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是( )
－1 －
1
2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
相交 相切
相离 相切或相交
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
4.(多选)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值可以为( )
－ －
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
6.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________.
7.已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________.
8.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
9.(10分)如图，
在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程.
10.(10分)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x交于A，B两点，且|AB|＝，求＋的值.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( )
12.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
13.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求直线l与坐标轴围成三角形的面积.
三、创新拓展
14.(15分)已知椭圆L：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆L交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程及|AB|的大小.
课时精练31 椭圆的方程及性质的应用
1.AD [易知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或－1.]
2.C [把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
故直线与椭圆相离.]
3.A [由消y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，
∴弦的中点坐标是.故选A.]
4.AD [根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.]
5.A [以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，∵圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，
即2b＝，∴a2＝3b2.
∵a2＝b2＋c2，∴c2＝2b2，∴＝，
∴e＝＝.]
6.2 [因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内(不包含边界)，
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点.]
7. [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消y得3x2－4x＝0，
可知A(0，－1)，B，又F1(－1，0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.]
8.6 [由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)，
因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6.]
9.解 根据题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，|AB|＝8且AB的中点为O，则A的坐标为(－4，0)，B的坐标为(4，0)，
即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16.
又|BC|＝6，故C的坐标为(4，6)，
椭圆经过点C，则有＋＝1，
解得a2＝64，b2＝48，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
10.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x1＝y1＝，x2＝y2＝－，
故|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2×＝＝，
即＝，所以＋＝5.
11.A [易知△ABF2的内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，
可得△ABF2的面积
S＝lr＝×2c·|y1－y2|，
其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，
代入数据解得|y1－y2|＝.]
12.A [如图，设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，
则≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈.]
13.解 (1)由已知可得e＝＝，＋＝1，c2＝a2－b2，解得a＝2，b＝1.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得＋y＝1，＋y＝1，
两式相减得＋
(y1－y2)·(y1＋y2)＝0，
由中点坐标公式得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
∴kAB＝＝－，可得直线AB的方程为y－＝－，
令x＝0，可得y＝，
令y＝0，可得x＝，
则直线l与坐标轴围成的三角形面积为
S＝××＝.
14.解 (1)由e2＝＝
＝1－＝，得a2＝4b2.
又∵短轴长为2可得b＝1，a2＝4，
∴椭圆L的标准方程为＋y2＝1.
(2)易知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝kx＋2，
联立
消去y，得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
由题意可知⊥，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，∴－＋4＝0，
解得k2＝4>，即k＝±2.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
综上，直线l的方程为y＝±2x＋2，|AB|＝.
展开更多......
收起↑
