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3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
课标要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
【知识梳理】
1.双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为________________)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离________叫作双曲线的焦距.
温馨提醒　(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ________________ ________________
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1______，F2______
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝________
温馨提醒　(1)双曲线的标准方程是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴时的方程.
(2)两种双曲线－＝1，－＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同.
【自测检验】
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)平面内到两定点的距离的差等于正常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(4)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2>b2.(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.一条射线
3.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
4.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
题型一　双曲线的定义及应用
角度1　利用定义判断轨迹
例1 已知A(0，－5)、B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线
D.双曲线一支或一条射线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　利用定义求长度
例2 若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A.11 B.9
C.5 D.3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　双曲线中的焦点三角形
例3 设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A.4 B.8
C.24 D.48
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
训练1 (1)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.(0，4]
C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞)
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
题型二　求双曲线的标准方程
例4 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
训练2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　根据双曲线的标准方程求参数值或范围
例5 求适合下列条件的参数的值或范围；
(1)已知－＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲线；
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判定方程所表示的曲线类型，在对参数k进行讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x轴上和y轴上的情况.
2.确定方程所表示的曲线的类型时，首先应明确方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的条件，即AB<0，且C≠0.化成＋＝1.若焦点在x轴上，则>0，<0；若焦点在y轴上，则>0，<0.
训练3 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C，则以下四个判断正确的是(　　)
A.当1B.当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
2.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________________.
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
3.2.1　双曲线的标准方程
新知导学
知识梳理
1.正常数(小于|F1F2|　|F1F2|
2.－＝1(a>0，b>0)　－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)　a2＋b2
自测检验
1.(1)×　提示　必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
(2)×　提示　平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
(3)×　提示　因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
(4)×　提示　焦点跟着正项走，若焦点在x轴上，只要x2的系数为正即可.
2.B　[因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.]
3.B　[由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4.6　[椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0).
∵双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，
∴2m＝12，∴m＝6.]
题型剖析
例1　D　[当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.]
例2　B　[由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.]
例3　C　[由题意，得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|＝24.]
训练1　(1)A　(2)16　[(1)由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0(2)由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.]
例4　解　(1)法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
因为P，Q两点在双曲线上，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二　因为焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
因为双曲线经过点(－5，2)，
所以－＝1，所以λ＝5或λ＝30(舍去).
所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
训练2　解　(1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例5　解　(1)①若方程表示双曲线，则须满足
或解得k<－3或1②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k<－3.
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
∴－k＋＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
训练3　解　①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线.
②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆.
③当k<0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线.
④当0⑤当k>1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.
课堂达标
1.BCD　[A错误，当t＝时，曲线C表示圆；
B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，
∴t<1或t>4；
C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
则4－t>t－1>0，∴1D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，
则∴t>4.]
2.x2－＝1　[设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
由题意得B(2，0)，C(2，3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.]
3.解　(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).由题设知，a＝2，
且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为
F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4)).设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.(共58张PPT)
第3章 3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
课标要求
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为____________________的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离_______叫作双曲线的焦距.
正常数(小于|F1F2|)
|F1F2|
温馨提醒
(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(0，－c)
(0，c)
a2＋b2
温馨提醒
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
(1)平面内到两定点的距离的差等于正常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
提示　必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
提示　平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
自测检验
(3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
×
×
√
2.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.一条射线
因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
3.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是
√
由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，
4.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
6
题型剖析
题型一　双曲线的定义及应用
例1
角度1　利用定义判断轨迹
已知A(0，－5)、B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为
A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线
√
当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
角度2　利用定义求长度
例2
√
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
例3
√
角度3　双曲线中的焦点三角形
思维升华
1.判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
(1)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是
A.(0，4) B.(0，4]
C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞)
训练1
√
由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，
可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，
题型二　求双曲线的标准方程
例4
根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
思维升华
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
训练2
由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
因为焦点在x轴上，
题型三　根据双曲线的标准方程求参数值或范围
例5
①若方程表示双曲线，则须满足
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值.
思维升华
训练3
已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线.
课堂达标
√
√
√
2.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若|AB|＝4，|BC|＝3，则此
双曲线的标准方程为________________.
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
因为双曲线的焦点在y轴上，
课时精练
一、基础巩固
√
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是
√
当k>5时，方程表示双曲线；
√
由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
√
不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
√
由已知条件，得焦点在x轴上，
9
若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1.
(－∞，－5)∪(－5，－1)
(－1，＋∞)　
焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
9.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.
不妨设P在双曲线的右支上，
设|PF2|＝x(x>0)，则|PF1|＝2＋x，
因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当 －1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
√
二、综合运用
√
√
设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
13.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
不妨设M点在右支上，
三、创新拓展
设△PF1F2的内切圆的半径为R，
√第3章　课时精练32　双曲线的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
2 2
4 4
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是( )
1 －1
－
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
4a 4a－m
4a＋2m 4a－2m
5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
－y2＝1 x2－＝1
－＝1 －＝1
6.若双曲线－＝1(m>0)的焦距为10，则m＝________.
7.若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________.
8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.
9.(15分)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.
10.(15分)已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.(多选)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是( )
－y2＝1 －x2＝1
x2－＝1 y2－＝1
12.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
13.(15分)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
2 10
8 6
课时精练32　双曲线的标准方程
1.C　[因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，
所以2c＝4.]
2.A　[当k>5时，方程表示双曲线；
反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.]
3.B　[由焦点坐标，知焦点在y轴上，
∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.]
4.C　[不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.]
5.B　[由已知条件，得焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的方程为x2－＝1.]
6.9　[由题意知，a＝4，b＝，c＝5，
又由a2＋b2＝c2，得16＋m＝25，∴m＝9.]
7.(－1，＋∞)　(－∞，－5)∪(－5，－1)
[若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1.
若表示椭圆，则有
解之得m<－1且m≠－5.]
8.－＝1　[焦点为F1(－c，0)，
F2(c，0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.]
9.解　由双曲线方程，知a＝1，b＝1，c＝.
不妨设P在双曲线的右支上，
设|PF2|＝x(x>0)，则|PF1|＝2＋x，
因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
10.解　设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，
则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，
即－＝1(y≠0).
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当 －1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
11.AB　[由于＝，∴b2＝2a2.
当焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1，
代入(1，1)点，得a2＝，
此时双曲线方程为－y2＝1.
同理求得焦点在y轴上时，
双曲线方程为－x2＝1.]
12.B　[设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.]
13.解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝
<0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
14.B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，
所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，所以S△MF1F2＝·2c·R＝10.]

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