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第二课时　双曲线的方程及性质的应用
课标要求　1.会求有关弦长问题. 2.了解直线与双曲线的位置关系.
【知识梳理】
1.直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的________平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，
Δ>0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相交；
Δ＝0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相切；
Δ<0 直线与双曲线________公共点，此时直线与双曲线相离.
温馨提醒　当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切.
2.设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝＝____________＝
或|AB|＝________________________
＝(k≠0).
【自测检验】
1.思考辨析，判断正误
(1)过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(　　)
(3)直线与双曲线有唯一交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.(　　)
(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为b.(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A.2 B.2
C. D.1
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
4.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
题型一　直线与双曲线的位置关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　弦长公式及中点弦问题
例2 过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2 已知双曲线的方程为x2－＝1.
试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　双曲线的综合问题
例3 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.
训练3 设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________.
2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，则双曲线的实轴长为________，|AB|＝________.
3.若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值.
第二课时　双曲线的方程及性质的应用
新知导学
知识梳理
1.渐近线　两个　一个　没有
2.|x1－x2|　|y1－y2|
自测检验
1.(1)×　提示　过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.
(2)√　(3)√　(4)√
2.A　[∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，
∴点F到直线x－y＝0的距离为＝2.]
3.C　[将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.]
4.4　[由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故|AB|＝4.]
题型剖析
例1　解　联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
(1)由
得－此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个公共点.
(2)由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)由得k<－或k>，
此时方程(*)无实数解，
即直线l与双曲线无公共点.
训练1　解　(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)·x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在.
例2　解　易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
训练2　解　法一　设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)·(k2－2k＋3)>0，解得k<.
设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
∵点B(1，1)是弦的中点，
∴＝1，∴k＝2>.
故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.
法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，∴kMN＝＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
例3　解　(1)设双曲线的方程为－＝1
(a>0，b>0).
由已知得a＝，c＝2，所以b＝1.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意知
解得k2≠且k2<1.①
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由·>2，得x1x2＋y1y2>2.
而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.
所以>2，解得由①②得－1故实数k的取值范围为
∪
训练3　解　(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝(2－k2≠0)，
解得k＝1.当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝·
＝×＝4.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝2.
课堂达标
1.3x＋4y－5＝0　[易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
代入－y2＝1，
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
∴－＝6，∴k＝－(满足Δ>0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.]
2.4　8　[由题意可知2b＝4，e＝＝，
又c2＝a2＋b2，于是a＝2.
因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，
所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，
得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8.]
3.解　(1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即∴1∴k的取值范围是(1，).
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1第二课时　双曲线的方程及性质的应用
第3章 3.2.2　双曲线的简单几何性质
课标要求
1.会求有关弦长问题.
2.了解直线与双曲线的位置关系.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.直线与双曲线位置关系的判断
渐近线
两个
一个
没有
温馨提醒
当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切.
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
(1)过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.( )
提示　过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.
(2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.( )
(3)直线与双曲线有唯一交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.( )
√
√
√
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是
√
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
题型剖析
题型一　直线与双曲线的位置关系
例1
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
思维升华
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1
(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)·x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
题型二　弦长公式及中点弦问题
例2
思维升华
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2
题型三　双曲线的综合问题
例3
思维升华
解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.
训练3
显然直线AB的斜率存在，
课堂达标
易知所求直线的斜率存在，设为k，
3x＋4y－5＝0
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
课时精练
一、基础巩固
√
1.直线y＝3x－8被双曲线x2－y2＝4所截得的弦的中点坐标是
A.(1，3) B.(－3，－1)
C.(3，1) D.(－1，－3)
√
√
设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
√
∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.
√
取B为双曲线右焦点，如图所示.
2
9.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
√
二、综合运用
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
三、创新拓展
√
√
√
易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；3.2.2　双曲线的简单几何性质
第一课时　双曲线的简单几何性质
课标要求　1.了解双曲线的简单几何性质. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
【知识梳理】
1.双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性 质 范围 __________，y∈R __________，x∈R
对称性 对称轴：________ 对称中心：________
顶点坐标 ________，________ ________，________
实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，实轴长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，虚轴长＝2b
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2c
渐近线 y＝________ y＝________
离心率 e＝________，e∈________
温馨提醒　(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
(5)由c2＝b2＋a2可得e＝＝.
2.等轴双曲线
实轴和虚轴________的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是________.
温馨提醒　等轴双曲线 a＝b e＝，渐近线方程为y＝±x.
【自测检验】
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同.(　　)
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(　　)
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.双曲线－＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
4.双曲线－y2＝1的实轴长为________.
题型一　双曲线的几何性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　根据双曲线的几何性质求方程
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)；
(3)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)；
(4)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等；
(5)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0).当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0).
训练2 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(0，2)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－x2＝1 D.y2－＝1
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线方程为____________.
题型三　求双曲线的离心率
例3 (1)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________.
(2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求双曲线离心率的三种方法：
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解.
(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
训练3 点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2分别是双曲线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2.两个正数a，b的和为5，积为6，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝________，渐近线方程为________.
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为e＝；
(2)经过点C(－，)，且与双曲线－＝1有共同的渐近线.
第一课时　双曲线的简单几何性质
新知导学
知识梳理
1.x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a　坐标轴　原点　A1(－a，0)　A1(－a，0)　A1(0，－a)　
A2(0，a)　±x　±x　　(1，＋∞)
2.等长　y＝±x
自测检验
1.(1)√
(2)×　提示　等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.
(3)√　(4)√
2.B　[由双曲线方程，知a＝4，b＝3，
∴c＝＝5，e＝＝.]
3.D　[由题意知＝，
设c＝5t(t>0)，则a＝3t，b＝4t，
故所求渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.]
4.4　[由双曲线方程，知a＝2，故实轴长2a＝4.]
题型剖析
例1　解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，
焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
迁移　解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
训练1　解　双曲线的方程化为标准方程是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4,
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
例2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)法一　∵双曲线的渐近线方程为
y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，
解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(4)易知所求双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(5)设所求双曲线方程为－＝1
(16－k>0，4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去).
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
训练2　(1)C　(2)－＝1　[(1)因为双曲线一个焦点的坐标为F(0，2)，所以c＝2.
由一条渐近线的斜率为，得＝，
而c2＝a2＋b2，
因此有
故该双曲线的方程为－x2＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1(24∵＝，则＝－1＝，
∴＝，解得k＝29，
∴所求双曲线方程为－＝1.]
例3　(1)(2，＋∞)
(2)　[(1)如图，
因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝.
又因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos 30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝.]
训练3　解　∵圆的半径r＝＝c，
∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径，∴∠F1PF2＝90°.
又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，
∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，
故|PF1|＝c，|PF2|＝c.
又∵点P在双曲线上，且在双曲线右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
课堂达标
1.D　[由题意知＝，则e2＝1＋＝，
又e>1，所以e＝.]
2.　y＝±x
[由解得或
又a>b，∴a＝3，b＝2，
∴c＝，∴e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.]
3.解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故方程为－＝1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点C(－，)的坐标代入，得－＝λ，解得λ＝，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(共60张PPT)
第3章 3.2.2　双曲线的简单几何性质
第一课时　双曲线的简单几何性质
课标要求
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.双曲线的几何性质
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(－a，0)，A2(a，0)
温馨提醒
2.等轴双曲线
等长
y＝±x
温馨提醒
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
√
√
√
由双曲线方程，知a＝4，b＝3，
√
4
由双曲线方程，知a＝2，
故实轴长2a＝4.
题型剖析
题型一　双曲线的几何性质
例1
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
迁移
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4,
思维升华
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
题型二　根据双曲线的几何性质求方程
例2
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，
思维升华
训练2
√
因为双曲线一个焦点的坐标为F(0，2)，所以c＝2.
题型三　求双曲线的离心率
例3
(2，＋∞)
如图，
不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
思维升华
训练3
课堂达标
√
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
课时精练
一、基础巩固
√
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是
√
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为
√
√
√
√
4
(4，＋∞)
4x±3y＝0
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
基础巩固
√
二、综合运用
√
32
②当双曲线的焦点在y轴上时，
三、创新拓展
√第3章　课时精练33　双曲线的简单几何性质
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
y＝±3x y＝±x
y＝±x y＝±x
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
2
2
4.(多选)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为( )
－y2＝1 y2－＝1
x2－＝1 －x2＝1
5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
6.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
7.已知双曲线C：－＝1(m>0)的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________.
8.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.
9.(15分)已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
10.(15分)已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是( )
C的方程为－＝1
C的离心率为
焦点到渐近线的距离为3
|PF|的最小值为2
12.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________.
13.(15分)已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
课时精练33　双曲线的简单几何性质
1.C　[双曲线方程可化为标准方程：x2－＝1，
∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.]
2.A　[依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，
∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.]
3.D　[法一　由离心率e＝＝，得c＝a，
又b2＝c2－a2，得b＝a，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二　离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，
由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2，故选D.]
4.AB　[由题知c＝，
设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
∴－＝1，
∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.]
5.A　[由题意，点P(2，1)在双曲线的渐近线
y＝x上，∴＝，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为－＝1.]
6.4　[由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4.]
7.(4，＋∞)　[∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
∴双曲线C：－＝1的离心率e>，e2>2，
即>2，∴m>4.]
8.4x±3y＝0　[由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)，
由此可知，双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)，
顶点为(－3，0)，(3，0)，
所以双曲线方程为－＝1，
所以渐近线方程为4x±3y＝0.]
9.解　椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5，0)，
F2(5，0)，故双曲线G的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则G的渐近线方程为
y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
10.解　由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0).
∵点A(2，－3)在双曲线E上，
∴－＝t，∴t＝－，
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，则双曲线M的标准方程为－＝1.
11.AD　[双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，
焦点坐标在x轴上，所以＝，
因为c＝5，又c2＝a2＋b2，
所以b＝4，a＝3，
所以C的方程为－＝1，A正确；
离心率为e＝＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.]
12.32　[根据题意，得双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，所以|PQ|＝12，双曲线图象如图所示.
|PF|－|PA|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.]
13.解　椭圆方程化为标准方程＋＝1，
可知c2＝64－16＝48.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
14.A　[把x＝c代入－＝1，
得y＝±.
不妨设A，B，
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即bx－ay＝0，
则d1＝，d2＝，
故d1＋d2＝＋
＝＝2b＝6，故b＝3.
又＝＝＝＝2，得a2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.]第3章　课时精练34　双曲线的方程及性质的应用
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.直线y＝3x－8被双曲线x2－y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
(1，3) (－3，－1)
(3，1) (－1，－3)
2.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是( )
x2－＝1 －y2＝1
－x2＝1 y2－＝1
3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
x2－y2＝6 x2－y2＝9
x2－y2＝16 x2－y2＝25
4.已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于( )
－12 －2
0 4
5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________.
7.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
8.若双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.
9.(15分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
10.(15分)已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a＞0).
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
4 5
6 7
12.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条.
13.(15分)设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
双曲线C的渐近线方程为y＝±x
以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
△PF1F2的面积为1
课时精练34　双曲线的方程及性质的应用
1.C　[将y＝3x－8代入x2－y2＝4，得2x2－12x＋17＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝3，纵坐标为3×3－8＝1.]
2.D　[焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.]
3.B　[设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
与y＝x联立，得x2－a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，故选B.]
4.C　[∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.故选C.]
5.B　[法一　由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，
∵双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，
∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，
故双曲线C的方程为－＝1.
法二　∵椭圆＋＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，
∴a2＋b2＝32＝9，①
∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴＝，②
联立①②可解得a2＝4，b2＝5，
∴双曲线C的方程为－＝1.]
6.y＝±x　[由题意知，e＝＝，
得＝.
又c2＝b2＋a2，所以＝.
故＝.所以＝，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
7.2　[取B为双曲线右焦点，如图所示.
∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan ＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.]
8.(0，1)∪(1，)　[将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意
∴09.解　双曲线方程可化为－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2，∴F2(2，0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝
＝×＝6.
10.解　(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
于是|AB|＝·
＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
所以
解得0＜a＜且a≠1.
又双曲线的离心率e＝＝，
所以e＞且e≠，即离心率e的取值范围是∪(，＋∞).
11.D　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，
所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，
所以mn＝9，所以c2－a2＝9.
又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.]
12.3　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，
由得y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.
当直线l的斜率存在时，
设其方程为y＝k(x－)，
由
得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.
当2－k2≠0时，
x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝＝＝4，
解得k＝±.故满足条件的直线l有3条.]
13.解　(1)由题意，知a＝2，
所以一条渐近线方程为y＝x，
即bx－2y＝0，
所以＝，
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
D(x0，y0)(x0>0)，
则由＋＝t，
得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，
所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程，
消去y得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，
y1＋y2＝x1－2＋x2－2
＝(x1＋x2)－4＝12，
所以所以
由＋＝t，得(16，12)＝(4t，3t)，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3).
14.ACD　[易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
由a＝b＝1得c＝，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误；
不妨设F1(－，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离d＝＝1，选项C正确；
由·＝0，得PF1⊥PF2，因此点P在圆x2＋y2＝2上，由得，y2＝，
∴|y|＝，
因此，S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×2×＝1，选项D正确.]

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