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3.3　抛物线
3.3.1　抛物线的标准方程
课标要求　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 3.会求简单的抛物线的标准方程.
【知识梳理】
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离____________的点的轨迹叫作抛物线，________叫作抛物线的焦点，________叫作抛物的准线.
温馨提醒　(1)抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”；“一动”即一个动点，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的焦点，和一条定直线l，即抛物线的准线；“一相等”，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离).
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
2.抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
__________ x＝－
__________ x＝
__________ y＝－
__________ y＝
温馨提醒　抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误.
【自测检验】
1.思考辨析，判断正误
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(　　)
(4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.(　　)
2.准线为x＝1的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2＝4x B.y2＝－4x
C.x2＝4y D.x2＝－4y
3.(多选)抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是(　　)
A.(4，4) B.(4，－4)
C.(2，4) D.(2，－4)
4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　抛物线的定义
例1 (1)在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　)
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.直线
(2)在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上.
2.涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意利用定义转化为到准线的距离，可简化计算.
训练1 已知点M到F的距离比它到y轴的距离大，且M的横坐标非负.
(1)求点M的轨迹方程；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若点A(m，3)在轨迹上，求点A到点F的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
(4)焦点到准线的距离为.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求抛物线的标准方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　抛物线定义的应用
例3 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　抛物线的定义可以把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线的距离，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
训练3 (1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B.2
C. D.
(2)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
2.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.
3.已知动圆M与直线x＝－3相切，且与圆(x－4)2＋y2＝1外切，求动圆M的圆心的轨迹方程.
3.3.1　抛物线的标准方程
新知导学
知识梳理
1.相等　点F　直线l
2.y2＝2px(p>0)　y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)　x2＝－2py(p>0)
自测检验
1.(1)√
(2)×　提示　由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(3)√　(4)√
2.B　[由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，＝1，即p＝2，故抛物线的方程y2＝－4x.]
3.AB　[设P点的坐标为(x0，y0)，
由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，则x0＋1＝5，x0＝4，
∴y＝16，y0＝±4，
∴P点坐标为(4，4)或(4，－4).]
4.4　[椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，
所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，
则p＝4.]
题型剖析
例1　(1)A　(2)B　[(1)设动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，
则M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线.
(2)若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件.]
训练1　解　(1)由已知得，点M到F的距离等于它到x＝－的距离，
即点M的轨迹是抛物线，且焦点为F，
则＝，p＝1，
∴点M的轨迹方程为y2＝2x.
(2)点A(m，3)在y2＝2x上，则m＝，
则A到F的距离等于到x＝－的距离，
即d＝＋＝5.
例2　解　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，
且＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝，
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
训练2　解　(1)法一　∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
法二　抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
例3　(1)A　[由题意，知抛物线的准线方程为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义，得x0＋＝|AF|＝x0，
所以x0＝1，故选A.]
(2)解　如图，作PQ⊥l于Q，
由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，
由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2，2).
训练3　(1)A　(2)(6，9)或(－6，9)　[(1)如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A，P，F三点共线且P在A，F中间时，|PA|＋|PF|取得最小值.
又A(0，2)，F，
所以(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝ ＝.
(2)设点P(x0，y0)，
由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.
由抛物线的定义，得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
所以P点坐标为(6，9)或(－6，9).]
课堂达标
1.　[抛物线方程化为y2＝－x，
所以抛物线开口向左，2p＝，＝，
故焦点坐标为.]
2.－1　[由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0).
根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即为点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，
因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.当C，Q，P，F四点共线时，取得最小值，最小值为－1.]
3.解　因为动圆M与直线x＝－3相切，且与圆(x－4)2＋y2＝1外切，
所以动圆M的圆心到点(4，0)的距离与动圆M的圆心到直线x＝－4的距离相离，
所以动圆M的圆心的轨迹是以(4，0)为焦点的抛物线，所以其轨迹方程为y2＝16x.(共56张PPT)
第3章 3.3　抛物线
3.3.1　抛物线的标准方程
课标要求
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.
3.会求简单的抛物线的标准方程.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离______的点的轨迹叫作抛物线，______叫作抛物线的焦点，________叫作抛物的准线.
相等
点F
直线l
温馨提醒
(1)抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”；“一动”即一个动点，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的焦点，和一条定直线l，即抛物线的准线；“一相等”，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离).
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
2.抛物线标准方程的几种形式
温馨提醒
抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误.
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( )
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( )
提示　由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.( )
(4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.( )
√
√
√
2.准线为x＝1的抛物线的标准方程为
A.y2＝4x B.y2＝－4x
C.x2＝4y D.x2＝－4y
3.(多选)抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是
A.(4，4) B.(4，－4)
C.(2，4) D.(2，－4)
√
设P点的坐标为(x0，y0)，
√
由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则x0＋1＝5，x0＝4，
4
题型剖析
题型一　抛物线的定义
例1
(1)在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线
√
设动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，
则M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线.
若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件.
(2)在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
思维升华
1.理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上.
2.涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意利用定义转化为到准线的距离，可简化计算.
训练1
题型二　抛物线的标准方程
例2
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
由于焦点在x轴的负半轴上，
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
思维升华
求抛物线的标准方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点(3，－4)；
训练2
法一　∵点(3，－4)在第四象限，
题型三　抛物线定义的应用
例3
√
(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
如图，作PQ⊥l于Q，
由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.7
思维升华
抛物线的定义可以把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线的距离，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
训练3
(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为
√
如图，由抛物线定义知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
(2)抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为______________.
(6，9)或(－6，9)
设点P(x0，y0)，
由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.
由抛物线的定义，
得|PF|＝y0＋1＝10，
所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.
所以P点坐标为(6，9)或(－6，9).
课堂达标
1.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为______________.
2.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.
由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为
F(1，0).
根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即为点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，
3.已知动圆M与直线x＝－3相切，且与圆(x－4)2＋y2＝1外切，求动圆M的圆心的轨迹方程.
因为动圆M与直线x＝－3相切，且与圆(x－4)2＋y2＝1外切，
所以动圆M的圆心到点(4，0)的距离与动圆M的圆心到直线x＝－4的距离相离，
所以动圆M的圆心的轨迹是以(4，0)为焦点的抛物线，
所以其轨迹方程为y2＝16x.
课时精练
一、基础巩固
√
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
A.(2，0) B.(－2，0) C.(4，0) D.(－4，0)
∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
√
法一　设动点P的坐标为(x，y).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
即(x－3y＋2)2＝0，所以x－3y＋2＝0，
所以动点P的轨迹为直线.
法二　显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
√
由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
3.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为
A.－4 B.－2 C.2 D.4
√
√
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为
√
由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
7.若抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________.
设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
y2＝12x
因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
10.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，
基础巩固
√
二、综合运用
如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
6
13.设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点.
(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
易知B在抛物线内部.如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，
三、创新拓展
14.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)抛物线C的标准方程为____________.
x2＝4y第3章　课时精练35　抛物线的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
(2，0) (－2，0)
(4，0) (－4，0)
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
椭圆 双曲线
抛物线 直线
3.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为( )
－4 －2
2 4
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
1
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
7 8
9 10
6.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
7.若抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
9.(15分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，而且与x轴垂直，又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
10.(15分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为( )
4 8
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12.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
13.(15分)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点.
(1)求点P到A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
三、创新拓展
14.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)抛物线C的标准方程为____________.
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，则点A的坐标为________.
课时精练35　抛物线的标准方程
1.B　[∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2，0).]
2.D　[法一　设动点P的坐标为(x，y).
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，所以x－3y＋2＝0，
所以动点P的轨迹为直线.
法二　显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.]
3.AD　[由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
由定义知点P到准线的距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.
将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m2＝－8×(－2)，解得m＝±4.]
4.C　[抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，
由抛物线定义，知|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，所以xA＋xB＝.所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.]
5.C　[由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.]
6.y2＝4x　[由＋y2＝1，得右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.]
7.－　[抛物线的标准方程为x2＝－y，
则抛物线的焦点为F，
准线方程为y＝，
则由抛物线定义得－yM＝1，
解得yM＝－.]
8.y2＝12x　[设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A(3，0)和到定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，
所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.]
9.解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点代入方程求得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，所以a＝，b2＝c2－a2＝，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10.解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，可得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
11.B　[如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵|PM|＝|PF|，
|PF|＝|PN|，
∴|PM|＝|PN|.
∴|MN|＝|PN|.
设P，则|t|＝＋2，解得t＝±4，
∴△PMF的面积为·|t|·|MF|＝×4×4＝8.]
12.6　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6.]
13.解　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离.
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.
显然，连接AF与抛物线的交点即为所求点P，故最小值为＝.
(2)易知B在抛物线内部.如图，
过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，
那么|PB|＋|PF|≥
|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即最小值为4.
14.(1)x2＝4y　(2)或　[(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，其准线l的方程为y＝－，
因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，
所以圆心(0，0)到准线l的距离
d＝0－＝1，解得p＝2.
故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由题意得F(0，1)，
所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1).
因为＝2，
所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.]

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