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培优专题06 导数
题型1 含参函数的单调性
一、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 二、一般性技巧 （1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． （2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. （3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
一、解答题
1．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数
(1)若，求在上的最大值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，利用导数分析函数在上的单调性，即可求出函数上的最大值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间.
【详解】（1）因为的定义域为，
，
当时，则，，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以，当时，.
（2），
①当时，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为；
②当时，对任意的恒成立，
所以，函数的增区间为，无减区间；
③当时，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数再得出再应用点斜式得出切线方程；
（2）分和两种情况分别讨论的正负，即可得出的单调性.
【详解】（1）当时，，
求导得，则，
即切线的斜率为，又，
故曲线在点处的切线方程为，
化简得．
（2）求导得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）由可得；
（2）由题意，对实数分类，，，进而可得.
【详解】（1）由于，故，
解得或．
（2）首先有．
若，则在上递减；
若，则对有，
对有．
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则对有，
对有．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()．
(1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解；
（2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性.
【详解】（1），
由题意可得，解得；
（2），，
当时，若，则，若，则，
故在上单调递增，上单调递减；
当时，若，则，
若，则，
故在、上单调递增，上单调递减；
当时，则，
故在上单调递增；
当时，若，则，
若，则，
故在和上单调递增，上单调递减；
综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减；
若，则在、上单调递增，上单调递减；
若，则在上单调递增；
若，则在、上单调递增，上单调递减.
5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线点斜式方程即可求解；
（2）对函数求导，并对a的取值进行分类讨论即可求得函数的单调性．
【详解】（1）当时，，，
设切点为，切线方程为，
因为切线过原点，所以，即，解得；
所以，因此；
即切线方程为；
（2）易知，
令，则，
①当时，，则在R上递减；
②当时，令，可得；
同理的解是，
所以在区间上单调递增，在上单调递减；
③当时令，即；同理的解是，
所以在区间上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上递减；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增．
6．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值点；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)极小值点为1，无极大值点.
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再求出导函数的变号零点即可得解.
（2）由，讨论的解的情况，进而讨论求出的单调区间.
【详解】（1）当时，函数，
求导得，
由，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值点为1，无极大值点.
（2）由，
求导得，
令，，
当时，，恒成立，，在上单调递增；
当时，，方程的解为，
若，即，则，
当时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
若，即，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间；
当时，的递增区间为和，
递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
7．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性．
【答案】(1).
(2)见解析
【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；
（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出.
【详解】（1）当，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以.
当时，，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
当时，，所以在上单调递增.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时， 在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
题型2 极值问题
一、求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
一、解答题
1．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）求导，利用导数频数函数单调性；
（2）求导，根据函数既有极大值又有极小值可转化为二次方程有两个不等的正根，结合二次方程解的情况列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知，则，，
，，
令，解得或（舍），
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增；
综上所述的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由，
则，
由函数既有极大值，又有极小值，
即有两个不等的正根，
即有两个不等的正根，分别设为，，
则
解得，
故实数的取值范围为.
2．（2025·山东菏泽·一模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不是的极值点，求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导得到在点处的切线的斜率，利用点斜式方程即可求得结果.
（2）利用取极值点的条件：函数的单调性在极值点左右两侧改变求解即可.分为、和分别讨论即可.
【详解】（1）由已知得，
所以曲线在点处的切线的斜率，
且，所以所求切线方程为.
（2）令，则，
在区间上单调递增.
(i)若，则，所以存在正数，
使得当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，故是的极值点，
(ii)若，则，所以存在正数，
使得当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减，故是的极值点.
（iii）若，则当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，单调递增，
故不是的极值点.综上，.
3．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；
(2)证明：无极值点．
【答案】(1)或;
(2)证明见解析.
【分析】(1) 利用求导来求切线斜率，利用两直线垂直其斜率之积为来得到方程，从而可求解；
(2)利用二阶导求导分析单调性和最小值，再利用求导分析最小值函数，再求其最小值，从而来判断原导函数的符号，从而确定是单调函数，所以无极小值点.
【详解】（1）求导得：，
由题可知，由直线的斜率为，
根据垂直直线的斜率之积为，所以，解得或.
当时，，此时l的方程为，化简得；
当时，，此时l的方程为，化简得.
（2）因为，令，则，
因为，所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
即的最小值为，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
即的最小值为，
所以，即恒成立，
所以在上单调递增，故无极值点.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明不等式，只需证明当时，，构造函数，利用导数与函数的单调性关系，即可证明；
（2）求出函数导数，讨论a的取值范围，结合零点存在定理说明导函数只有一个零点，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则.
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，即时，，得证.
（2），
令，
①当时，在上无极值点，不符合题意；
②当时，，即在上单调递减，且.
取，其中.
显然，，
则.
由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得.
当时，，即；当时，，即.
此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意.
综上，.
5．（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性；
（2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案.
【详解】（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减.
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
6．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若是函数唯一的极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）当时时,求得函数定义域,然后求导,在定义域上研究导函数的正负,即可求得函数的单调区间;
（2）由 是函数的唯一极值点,转化为是唯一变号零点,结合导函数解析式,转化为恒成立问题,求得a的取值范围.
【详解】（1）当时,,其定义域为,
则.
设,则,
当时,;当时,,
∴,∴,∴.
∴当时,;当时,.
因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）,
∵是函数唯一的极值点,
∴当时,恒成立或恒成立,
即或恒成立,
当时,恒成立，则恒成立，即,
令，则，
当时,，当时,,
所以在上单调递减，在上单调递增，
当趋向于时，函数，
当趋近正无穷大时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，所以,
所以函数不存在最大值，故时，不恒成立;
当时，恒成立，即，
由上分析知：在处取得最小值，
∴，即实数a的取值范围是.
故实数a的取值范围是.
题型3 最值问题
一、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
一、解答题
1．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可.
（2）利用导数按分类讨论函数在上的单调性，并求出最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
2．（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求函数在的最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性；
（2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值.
【详解】（1）由题意知的定义域为，，
①若，恒成立，所以在上单调递减.
②若，由，得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，在单调递减，在单调递增.
①当，即时，在单调递减，
当时，有最小值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，有最小值；
③当，即时，在上单调递增，
当时，有最小值；
综上：.
3．（2025·河北石家庄·一模）已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
【答案】(1)当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点
(2)1
【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论后可得函数的极值点个数.
（2）设切点为，则可得的方程组，消元后可得关于的函数，利用导数可求的最大值.
【详解】（1）由题意得
若，则在上单调递增，无极值点
若，令，得，由于是增函数.
所以时，单调递减，
时，单调递增，
故是的唯一极小值点.
综上，当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点.
（2）设切点为，
由（1）知，因为轴为的切线，则
解得，
令，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故是的唯一极大值点.
，所以的最大值为1.
4．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数（且）
(1)判断的单调性；
(2)若m，n为方程的两个根，求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；
（2）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，从而表示出，构造函数求解，即可得答案.
【详解】（1）根据题意，，
令，可得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在和上单调递减.
（2）由，，
可得，是关于的方程的两个不同的实根，
其中，得，
故，，即.
故
，
设，
，
设，
则，所以为上的增函数，
则.，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，即，
所以为上的增函数，
的最小值为，
故的最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求最小值时，要利用得到，是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，从而表示出，构造函数求解.
题型4 恒成立和有解问题
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
一、解答题
1．（23-24高三下·福建漳州·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性；
（2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围.
【详解】（1）因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点.
(1)求的值；
(2)设函数，若对，，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解.
（2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性；
（2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
4．（2025·河北保定·一模）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题得2a），
当时，，不符合题意；
当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
由
得，解得；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，
得，解得.
综上，的取值范围为.
5．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知函数和．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，，使得，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导函数可求得，进而可求得切线方程；
（2）记，利用反证法可证明，进而可得；
（3）由已知可得，令，，求导可求得结论.
【详解】（1）因为，
所以，故在点处的切线方程为；
（2）记，则，因为，故．
反证法：若，则存在，使得在单调递增，
此时，与恒成立矛盾．
同理可得，也不成立．故．
，，．
下面证明：时，．
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，
当时，因为且，
故；
当时，因为且，故．
所以，当时，对任意，恒成立．
（3）由（1）知，当时，，所以在单调递增，如图．
，
，．
，，即，，，
令，，．
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以，即．
6．（2025·江西·一模）已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；
（3）由题意可知，当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，.
（2）因为，其中，
则，
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，即当时，函数在上单调递减，
所以，，解得，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. ．
题型5 零点问题
利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。
一、解答题
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若存在两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)无极小值点；理由见解析
(2)
【分析】（1）求导，确定单调性即可判断；
（2）参编分类得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解；
【详解】（1）依题意可得，
，故，
设，则，
，
在上单调递增，
，
在上单调递增，无极小值点；
（2）令，可得，
所以与恰有两个交点，
设，则，
令可得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增
，
当时，；当时，，
的取值范围是
2．（2025·山东临沂·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为.
3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把代入，求出，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数探讨函数在上的单调性及最值，再分类讨论求出零点个数.
【详解】（1）当时，，求导得，
则，而，所以所求切线方程为，即.
（2）依题意，，
当时，；当时，，函数在上递增，
在上递减，，
当，即时，恒成立，此时在上无零点；
当，即时，，，在上无零点，
，在上有一个零点，则在上有一个零点；
当，即时，，
函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点；
当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点；
当，即时，恒成立，此时在上无零点，
所以当或时，在上无零点；
当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点.
4．（2024·湖北荆州·模拟预测）函数.
(1)若均有极值且极值互为相反数，求的值；
(2)若有两个零点，求证：当时，.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）通过求导分析函数单调性来确定极值情况，再根据极值之和为求解的值；
（2）先根据（1）结论确定的范围，然后通过一系列变形和换元，构造新函数，利用导数判断新函数单调性来证明不等式.
【详解】（1）
①当时，由知，从而
在分别递增、递减，无极值，不符合题意；
②当时，令得，当时，递减；
当时，递增，故有极小值
当时，令得，当时，递减；
当时，递增，故有极小值
，故.
（2）由（1）知，时在递增，不可能有两个零点，故
，所以，
故只需证.
由已知，设，则，两式相减得
，
要证只需证，
不妨设，即证
设，即证，令
则，故在递增，
，故当时，.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，讨论导数正负；③写出单调区间，并判断极值点.
5．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围;
(2)若，求证：有且只有1个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，令，利用导数可得，进而可得，令，利用导数求得即可；
（2）求导得，分，，三种情况讨论中可证得结论.
【详解】（1）由可得，
设，，，
当时，当时，，
所以在上单调调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以等价于，
设，，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
故实数a的取值范围为；
（2），
当时，，，
所以在上单调递增，又，，
由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，
故此时有1个零点.
当时，当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因，当时，
，
取，则，且，
由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，
故此时有1个零点.
当时，当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
由于，所以，所以，
所以，所以
又，，
由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点，
故此时有1个零点.
综上可知，当时，有且只有1个零点，得证.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
6．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调区间；
(2)若直线为的切线，求a的值.
(3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性；
（2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解；
（3）根据导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围．
【详解】（1）由，，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在单调递增，无单调减区间；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增.
（2）设切点为，依题意，，所以，
又，代入可得，，
设，
则，所在单调递增，
因为，所以，.
（3），，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，，
，
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；
②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
综上，a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是将切线与曲线有且只有一个公共点转化为仅一个零点，利用导数求解.
题型6 极值点偏移问题
一、常规方法 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 二、其他方法 1、比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 2、对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3、指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
一、解答题
1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，
故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，
即在上递减，故，
所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
2．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分别解不等式，即可；
（2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
解得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围为．
（2）不妨设，则由（）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即．
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）设，借助导数研究其单调性即可得；
（3）结合（2）中所得可得，可将所需证明内容转化为证明，等价于证明，构造函数，结合其单调性只需证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证.
【详解】（1），，，
所以在处的切线方程为，
即；
（2）由可知，，，
即在上恒成立，
设，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以时，取得最小值，最小值为，
由题意知，即，故的取值范围为；
（3）方程有两实数解，，
即有两实数解，不妨设，
由（2）知方程要有两实数解，则，即，
同时，，，
，
则，在单调递减，
欲证，即证，，
等价于，即，
等价于，
整理得①，
令，①式为，
又在单调递增，
故①式等价于，即，
令，，
当时，，在单调递增，
又，，即，
所以，则.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明.
4．（2024·山东日照·二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知；
（2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论.
【详解】（1）由题意得：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：.
（2）由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；
，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，
，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围；
（2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案.
【详解】（1），则，
令，得，
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此．当时，，当时，，
作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点，
则，故的取值范围为．
（2）因为是函数的两个极值点，所以．
由（1）知，不妨设，
要证，即证，
只需证，显然．
由（1）知当时，单调递增，所以只需证，
而，所以即证．
设，
则，
当时，单调递减，所以当时，，
所以当时，，原不等式得证．
【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解.
6．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到；
（2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明.
【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
题型7 隐零点问题
一、隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 二、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
一、解答题
1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数
(1)探究在定义域内是否存在极值点；
(2)求在定义域内的零点个数.
【答案】(1)存在极大值点
(2)0
【分析】（1）求导，分析可知在区间上单调递减且存在零点，进而可得的符号以及的单调性，结合单调性分析极值；
（2）根据（1）结合零点代换可得，再根据对勾函数性质即可得结果.
【详解】（1）由题意可得：，
因为函数和在上单调递减，可知在区间上单调递减.
且，，
可知存在，使得，即，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以在定义域内存在极大值点.
（2）由（1）可得：
，
即，
由对勾函数的性质可得在区间上单调递增，且，
可知，即，
故的零点个数为
2．（24-25高三上·湖北·期中）设函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)判断并证明函数在区间上零点的个数.
【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)函数在区间上有2个零.，证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后根据导数的符号可得函数的单调性；
（2）根据（1）中函数的单调性可得函数在区间上存在唯一的零点，设，根据三角函数的性质可得判断出，故结合零点存在定理可判断在上的单调性，再结合零点存在定理可判断零点的个数.
【详解】（1），且.
当时，，，
从而，
即此时函数在区间上单调递增；
当时，，，
从而，
即此时函数在区间上单调递减.
∴综上所述，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2），又，且函数在区间上单调递减，
∴函数在区间上存在唯一的零点.
当时，记，
从而，且此时，，
∴，在区间上单调递增.
，，∴存在，使得
且时，，即此时在区间上单调递减；
时，，即此时在区间上单调递增.
∴由，得，
即函数在区间上无零点；
而由，，
即函数在区间上有唯一的零点.
∴函数在区间上有2个零点.
【点睛】思路点睛：函数零点问题，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断零点个数.
3．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，，其中．
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)求函数的零点；
(3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的取值范围是
【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义可求得曲线在点处切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点；
（3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，，
此时曲线在点处切线的方程为，即.
（2）函数的定义域为，且，
当时，，则；当时，，则，
所以函数在上为增函数，
又因为，故函数有且只有一个零点.
（3）函数的定义域为，
由（2）知，当时，，
又，所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，，且.
下面考虑，当时，恒成立，
①若，当时，，
故，在递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，
存在，使得，
根据余弦函数的单调性可知，在上递增，
故当，，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
且当时，，合乎题意，
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知
(1)讨论的单调性;
(2)当时，证明对于任意的成立.
（参考数据：）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（2）记，转化为，利用即可证明.
【详解】（1），
由，可得或，
①当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增；
②当时，，
当时，，
所以在单调递增．
③当时，，
当时，；当时，，
所以在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由知，时，，
，
记，
①当时，由得，
即，
记，则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为在上单调递减，
所以
，
又，当时，
，即，
对于任意的成立.
【点睛】关键点点睛：解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.
5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数，直线l为曲线在点处的切线.
(1)当时，求出直线的方程；
(2)若，求的最值；
(3)若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值为，无最大值
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）对求导，利用导函数的正负判定的单调性，进而求出最值即可；
（3）求出直线，将“直线与曲线相交”转化为关于的方程在有解，然后通过构造函数，对进行分类讨论，结合导数可求得结果.
【详解】（1）由题意可得，
所以曲线在点处的切线斜率，
切线方程为，整理得，
所以当时，直线的方程为.
（2）因为，，则，
由解得，由解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，无最大值.
（3）由（1）得切线的方程为，
因为直线与曲线相交于点，且，
所以关于的方程在有解，
令，则，
令，则，
①当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
当时，，则，
所以在上单调递增，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
所以符合题意；
②当时，由，得，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上无零点，所以不符合题意，
综上，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性.
6．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间.
（2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围.
（ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
由，所以.
故单调递增区间为.
（2）（ⅰ），令，即
令，，则是方程的两个正根，
则，即，
有，，即.
所以的取值范围为：.
（ⅱ）
令
则．
令，则，
则在上单调递减，
又
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减
则，
又，故
即.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解.
题型8 导数与不等式证明
一、利用导数证明或判定不等式问题 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
一、解答题
1．（2025·山东青岛·一模）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；
（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.
【详解】（1）当时，，，
则，
当或时，；
当时，，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由，，得，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为且，因为函数在时的图象关于轴对称，
所以，即，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
又，即，
则，
又，则，，
设，，
则，即函数在上单调递减，
所以，即.
2．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数有两个零点.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，根据函数有两个零点，可得出关于实数的等式，结合即可求得的值；
（2）分、两种情况讨论，在时，结合不等式的性质验证即可；在时，设，满足，则原不等式等价于，令，利用导数分析函数的单调性，即证，通过构造函数证明即可.
【详解】（1）因为，
则，
由于，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为、，减区间为，
因为函数有两个零点，则或，
解得或（舍），故.
（2）当时，，
结合函数单调性知，当时，，，，
此时不等式成立.
下面证明时的情况，设，满足，
则原不等式等价于.
考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性：
令，
则，故在上单调递减，.
，
故只需证，令，
当时，，故在上单调递减.
所以，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．（2025·江西·二模）已知函数．
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：；
(3)设，是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意得恒成立，参变分类，结合二次函数的性质求最值即可；
（2）求导，确定其单调性得到，构造函数，求导确定其单调性得到，即可求证；
（3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围是,
（2）若，，所以，
令，解得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
令，，所以，
令，解得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又等号不同时成立，
所以.
（3）由题意可知，
因为有两个极值点，，
所以，是方程的两个不同的根，
则
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证.
令，则证明，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，，.
(1)证明：.
(2)讨论函数在上的零点个数.
(3)当，时，证明：，.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值得解，
（2）求导，对分奇偶，根据函数的单调性求解，
（3）根据（2）的结论可得，将问题转化为证明，根据（1）的结论可得，即可利用对数的运算性质化简求解.
【详解】（1）因为，，所以.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而，则.
（2）因为，，
所以，
当时，，当时，，
故，
当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减，
因为，，所以在上的零点个数为1.
当为偶数时，，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而，
所以在上的零点个数为0.
综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1，
当为偶数时，在上的零点个数为0.
（3）由（2）可知，当，时，
要证，，
即证，
即证，
即证，
即证.
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立.
令，可得，
故
从而，.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
5．（2025·山东淄博·一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：时，；
(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．
【答案】(1)的增区间为，减区间为.
(2)见解析
(3)整数的最大值为．
【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间；
（2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明.
（3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解．
【详解】（1）函数的定义域是，，
当时，；当时，．
所以，的增区间为，减区间为.
（2）要证时，，即证在恒成立，
令，，
，
令，，
当时，，，
所以在上单调递减，所以，
则，所以在上单调递减，
所以，所以，
综上，时，；
（3）不等式等价于不等式，
由可得：，
设，，
则，
设，函数的定义域是，
，
设，则，
令，则，
时，，在上为增函数，
时，，在上为减函数，
∴在处取得极大值，而，
∴，函数在上为减函数．
于是当时，，当时，，
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故函数的增区间为，减区间为，
所以，所以，即
∴，，于是在上为减函数，
故函数在上的最小值为，
所以，所以整数的最大值为．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
题型9 导数与数列
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）由函数的图象与x轴相切，可计算求出切点，代入函数即可求出a的值.
（2）计算及的解，求出函数的单调区间，从而计算的最大值，可证明结果.
（3）借助（2）可知，构造当时，有，取倒数结合放缩法可得，从而得出，两边求和即可得证.
【详解】（1）函数的图象与x轴相切，则得代入可得.
（2），则，
则得，得
所以在上单调递增，在上单调递减，
得证.
（3）由（2）知，当时，，，即当时，，又当时，，，所以，
所以，即，，得证.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，解答时应该注意：
数列是特殊的函数，它的图像是一群孤立的点，
转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，往往被忽略.
利用函数的方法研究数列中的相关问题，应准确构造相应的函数，注意数列中相关条件的转化.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)当时，数列满足：.求证：的前项和满足.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导，进而分，，三种情况讨论求解即可；
（2）利用导数分析易得函数在上单调递增，可得当时，，进而得到，，构造函数，利用导数分析易得，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可.
【详解】（1）由，，
则，
当时，，令，得，
所以函数有唯一极值点；
当时，令，即，
由于，设方程的两根为，
则，所以，
所以函数有唯一极值点；
当时，令，即，
当，即时，设方程的两根为，
则，，
所以函数有两个极值点；
当，即时，方程无解，
所以函数无极值点.
综上所述，当时，函数有唯一极值点；
当时，函数有两个极值点；
当时，函数无极值点.
（2）当时，，，
则，
所以函数在上单调递增，
当时，，
由，可得，
所以，则，，
可得，所以.
设，，则，
所以函数在上单调递减，
所以，则，
所以
，
所以，
则，
所以，
则.
综上所述，.
【点睛】本题第二问关键在于构造函数，利用导数分析易得，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可.
3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知.
(1)求证：当时，；
(2)设.
（ⅰ）求证：数列为递减数列；
（ⅱ）求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式；
（2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证.
（ⅱ）由题意结合，得，利用（1）可得，从而有，结合放缩法可得，又由（ⅰ）知，，即可证得结果.
【详解】（1）由得，
令，则
当时，，所以函数在上单调递增，
又∵，∴，
∴在上单调递增，
∵，∴.
（2）（i）由题意可得：，
令，，即.
令，，
∵，
∴在上单调递减，
∵，∴，
∴，，
∴为递减数列；
（ⅱ）由（i）可知，，
∵，
∴，
由（1）可知，当时，，即，
当时，，
∴,
∴.
又，
∴.
【点睛】关键点点睛：利用导数证不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
4．（2025·江西·一模）已知函数是区间上的可导函数，数列满足，若点与所在直线的斜率存在，且与的图象在处的切线斜率相等，则称为的“—和谐数列”.
(1)若，，是的“1—和谐数列＂，且，求；
(2)若，.
①判断在上的单调性；
②若是的“—和谐数列”，且，求证：.
【答案】(1)
(2)①单调递增；②证明见解析
【分析】(1)根据两点求斜率和求导求斜率，列出等式求出，根据等比数列定义和通项公式求；
(2)①对求导，利用导数求单调性即可；②通过和谐数列定义得出，设，对其求导分析单调性，设对其求导分析即可得结果.
【详解】（1）由题意，得与所在直线的斜率为，
，的图像在处的切线斜率为，
所以，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，.
（2）①因为，，所以，
设，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以，即在上单调递增，且，
所以在上单调递增.
②证明：因为是的“—和谐数列”，所以，
设，则，
，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
设，，则，
所以，
令，则
由①知，且在上单调递增，
，所以，所以单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
取，得.
又，，在上单调递增，
所以，即，
所以.
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点.
(1)证明：；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，数列满足，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2);
(3)证明见解析.
【分析】（1）应用导数研究的区间单调性，结合零点个数有，即可证结论；
（2）由，设且，进而得到，则，再利用导数求右侧的最大值即可；
（3）构造并应用导数研究其单调性，进而有且，进一步得到，最后应用累加及等比数列前n项和公式证明结论.
【详解】（1）由题设，的定义域为，且，
由，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且趋向于0或正无穷时，均趋向于负无穷，
要使有2个零点，只需，得证；
（2）由已知，，设，由，则，
将代入，则，结合，
所以，
设，则，
设，则，，
由，则，即在上单调递增，，
所以，则在上单调递增，则，
所以的最大值；
（3）由题意，
设，所以，
对于，则，显然有，有，
在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故，
所以在上单调递增，
所以，，，依此类推有，
从而，整理得，
当时，，则（当且仅当时取等号），
所以
，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用导数研究的单调性，进而得到为关键.
题型10 导数中的新定义问题
导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
一、解答题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用给定定义求解特殊点处的曲率即可.
（2）利用给定定义将目标式表示为一元函数，再不断换元，转化为三次函数最值问题，利用导数得到最值，进而求解取值范围即可.
【详解】（1）因为，所以，
，故，，
由曲率公式得.
（2）因为，所以，
，由曲率公式得，
故，
则，
令，令，函数化为，
令，则，函数化为，
对进行变形，得到，
令，函数化为，
此时，我们研究的范围即可，而，
当时，恒成立，故在上单调递增，
而，，
故，即，故.
2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
【答案】(1)，说明见解析
(2)
(3)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据“偏导函数”的定义求解即可；
（2）求出，再将带入即可求值；
（3）（i）先求出包络线，再构造函数，利用导数研究的单调性，进而可知的最值，进而可证明；
（ii）对求导，令得到的极值点和极值，令，求出的极值点和单调性及最值，由题知的最大值与的最大值等价，进而求出的值；再利用导数研究的单调性和最值，进而可以证明与有且仅有一个公共点.
【详解】（1）；
，；
，.
，为常数.
（2），
故：.
（3）（ⅰ）令，则：.
由于在上，故：，①
由于取极值，故：，即：，②
由①②消去得：.
下试证：，
即证：.
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，故：.
（ⅱ），令：
，令：，
，令：
当时，单调递增，
当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价.
，当且仅当时，.
又，，令：或.
当时，单调递减，
当时，单调递增.
.
当且仅当时等号成立.
与有唯一公共点.
【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念；
2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.
3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围.
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究.
4．（24-25高三上·山西阳泉·期末）如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可.
（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.
（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案.
【详解】（1）由，得.
由题意可得所求面积.
令，则是常数）
所以，
即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.
（2）令，可得（是常数），
所以，
要证，只需证，
令，
当时，，
所以在上单调递减，所以当时，，
所以，即.
（3）由（2）得，当时，.
因为，所以.
即.
所以.
.
.
.
累加可得
，
即，
所以.
【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案.
5．（24-25高三下·湖北·阶段练习）意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明；
（2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可；
（3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明.
【详解】（1）证明：①；
②.
（2）构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.
6．（2025·辽宁·模拟预测）给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）.已知函数.
(1)记为在处的阶帕德逼近，判断函数的单调性；
(2)，求的取值范围；
(3)求证：（为自然对数的底数）.
【答案】(1)在区间内单调递增
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，根据，列方程组即可求解，即可求的单调性；
（2）令，利用导数研究单调性即可求解；
（3）由（1）可知当时，，得，由（2）可知当时，得，即，令，化简有，令，要证，即证即可.
【详解】（1）由题意得，
，由，得，
所以，则，由，得，
所以，由，得，则，
故，则，
所以在区间内单调递增.
（2）依题意得在区间内恒成立.
令，注意到，则，
因为在区间内恒成立，所以，使在区间内单调递减，
即当时，，故，则.
当时，.
令0），则，
因为，所以在区间内单调递减，则，
故在区间内单调递减，则，
所以，符合题意.
所以的取值范围是.
（3）证明：由（1）可知当时，，
即，整理得，
由（2）可知当时，，则.
综上，当时，.
令，得，即.
令，则，
故要证，即证.
因为，所以，
由，可知，
又，
所以
，
故，得证.
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
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