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大题预测01（A组+B组+C组）
【A组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）若，当时，证明：．
（2）若，证明：恰有一个零点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.
【解析】（1）证明：因为，所以，．................................2分
当时，，则在上单调递增，
所以当时，．....................................................5分
（2）．
令，则．............................7分
令，则．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，....................................................10分
所以，所以，
则在上单调递增．....................................................12分
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．........................................13分
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合题意即可求解；（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为、，设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜，则X的可能取值为3，4，5，利用独立事件的乘法公式计算即可求解.
【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，
由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，....................................2分
所以，
故比赛开始，甲先得一分的概率为.....................................................6分
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为、，...................................8分
设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜，
根据比赛规则，X的可能取值为3，4，5，....................................................10分
所以，
，....................................................13分
故甲获胜的概率.....................................................15分
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）过点作，求出，利用勾股定理即可证明；
（2）根据（1）中的结论建立空间直角坐标系即可求解.
【解析】（1）过点作，
由等腰梯形易知，....................................................2分
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，....................................................4分
因为，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；....................................................6分
（2）因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，....................................................8分
所以，，，
所以，，，....................................................9分
设平面的法向量，
所以，令，所以，
同理可得平面的法向量，....................................................11分
所以二面角的余弦值绝对值为，......................................13分
所以二面角的正弦值.....................................................15分
18．（17分）
设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）已知点，直线，分别与C交于点C，D．
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.
【分析】（1）根据通径的定义求出得解；（2）①设直线方程与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，同理可得和的坐标关系，设与x轴交于点G，同上面方法可求得为定值；②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【解析】（1）由题意通径长，，的方程为．....................................................3分
（2）①设直线方程为，
，，，，....................................................5分
联立，
，，且，....................................................8分
同理，可得，，，...................................11分
设与x轴交于点G，同上方法可得，
直线过定点；....................................................14分
②，
当且仅当时取“”． ....................................................17分
19．（17分）
若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
（1）求的最大值；
（2）当时，均有，求满足条件的的个数；
（3）对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，（注：，，）.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
【答案】（1）140；（2）42；（3）证明见解析
【分析】（1）根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求的答案；
（2）由题可得出，由此结合排列组合的知识，即可求得答案；
（3）由题意可知，不妨取一个闭环函数，然后结合“m阶闭环函数”的定义，
证明该函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数，即可证明原命题.
【解析】（1）由题意得
，....................................................3分
当且仅当时取等号，
即的最大值为140；....................................................5分
（2）由题意知，
从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，...........................................7分
然后剩余的两个数全排列，故共有个满足条件；..........................................9分
（3）证明：以下面表格作为的函数关系：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 6 7 4
，
故为3阶闭环函数；....................................................13分
又，
故也为4阶闭环函数，
故原命题得证. ....................................................17分
【B组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；
（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.
【解析】（1）.....................................................1分
由题意，解得，....................................................3分
所以，，
在处的切线方程为....................................................5分
（2）.
①当时，，在上单调递增. ....................................................7分
②当时，由得，....................................................8分
在上的变化情况如下表：
x
0 0
极大值 极小值
由上表可得在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增. ....................................................12分
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为和，减区间为.................13分
16．（15分）
现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
（1）求；
（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.
（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果.
【解析】（1）,,,....................................................3分
（2），....................................................6分
....................................................9分
.
该球是甲工厂生产的概率为.....................................................13分
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．
（1）证明：平面；
（2）若与平面的夹角为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先证明平面，从而得到，即可证明平面；
（2）设等腰梯形的高为，用向量法求出平面的法向量，利用空间向量的数量积表示直线与平面所成角的正弦值，从而解得的值，再用棱锥的体积公式即可得到答案.
【解析】（1）证明：由题可知，平面，平面，
平面．....................................................2分
又平面，平面平面，．....................................................4分
又平面，平面，平面．....................................................6分
（2）以为原点，平面内垂直于的直线为轴，所在直线为轴，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设等腰梯形的高为，
则，，，，，
则，，....................................................8分
设为平面的法向量，
则，即，
令得为平面的一个法向量．....................................................10分
又，则可得直线的一个平行向量，
设为与平面的夹角，
由，解得．....................................................13分
．....................................................15分
18．（17分）
已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）分析条件，求解方程即可.
（2）找到斜率不存在的情况，容易证明，再求证斜率存在的情况即可.
【解析】（1）因为，所以，....................................................1分
双曲线的一条渐近线为，
因为双曲线的右顶点为，设右顶点到浙近线的距离为，
由题意得解得....................................................3分
则的标准方程为.....................................................4分
（2）①当，即时，设点，
代入双曲线方程得，，解得，
取第二象限的点，则，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，解得，即，....................................................6分
因为直线是的角平分线，且.，所以直线的斜率为，
直线的方程为，令，解得，即，
此时，即是的中点；....................................................8分
②当时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程消去得，
由韦达定理得，，
又因为，所以，，点，
又因为，所以， ....................................................11分
由题意可知，直线的斜率存在，设为，则直线：，
因为是的角平分线，
所以，所以，
又因为，，
所以，即，
即，得或，
由题意知和异号，所以，
所以直线的方程为，....................................................14分
令，可得，即，所以，
直线的方程为，令，可得，
即，所以，
所以，即是的中点.
综上，是的中点. ....................................................17分
19．（17分）
已知集合（），对于，，定义A与B的差为(，，…，)；A与B之间的距离为=++…+．
（1）若写出所有可能的A，B；
（2），证明：；
（3），证明：三个数中至少有一个是偶数．
【答案】（1）； ；； .
（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）由题意结合新定义可直接得解；
（2）先证明、时，均有，由新定义运算即可得证；
（3）设，，，由（2）可得，，，设是使成立的的个数，即可得，由此可证得结果..
【解析】（1）由题意可得，所有满足要求的，为：
，；，；
，； ，. ....................................................4分
（2）证明：令，，，
对，
当时，有；....................................................6分
当时，有.....................................................8分
所以
.....................................................10分
（3）设，，，
，，，记，
由（2）可知: ，
，，
所以中1的个数为，
中1的个数为.....................................................14分
设是使成立的的个数，则.
由此可知，，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中至少有一个是偶数. ....................................................17分
【C组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由给定条件求出的导数，进而求得切线斜率即可得解；
（2）分离参数得，设，利用导数得，可得a的取值范围.
【解析】（1）当时，，，....................................................1分
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为；....................................................3分
（2），由，得，
设，则，
令，得，....................................................7分
则时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，....................................................10分
故，故,
即实数a的取值范围为.....................................................13分
16．（15分）
某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
（1）求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
（2）若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】（1）；（2）应该选择学生，理由见解析
【分析】（1）根据离散型随机变量以及古典概型的概率公式，结合概率乘法公式，可得答案；
（2）根据数学期望以及方差的意义，可得答案.
【解析】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；....................................................2分
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.....................................................6分
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为
.....................................................8分
（2）由（1）知，，
；....................................................10分
而，
..............................14分
因为，<．所以应该选择学生．..............................................15分
17．（15分）
如图，在中，分别为边上一点，且，将沿折起到的位置，使得为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点（异于端点），且二面角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【分析】（1）连接交于点，利用线面平行的判定推理即得.
（2）由已知证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法列式计算即得.
【解析】（1）连接交于点，连接，
由，得，
在中，由，得，....................................................3分
于是，则，，
而又平面平面，所以平面．............................................6分
（2）由平面，得平面，
又平面，则，
又，因此，直线两两垂直，....................................................8分
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
，....................................................10分
设，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，..................................12分
设二面角的大小为，
则，解得或，........................14分
所以或．....................................................15分
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据离心率和四边形面积得到方程组，求出，，得到椭圆方程；
（2）设，，，设过点且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据结合求出，求出以M为切点的椭圆C的切线方程为，同理得到以N为切点的椭圆C的切线方程，得到直线的方程为，直线过定点.
【解析】（1）由题可得，即，，得．①
又，即，②....................................................3分
由①②可得，，
所以椭圆C的方程为：．....................................................5分
（2）设，，，
由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，.............................................6分
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
联立方程得，
，
整理得，即，..................................9分
在椭圆上，
，即，，
，即，
，解得，
（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）
过点且与椭圆相切的直线方程为：，.....................................12分
，即，
整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为，
同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为，....................................................14分
又两切线均过点P，故，且，
整理化简得，且，
点，均在直线上，
直线的方程为，直线过定点．..........................................17分
19．（17分）
若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；
（1）在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；
（2）若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值；
（3）设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.
【答案】（1）①是“数列”，不是“数列”；②是“数列”也是“数列”；（2）；（3）证明见解析
【分析】（1）列举出①②中两个数列，结合“数列”、“数列”的定义判断可得出结论；（2）分、、三种情况讨论，在第一种情况下，利用不等式的基本性质结合“数列”的定义验证即可，在第二种情况下，推导出的符号交替变化可得出结论，在第三种情况下，利用反证法推出矛盾，综合可得结果；（3）设的周期为，假设不是“数列”，利用反证法推出矛盾，可证得对任意，都有为常数列，由此可证得结论成立.
【解析】（1）对于①，，，，
则数列的各项分别为：、、、、、、，
所以，，且，
故数列是“数列”，不是“数列”； ....................................................2分
对于②，，，
则数列的各项分别为：、、、、、，
当时，，此时，数列是“数列”，也是“数列”. .....................................4分
（2）①若，则且，合题意. ....................................................6分
③若，则且.
因为，所以数列的符号正负交替变化.不合题意. ..................................8分
④若，首先，数列中不可能出现连续两项为.
（否则前一项为，依此类推，之前各项均为，不合条件）
假设是“数列”，则存在，对任意，都有或都有.
若都有，则，，出现矛盾；
若都有，则，，也出现矛盾；
故不是“数列”.
综上，.....................................................11分
（3）设的周期为（注意，不能确定，感觉是对的，似乎很难证.）
由题，存在和，对任意和，有，单调不减.
假设不是“数列”，则存在，使得.
以下推导矛盾：
对任意，数列是周期数列，必有最大值，设是最大值，其中.
一方面，因为的周期为，
所以存在，使得.....................................................14分
另一方面，，与矛盾.
所以假设不成立，即对任意，都有为常数列.
所以是“数列”. ....................................................17分
21世纪教育网(www.21cnjy.com)大题预测01（A组+B组+C组）
【A组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）若，当时，证明：．
（2）若，证明：恰有一个零点．
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求二面角的正弦值．
18．（17分）
设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）已知点，直线，分别与C交于点C，D．
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
19．（17分）
若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
（1）求的最大值；
（2）当时，均有，求满足条件的的个数；
（3）对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，（注：，，）.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
【B组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
16．（15分）
现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
（1）求；
（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．
（1）证明：平面；
（2）若与平面的夹角为，求四棱锥的体积．
18．（17分）
已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.
19．（17分）
已知集合（），对于，，定义A与B的差为(，，…，)；A与B之间的距离为=++…+．
（1）若写出所有可能的A，B；
（2），证明：；
（3），证明：三个数中至少有一个是偶数．
【C组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
16．（15分）
某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
（1）求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
（2）若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
17．（15分）
如图，在中，分别为边上一点，且，将沿折起到的位置，使得为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点（异于端点），且二面角的正弦值为，求的值．
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．
19．（17分）
若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；
（1）在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；
（2）若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值；
（3）设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.
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