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2025 届江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学高三下学期一模
适应性练习数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 5 6 < 0}, = { ∈ || 1| ≤ 1}，则 ∩ ( ) =( )
A. {0,1,2} B. {3,4,5}
C. { |0 ≤ ≤ 2} D. { | 1 < < 0 或 2 < < 6}
2.已知非零向量 、 和实数 ，那么“ = ”是“| | = | | + | |”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件 D. 必要而不充分条件
3.已知数列{ }, { }中， 1 = 2, 1 = 6, +1 = 2 , +1 = 2 ，若 = ，则 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3√ 2
4.若 为锐角，且cos cos ( ) = ，则tan 的值为( )
4 10
1 2
A. B. C. 1 D. 2
3 3
6
5.设(2 2
17
) = 0
0 + 1
1 + 2 + + 62 6 ，则 0 + 1 + 2 + + 6 =( )
A. 21 B. 64 C. 78 D. 156
2
6.已知函数 ( ) = 3 3 + 2，且 ( 2 ) + (3 4) > 2，则实数 的取值范围是( ) +1
A. ( 4,1) B. ( ∞, 1) ∪ (4, +∞)
C. ( ∞, 4) ∪ (1, +∞) D. ( 1,4)
7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大
衍历》发明了一种近似计算的方法— —二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张
隧晚了上千年)：函数 = ( )在 = 1， = 2， = 3( 1 < 2 < 3)处的函数值分别为 1 = ( 1)， 2 =
( 2)， 3 = ( 3)，则在区间[ 1, 3]上 ( )可以用二次函数来近似代替： ( ) = 1 + 1( 1) +

( 2 1 3 2 12 1)( 2)，其中 1 = ， = ， = ，若令 = 0， = ， = ，请依据上述 2 1 3 2 1 2 2 32 3 1

算法，估算sin 是( )
5
2 3 16 24
A. B. C. D.
5 5 25 25
8.已知函数 ( ) = 1, ( ) = ( 1 2 )( + + 2)，对任意 ∈ [1, +∞)，都有
( ) < 0，且存在 0 ∈ ( ∞, 1)，使得 ( 0) > 0，则实数 的取值范围是( )
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1
A. (1, ) B. ( 1 , )

1 1
C. ( 1 , 3 ) D. ( , )

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. , , 表示三个随机事件，判断下列选项正确的是( )
A. 已知 ( ) > 0, ( ) > 0, ( ∣ ) = ( )是事件 与事件 相互独立的充要条件
B. 已知 ( ) > 0, ( ) > 0，则 ( ) = ( ) + ( )
C. 已知 ( ) > 0, ( ) > 0, ( ∪ ) = ( ) + ( )是事件 与事件 互斥的充要条件
D. 已知 ( ) > 0，则 ( ) = ( ) ( ∣ ) ( ∣ )
10.下列结论正确的是( )
2
A. 若随机变量 (9, )，则 (3 + 1) = 18
3
B. 经验回归方程 = 3 + 1相对于样本点(2,6.5)的残差为0.5
C. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 1， 2和
2
1，
2
2，若 1 =
1
2，则总体方差
2 = ( 21 +
2)
2 2
D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
11.如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为菱形，∠ = 60
, = 1 = 2， 为 1的中
点，点 满足 = + 1 ( ∈ [0,1], ∈ [0,1])，则下列结论正确的是( )
1
A. 若 + = ，则四面体 1 的体积为定值 3
B. 若 1 = √ 5，则点 的轨迹为一段圆弧
C. 若 的外心为 ，则 1 1 1 为定值2
1
D. 若 = 1且 = ，则存在点 在线段 1 上，使得 + 的最小值为√ 9 + 2√ 10 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用半径为 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形
的圆心角 = ．
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2
13.已知函数 ( ) = sin( + )的部分图象，如图所示，其中 > 0, > 0, < < 0，若 = 4
2
，则
1
= ．
2 2
14.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1和 2，以 的实轴为直径的圆记为 ，过点 1
3
作 的切线 ， 与 的两支分别交于 ， 两点，且cos∠ 1 2 = ，则 的离心率的值为 ． 5
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln 1， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) 为正整数，当 = 1时，曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线记为 ，直线 与 轴交点的纵坐标记为 ，
2 5
证明： 1 + 2 + 3 + + ≤ ． 2
16.(本小题12分)
2 1
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，其中 = 1，cos = ．
2
(1)求角 的大小；
sin∠
(2)如图， 为 外一点， = ，∠ = ∠ ，求 的最大值．
sin∠
17.(本小题12分)
如图，已知四棱台 1 1 1 1中， = 3 1 1， // ， ⊥ ， = 6， = 9， = 6，
且 1 = 1 = 4， 为线段 1中点，
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(1)求证： //平面 1 1；
32√ 3
(2)若四棱锥 1 1的体积为 ，求平面 3 1 1与平面 1 1夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 和路线 .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统
1
计发现，前一天选择路线 的居民第二天选择路线 和路线 的概率均为 ；前一天选择路线 的居民第二天
2
3 1 1 2
选择路线 和路线 的概率分别为 和 .已知居民第一天选择路线 的概率为 ，选择路线 的概率为 ．
4 4 3 3
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 散步的人数为 ，求 的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第 天选择路线 的概率为 ．
( )请写出 +1与 ( ∈
)的递推关系；
16
( )设 = 4，求证： 1 <
1 + 2 + + < ( ∈ )．
|15 9| 4 2 3 +1 4
19.(本小题12分)
已知抛物线 : = 2，过点 (1,2)的直线与抛物线 交于 , 两点，设抛物线 在点 , 处的切线分别为 1和 2，
已知 1与 轴交于点 , 2与 轴交于点 ，设 1与 2的交点为 ．
(1)证明：点 在定直线上；
(2)若 面积为√ 2，求点 的坐标；
(3)若 , , , 四点共圆，求点 的坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 6
12.【答案】
3

13.【答案】
3
√ 13
14.【答案】
2

15.【答案】解：(1)由题设 ′( ) = 1 = 且 > 0，

当 ≤ 0时， ′( ) < 0，此时在(0, +∞)上 ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) < 0时 > ， ′( ) > 0时 < ，
所以在(0, )上 ( )单调递增，在( , +∞)上 ( )单调递减；
综上， ≤ 0时， ( )在(0, +∞)上单调递减；
> 0时， ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减；
1
(2)由题设 ( ) = ln 1，则 ′( ) = ，

1
则 ( ) = ln 1， ′( ) = 1，

1
此时在( , ln 1)处的切线方程为 (ln 1) = ( 1)( )，

与 轴交点纵坐标为ln 2；
所以 1 + 2 + 3 + + = ln1 + ln2 + + ln 2 ，
1
对于 = ln 且 ≥ 1，则 ′ = 1 ≥ 0，即 = ln 在[1, +∞)上单调递增，

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所以 = ln ≥ 1 ln1 = 1，即 1 ≥ ln ，
( 1) 2 5
所以 1 + 2 + 3 + + ≤ 0 + 1 + + ( 1) 2 = 2 = ，得证． 2 2
2
16.【答案】解：(1)因为 = 1，所以cos = ，
2
2sin sin
由正弦定理 = = ，可得cos = ，
sin sin sin 2sin
整理可得2sin cos = 2sin sin ，
又因为sin = sin( + ) = sin cos + sin cos ，
化简可得sin = 2sin cos ，
1
而sin ≠ 0，则cos = ，又 ∈ (0, )，则 =
2 3
2
sin
(2)在 中，由 = 可得sin∠ = 3 ，
sin∠ sin∠

sin
在 中，由 = 可得sin∠ = 3，
sin∠ sin∠
sin∠
所以 = ，
sin∠
设 = = ( > 0)，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
可得 2 = 2 + 1 + ， 2 = 2 + 1 ，
2 2+1+ 2 2
因此 2 = 2 = 1 + 2 ≤ 1 + = 3， +1 +1 √ 12 1

1
当且仅当 = 时，即 = 1等号成立，

sin∠
所以 的最大值为√ 3，此时 = = 1．
sin∠
17.【答案】解：(1)证明：如图所示：
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分别延长线段 1， 1， 1， 1交于点 ，将四棱台补成四棱锥 ．
1 1
∵ 1 1 = ，∴ 1 = ，∴ = 1 = 3 3 1 ，
取 1的中点 ，连接 ， ，
1
∵ // // ，且 = (3 + 9) = 6 = ，∴四边形 为平行四边形．
2
∴ // ，又 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ //平面 1 1；
2
(2)由于 = 1 1 3 ，所以 1 1 = 16√ 3， 1 1
又梯形 1 1面积为8√ 3，
1
设 到平面 1 1距离为 ，则 = 梯形 = 16√ 3，得 = 6． 1 1 3 1 1
而 // ， 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1，
所以点 到平面 1 1的距离与点 到平面 1 1的距离相等，
而 = 6 = ，所以 ⊥平面 1 1．
以 为坐标原点，以直线 为 轴，以直线 为 轴，建立空间直角坐标系，
易得 为等边三角形，所以 (0,0,0)， (6,0,0)， (9,6,0)， (0,6,0)， (3,0,3√ 3)
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
= ( , , ) (3, 6,3√ 3) = 3 6 + 3√ 3 = 0
则{ ,
= ( , , ) (9,0,0) = 9 = 0
√ 3
得 = 0， = ，不妨取 = (0, √ 3, 2)，
2
又平面 1 1的一个法向量为 = (0,1,0)．
√ 3 √ 21
则cos , = = = ，
| || | √ 7 1 7
√ 21
平面 1 1与平面 1 1夹角的余弦值为 ． 7
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18.【答案】解：(1)记附近居民第 ( = 1,2)天选择路线 , 分别为事件 , ，
1 2 1 3 1
依题意， ( 1) = , ( ) = ， ( | ) = ( | ) = ， ( | 3 1 3 2 1 2 1 2 2 1) = , ( 2
| 1) = ， 4 4
1 1
则由全概率公式，得居民第二天选择路线 散步的概率 ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1) = × +3 2
2 3 2
× = ；
3 4 3
2
记第二天选择路线 散步的人数为 ，则 ～ (4, )，
3
1 4 1 2 1 8则 ( = 0) = ( ) = ， ( = 1) = 14 ( )
3 = ，
3 81 3 3 81
2 1 24 8 2 1 32
( = 2) = 24 ( )
2 ( )2 = = ， ( = 3) = 3 ( )3 = ，
3 3 81 27 4 3 3 81
2 16
( = 4) = ( )4 = ，
3 81
则 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 8 8 3216

8181278181
2 8
故 的数学期望 ( ) = 4 × = ．
3 3
1
(2)( )当第 天选择路线 时，第 + 1天选择路线 的概率 +1 = ； 2
3
当第 天选择路线 时，第 + 1天选择路线 的概率 +1 = (1 )， 4
1 3 1 3
所以 +1 = + (1 ) = + ( ∈
)．
2 4 4 4
1 3 3 1 3 1
( )由( )知 +1 = + ( ∈
)，则 +1 = ( 4 4 5 4 )，而 1 = ， 5 3
3 3 1 3 4 1
于是数列{ }是首项为 1 = = ，公比为 的等比数列， 5 5 3 5 15 4
3 4 1 3 4 1 16
因此 = ( )
1，即 = ( ) 1 ， = 4 = 4
4，
5 15 4 5 15 4 |15 9|
4 4 4 4 4 4 1 1
当 ≥ 2时， = 1
+1
= < = ，而 = 0 < ，
+1 4 4 4(4 1) 4(4 4) 4 2 4
1 所以 + 2 + + < ；
2 3 +1 4

1 +1
当 ≥ 2时，
4 4 (4 4) 3
= = 4
1 3 1 3 1 3 1
+1 +1 = +1 > ，而
1 = 0 > = ，
+1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2
1 1 1 1 1 1 所以 + 2 + + > 3( 1 + 2 + 3 + + ) = (1 ) > 1， 2 3 +1 4 4 4 4 4 4 4 4
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1 2 所以 1 < + + + < ．
4 2 3 +1 4
19.【答案】解：(1)由 = 2，得 ′ = 2 ，
设 ( 1,
2
1 ), ( 2,
2
2 ), ( , )．
所以 21方程为： = 2 1( 1) + 1，整理得： = 2
2
1 1．
同理可得， 2方程为： = 2 2
2
2．
= 2 2 1+ 2
联立方程{ 1 1，解得{ = 2 ．
= 2 2
2
2 = 1 2
因为点 (1,2)在抛物线内部，可知直线 的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线 的方程为 = ( 1) + 2，与抛物线方程联立得： 2 + 2 = 0，
故 1 + 2 = , 1 2 = 2，

所以 = , = 2，可知 = 2 2． 2
所以点 在定直线 = 2 2上.
．

(2)在 1, 2的方程中，令 = 0，得 (
1 , 0) , ( 2 , 0)，
2 2
1 1
所以 面积 = | | | | = |( 1 2) 2 4 1 2
| = √ 2．
故( 1 2)
2( 21 2) = [(
2
1 + 2) 4 1 2]( 1 )
2
2 = 32，
代入 21 + 2 = , 1 2 = 2可得：( 4 + 8)(
2 4 + 4) = 32．
整理得[( 2)2 + 8][( 2)2 4] = 0，解得： = 0或 = 4．
所以点 的坐标为(0, 2)或(2,2)．
(3)若 1 = 0，则 , 重合，与题设矛盾．
1 1 1
抛物线焦点 (0, )，由 ( 1 , 0)得直线 斜率
4 2
= = ，
2 1
可知 ⊥ ，
同理 ⊥ ，所以 是 外接圆的直径．
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若点 也在该圆上，则 ⊥ ．
7 4
由 = ，得直线 的方程为： = ( 1) + 2． 4 7
又点 在定直线 = 2 2上，
4 16
= ( 1) + 2 =
联立两直线方程{ 7 ，解得{ 9 ,
14
= 2 2 =
9
16 14
所以点 的坐标为( , )．
9 9
第 10 页，共 10 页

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