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2025 届江苏省东台市第一高级中学高三（下）二模热身考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = { || 2| ≤ 1}， = { |2 4 ≥ 0}，则集合 ∩ ( ) =( )
A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2]
2.若复数 满足(2 ) = 2023，则 =( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A. B. C. + D. +
5 5 5 5 5 5 5 5
sin , ≥ sin ,
3.已知函数 ( ) = { 则 ( ) =( )
, < sin , 6
1 √ 3
A. B. C. D.
6 2 2 3
1 1 1
4.已知 , 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = , ( ) = , ( | ) = ，则 ( | ) =( )
2 3 4
5 2 1 1
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2
5.已知椭圆 + 2 = 1和双曲线 2 2 = 1( > 0)的公共焦点为 1, 2，在第一象限内的交点为 ，则 9 1
2 =( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6.若一组样本数据 1、 2、 、 的平均数为10，另一组样本数据2 1 + 4、2 2 + 4、 、2 + 4的方差为
8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为( )
A. 17，54 B. 17，48 C. 15，54 D. 15，48
7.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到 , , , 四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安
排一名志愿者，那甲恰好被安排在 社区的不同安排方法数为( )
A. 24 B. 36 C. 60 D. 96
8.若正数 ， ， 满足 + 2 = + 3 = + ( 为自然对数底数)，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 经过点(2,3)，且点 ( 3,2)， (5, 4)到直线 的距离相等，则直线 的方程可能为( )
A. 4 5 = 0 B. 4 + 11 = 0
C. 3 + 4 18 = 0 D. 3 4 + 6 = 0
10.已知函数 ( ) = cos2 sin ，则( )
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A. ( )是奇函数
95
B. ( )最小的10个正零点之和为
3
C. 2 是 ( )的一个周期
D. ( )在 = 0处的切线方程为 = + 1
11.下列物体，能够被半径为2 的球体完全容纳的有( )
A. 所有棱长均为3 的四面体
B. 底面棱长为1 ，高为3.6 的正六棱锥
C. 底面直径为1.6 ，高为3.8 的圆柱
D. 上 下底面的边长分别为1 , 2 ，高为3 的正四棱台
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 4
12.(2 ) 的展开式中 2的系数是 ．

13.在等比数列{ }中，已知 1 3 = 9, 2 + 4 = 9，则 4 = ．
14.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，
1
只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格
6
1
的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，
10
则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利 元，则 ( ≥ 80) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
sin sin sin
记 的角 , , 的对边分别为 , , ，且 = ．
√ 3 +
(1)求 ；

(2)若 = 2√ 3，求 + 的最小值．
2
16.(本小题12分)
已知 ( ) = + ， ( ) = 2 + sin ， ∈ ， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 = 1，曲线 = ( )的任意一条切线，都存在曲线 = ( )的某条切线与它垂直，求实数 的取值
范围．
17.(本小题12分)
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如图，在四棱台 1 1 1 1中，已知 // , = = 2， = 1 1 = 1,∠ = 60
, 1 ⊥
, ⊥ 1．
(1)证明： 1 ⊥平面 ；
21
(2)若四棱台 1 1 1 1的体积为 ，求二面角 1 的余弦值． 8
18.(本小题12分)
设数列{ }满足：对任意正整数 ，有 1 + 2
1
2 + 4 3 + + 2 = ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若抽去数列{ }中的第1项，第4项，第7项，…，第3 2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{ }，
记数列{ }的前 项和为 .已知对于任意的正整数 ， 2 ≥ 2 +1恒成立，求 的最大值．
19.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 : = 1( > 0, > 0), ,
2 2 1 2
分别是 的左、右焦点．若 的离心率 = 2，且点(4,6)在 上．

(1)求 的方程．
1 1
(2)若过点 2的直线 与 的左、右两支分别交于 , 两点(不同于双曲线的顶点)，问：| |是否为定| 2| | 2|
值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 32
13.【答案】6
243
14.【答案】
256
sin sin sin
15.【答案】解：(1)因为 = ，由正弦定理得： = ，
√ 3 + √ 3 +
即 2 + 2 2 = √ 3 ，
2
+ 2 2 √ 3 √ 3
由余弦定理得：cos = = = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ；
6
1
sin 2√ 3× √ 3
(2)由正弦定理： = = , = = 2 = ，
sin sin sin sin sin sin
5
sin 2√ 3sin 2√ 3sin( )6 √ 3cos +3sin = = = = ，
sin sin sin sin
√ 3 √ 3cos +3sin 3 2+cos
则 + = + = + √ 3 × ，
2 sin 2sin 2 2sin

2tan 1
2
又因为sin = 2sin cos = 2 , cos =
2 2 = 2代入得：
2 2 1+ 2 2 2 1+ 2
2 2
1 2
2+ 2
3 1+ 2
2
2 3 +3 tan 3 3 + = + √ 3 = + √ 3
2
= √ 3(
2 +
2 2 4tan 2 4
) + ≥ 3，
4tan 4tan 22 2 2

1+ 2
2

tan 3 2
当且仅当 2 = ，即tan = √ 3, = 时取等号， 4 4tan 2 3
2
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所以 + 的最小值为3．
2
16.【答案】解：(1)由题意得，函数 ( )定义域为 ．
∵ ( ) = + ，∴ ′( ) = + ．
若 ≤ 0，则 ′( ) < 0， ( )在 上单调递减．
若 > 0，令 ′( ) = + = 0得 = ln ，
当 < ln 时， ′( ) > 0，当 > ln 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在( ∞, ln )上单调递增，在(ln , +∞)上单调递减．
综上得，当 ≤ 0时， ( )在 上单调递减；
当 > 0时， ( )在( ∞, ln )上单调递增，在(ln ,+∞)上单调递减．
(2)当 = 1时， ′( ) = 1，
∵ ( ) = 2 + sin ，∴ ′( ) = 2 + cos ，
∴曲线 ( )上任意一点( 1, ( 1))处的切线斜率为 ′( 1) =
1 1，曲线 ( )上的任意一点( 2, ( 2))处的
切线斜率为 ′( 2) = 2 + cos 2．
由题意得，对任意的 1 ∈ ，总存在 2 ∈ ，使得等式(
1 1)(2 + cos 2) = 1成立，
1 1
将等式变形为2 + cos 2 = ，则函数 = 的值域是函数 = 2 + cos 2值域的子集． 1+1 1+1
1
由 1 ∈ 得，
1 + 1 > 1，故函数 = 的值域为(0,1)， 1+1
∴ (2 + cos 2)max ≥ 1, (2 + cos 2)min ≤ 0．
∵ (2 + cos 2)max = 2 + | |, (2 + cos 2)min = 2 | |，
2 + | | ≥ 1
∴ { ，解得 ≤ 2或 ≥ 2，
2 | | ≤ 0
∴实数 的取值范围是( ∞, 2] ∪ [2,+∞)．
17.【答案】解：(1)在四边形 中，∵ = 2, = 1,∠ = 60 ，
1∴ = √ 4 + 1 2 × 2 × = √ 3，∴
2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
2
又∵ ⊥ 1, ∩ 1 = , , 1 平面 1，
∴ ⊥平面 1 ,而 1 平面 1 ，∴ ⊥ 1．
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又∵ 1 ⊥ , ∩ = , , 平面 ∴ 1 ⊥平面 ；
(1+2)×√ 3 3√ 3 1
(2) 四边形 = = , ∵ 2 2 1
1 = ， 2
1 3√ 3 3√ 3
四边形 = × = , 1 1 1 1 4 2 8
1 3√ 3 3√ 3 √ 3√ 3 3√ 3 21∴ 四棱台 = ( + + × ) 1 = 1 = √ 3， 3 2 8 2 8 8
如图建系，
∴ (√ 3, 0,0), (0,2,0), 1(0,1,√ 3), (0,0,0)，
∴ = ( √ 3, 2,0), 1 = (0, 1, √ 3)，设平面 1的一个法向量 1 = ( , , )，
= 0 √ 3 + 2 = 0
{ { ，取 = 1，则 1 = (2, √ 3, 1)，
1 = 0 + √ 3 = 0
平面 1 的一个法向量 2 = (1,0,0)，设二面角 1 的平面角为 ，
| 1 2 | 2 √ 2显然 为锐角，∴ cos = = = ．
| 1 | | 2 | 2√ 2 2
18.【答案】解：(1)当 = 1时，由题意得 1 = 1．
当 ≥ 2时，( 1 + 2 2 + 4 3 + + 2
1 ) ( 1 + 2
2
2 + 4 3 + + 2 1) = ( 1) = 1，
1 1
得2 1 = 1，即 = ( ) ． 2
1 1
经验证可知 1 = 1也满足上式，所以{ }的通项公式为 = ( ) ． 2
1 1 2 1 4 1 5 1 7 1 8 1 10 1 11
(2)数列{ }为： ，( ) ，( ) ，( ) ，( ) ，( ) ，( ) ，( ) ，… 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
所以奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列，
2 8
1 2 1
偶数项是以( ) 为首项， 为公比的等比数列．
2 8
2 = 1 + 2 + + 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
1 1 1 2 1
1 4 3 2 2 5 3 1 [1 ( ) ] ( ) [1 ( ) ]1 1 1 1 1 1 2 8 2 8
= [( ) + ( ) + + ( ) ] + [( ) + ( ) + + ( ) ] = +
2 2 2 2 2 2 1 11 1
8 8
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6 6 1
= ( ) ．
7 7 8
6 6 1 1 1 6 5 1
2 +1 = 2 + 2 +1 = ( ) + ( ) = ( ) ． 7 7 8 2 8 7 14 8
1
12 12×( )2 8 12 84 1 = = ，显然
2 是关于 的增函数，
2 +1 1 112 5×( ) 5 5 12 5×( ) 2 +1
8 8
12
所以 2 ≥ 2 = .又对于任意的正整数 ， 2 ≥ 2 +1恒成立，即 ≤
2 恒成立，
2 +1 3 13 2 +1
12
所以 的最大值为 ．
13
19.【答案】解：(1)设双曲线 的半焦距为 ( > 0)．

= = 2,
由题意可得， 16 36
2 2 = 1, 解得 = 2, = 2√ 3, = 4，
{ 2 = 2 + 2,
2 2
所以 的方程为 = 1．
4 12
1 1
(2) | |为定值，理由如下：
| 2| | 2|
由(1)知 2(4,0)，设直线 : = + 4, ( 1, 1), ( 2, 2)，
2 2
联立方程得{ = 14 12 ，消去 ，整理可得(3 2 1) 2 + 24 + 36 = 0，
= + 4
( ) ∵ | 2 2 2 22| = ( 1 4) + 1 = ( + 1)
2
1，
∴ | 2| = √ 2 + 1| 1|，同理| | = √ 22 + 1| 2|．
∵直线 过点 2且与 的左、右两支分别交于 , 两点，
1
∴ , 两点在 轴同侧，∴ 1 2 > 0，此时3
2 1 > 0，即 2 > ．
3
1 1 2 1 1 2
∴ | | = +
| 2| | 2| | 2|2 | 22| | 2| | 2|
1 1 2
= +
( 2+1) 21 (
2+ 1) 2 22 ( +1)| 1 2|
1 1 2
= +
( 2+1) 21 (
2+ 1) 2 22 ( +1) 1 2
2
1 1 1 2 1 ( + ) 4
= ( + ) = 1 2 1 2
2 +1 2 2 21 2 1 2 +1
2
( 1 2)
1 2+1 1
= 2 = ， +1 9 9
第 7 页，共 8 页
1 1 1
∴ | | = ，为定值．
| 2| | 2| 3
第 8 页，共 8 页

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