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2025 届湖南省桃源县第一中学高三一模数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
sin( )
1.已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 (1,2) ，则 的值为( )
sin +cos
1 1 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
5 1
2.在( 3 ) (2 + ) (其中 是虚数单位)的展开式中， 2的系数为( )
√
A. 39 B. 39 C. 40 + D. 40

3.已知圆内接四边形 中， = 2,∠ = , 是圆的直径， = 2，则∠ =( )
4
5 7 2
A. B. C. D.
12 2 12 3
4.已知 = ln1.1， = 0.1 1， = sin0.1，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
1
5.已知函数 ( ) = ln + ( )2( ∈ ).若存在 ∈ [ , 2]，使得 ( ) > ′( )成立，则实数 的取值范围
2
是( )
9 3
A. ( ,+∞) B. ( ,+∞) C. (√ 2,+∞) D. (3,+∞)
4 2
6.已知椭圆 1与双曲线 2有相同的焦点 1( 2√ 3, 0)， 2(2√ 3, 0)，离心率分别为 1， 2，点 为椭圆 1与双
√ 6曲线 2在第一象限的公共点，且∠ 1 2 = ，若 1 = ，则双曲线 2 3 2的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
9 3 3 9 2 10 6 6
7.已知公差不为零的等差数列{ }满足： 3 + 8 = 20，且 5是 2与 14的等比中项，设数列{ }满足 =
1
( ∈ )，则数列{ }的前 项和 为( ) +1
1 2 1 2 +2
A. 1 = B. 1 + =
2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
1 1 1 1 +1
C. (1 ) = D. (1 + ) =
2 2 +1 2 +1 2 2 +1 2 +1
8.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉
之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小
木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0,1,2, ,10，用
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表示小球最后落入格子的号码，若 ( = ) ≤ ( = 0)，则 0 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin √ 3cos + 1( > 0)的最小正周期为 ，则下列结论中正确的是( )
5
A. ( )的图像关于点( , 0)对称 B. ( )的图像关于直线 = 对称
6 12

C. ( )在(0,1)上单调递增 D. ( )在区间[ , )上的值域为[0,3]
12 2
10.已知圆 : ( + 2)2 + 2 = 4，直线 : ( + 1) + 2 1 + = 0( ∈ )，则( )
A. 直线 恒过定点( 1,1)
B. 当 = 0时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C. 直线 与圆 可能相切
D. 若圆 与圆 2 + 2 2 + 8 + = 0恰有三条公切线，则 = 8
11.四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂直，| | = 2，| | = 1，动点 在线段 上，则( )
A. 不存在点 ，使得 ⊥
√ 30
B. + 的最小值为
3
C. 四棱锥 的外接球表面积为5
2√ 5
D. 点 到直线 的距离的最小值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.在等差数列{ }中，数列{ }的前 项和为 ， 7 = 28， 1 + 4 = 5，若4 + =

17( , ∈ )，
则 2 + 2的最小值为 ．
13.对 ∈ ，都有 ( ) = 4 4 3 + ( + 5) 2 (2 + 4) + + 4 ≥ 0恒成立，那么 的取值范围
是 ．
1 2
14.已知函数 ( ) = 3 + 2 ，若 > 0， > 0，且 (2 ) + ( 1) = (0)，则 + 的最小值是

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若4sin sin = sin( )．
(1)求 的值；
2
√ 3( + 2 2)
(2)若 的面积为 ，求 周长的取值范围．
4
16.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 + + ln ( ∈ )．
(1)若 = 1，求函数 ( )的单调区间；
1
(2)设函数 ( )在[ , ]上有两个零点，求实数 的取值范围．(其中 是自然对数的底数)

17.(本小题12分)
1 1 1
已知数列{ }满足 1 = ( ∈ , ≠ )， = 2 1 + + ( ∈ , ≥ 2).又数列{ }满足 = 2 ( +1) +
1
．
+1
(1)求证：数列{ }是等比数列；
(2)若数列{ }是严格增数列，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， // ， = = 1， = 3，点 在 上，且 ⊥ ， = = 2．
(1)若 为线段 中点，求证： //平面 ．
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(2)若 ⊥平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的
考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)若所有考生的初试成绩 近似服从正态分布 ( , 2)，其中 为样本平均数的估计值， = 11.5，试利用
正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，
3
四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为 ，后
4
3
两题每题能答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进
5
入面试，请问该考生进入面试的概率有多大
附：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则： ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) =
0.9545, ( 3 < < + 3 ) = 0.9973．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】17
13.【答案】 ≥ 0
14.【答案】8
15.【答案】解：(1) ∵ 4sin sin = sin( ) = (sin cos cos sin )，
由正弦定理可得：4 2 = ( cos cos ) = cos cos ，
1 1
由余弦定理知： cos = ( 2 + 2 2)， cos = ( 2 + 2 2)，
2 2
可得4 2 = ( cos cos ) = 2 2，
则有4 = 2，由 > 0，解得 = 4．
(2)
中由余弦定理知 2 + 2 2
1
= 2 cos ，又在 中有 = sin ，
2
2
1 √ 3( +
2 2) √ 3
∴ sin = = cos ，化简得tan = √ 3，
2 4 2

∵ ∈ (0, )，∴ = ．
3
8 8
又 = 4，由正弦定理得： = sin ， = sin ，
√ 3 √ 3
8 2
+ = [sin + sin ( )] = 8sin ( + )，
√ 3 3 6
2 1
因在 中， = ，0 < < ， < sin ( + ) ≤ 1，
3 3 2 6
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所以4 < + ≤ 8，当 = = 时，等号成立，
∴ 周长 + + 的取值范围是(8,12]．
16.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 + + ln ，该函数的定义域为(0,+∞)，
1 2 2 1 (2 +1)( 1)
′( ) = 2 + 1 + = = ，令 ′( ) = 0，可得 = 1，

由 ′( ) > 0，可得0 < < 1；由 ′( ) < 0，可得 > 1，
故当 = 1时，函数 ( )的增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)．
1 ln
(2)当 ≤ ≤ 时，由 ( ) = 2 + + ln = 0可得 = ，

ln 1
令 ( ) = ，其中 ≤ ≤ ，

ln 1
由题意可知，直线 = 与函数 ( ) = 在[ , ]上的图象有两个公共点，

1 ln 2+ln 1
′( ) = 1 = ，
2 2
令 ( ) = 2 + ln 1，则 ( )与 ′( )同号，
1 1
则 ′( ) = 2 + > 0对任意的 ∈ [ , ]恒成立，

1
所以，函数 ( ) = 2 + ln 1在[ , ]上为增函数，且 (1) = 0，

1
当 ≤ < 1时， ( ) < (1) = 0，此时， ′( ) < 0，此时函数 ( )单调递减，

当1 < ≤ 时， ( ) > (1) = 0，此时， ′( ) > 0，此时函数 ( )单调递增，
所以， ( )min = (1) = 1，
1 1 1 1
又因为 ( ) = + ， ( ) = ，显然 ( ) > ( )，如下图所示：

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1 ln 1
由图可知，当1 < ≤ 时，直线 = 与函数 ( ) = 在[ , ]上的图象有两个公共点，

1
因此，实数 的取值范围是(1, ]．

1 1 2 1 1 1
17.【答案】解：(1)当 ≥ 2时， = 2 1 + + = 2 1 + ，即 + = 2( 1 + )， ( +1) +1 +1
亦即 = 2 1，
1
又 1 = + ≠ 0，即 ≠ 0，所以数列{ }是等比数列． 2
1 1 1 1 1
(2)由(1)， = ( + ) 2
1，即 + = ( + ) 2
1， = ( + ) 2
1 ，
2 +1 2 2 +1
1 1 1 1
依题意， +1 > ( + ) 2
> ( + ) 2 1 对任意的正整数 成立，
2 +2 2 +1
1 1
即 + > 1对任意的正整数 成立， 2 ( +2)( +1) 2
1 1
而数列{ 1}严格增，且 1 < 0对任意的正整数 成立， ( +2)( +1) 2 ( +2)( +1) 2
1 1 1
因此 + ≥ 0，又 ≠ ，解得 > ，
2 2 2
1
所以 的取值范围是( ,+∞)．
2
1
18.【答案】解：(1)取 的中点为 ，接 , ，则 // , = = 1，
2
而 // , = 2 ，故 // , = ，故四边形 为平行四边形，
故 // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
因为 = 2，故 = 1，故 // , = ，
故四边形 为平行四边形，故 // ，所以 ⊥平面 ，
而 , 平面 ，故 ⊥ , ⊥ ，而 ⊥ ，
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故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2)，
则 = (0, 1, 2), = (1, 1, 2), = (1,0, 2), = (0,2, 2),
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 = 0则由{ 可得{ ，取 = (0, 2,1)，
= 0 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 = 0则由{ 可得{ ，取 = (2,1,1)，
= 0 2 2 = 0
1 √ 30
故cos , = = ，
√ 5×√ 6 30
√ 30
故平面 与平面 夹角的余弦值为
30
19.【答案】解：(1)由题意得，样本平均数的估计值为
(40 × 0.010 + 50 × 0.020 + 60 × 0.030 + 70 × 0.024 + 80 × 0.012 + 90 × 0.004) × 10 = 62，
因为学生初试成绩 服从正态分布 ( , 2)，其中 = 62, = 11.5则 + 2 = 85，
1 0.9545
所以 ( ≥ 85) = ( ≥ + 2 ) = = 0.02275，
2
所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.02275 × 8000 = 182人.
(2)记该考生的复试成绩为 ，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分，
1 2 3 2 3 2 3 2 117
( = 20) = ( ) × ( ) + ( ) × 12 × × = ， 4 5 4 5 5 400
3 1 3 2 54
( = 25) = 12 × × × ( ) = ， 4 4 5 400
3 2 3 2 81
( = 30) = ( ) × ( ) = ，
4 5 400
117 54 81 63
所以该考生进入面试的概率为 ( = 20) + ( = 25) + ( = 30) = + + = ．
400 400 400 100
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