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2025 届河南省南阳市邓州市第一高级中学校高三一模数学试卷（B 卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | 2 + 6 < 0}， = { | = lg( 2 + 1)}，则 ∩ 等于( )
A. ( 3,2) B. [0,3) C. [0,+∞) D. [0,2)
2.已知复数 满足：(1 + 2 ) = 3 4 ，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
1
3.设 ， 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则| 2 | =( )
2
A. 1 B. √ 3 C. √ 5 D. √ 7
2
4.已知sin + cos = ，cos + sin = 1，则sin( + ) =( )
3
5 4 1 1
A. B. C. D.
18 9 3 6
5.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安
排在相邻的两天，则不同的安排方法数是( )
A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
1 1
6.已知函数 ( ) = (sin + cos ) |sin cos | 则 ( )的值域是( )
2 2
√ 2 √ 2 √ 2
A. [ 1,1] B. [ , 1] C. [ 1, ] D. [ 1, ]
2 2 2
7.已知等差数列{ }的前 项和为

，“ 2025 = 0”是“ = 4049 ( < 4049, ∈ )”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 + 2 + = 2，若角 的内角平分线 = 2，则
的最小值为( )
A. 8 B. 4 C. 16 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 在圆( 5)2 + ( 5)2 = 16上，点 (4,0)、 (0,2)，则( )
A. 点 到直线 的距离小于10 B. 点 到直线 的距离大于2
C. 当∠ 最小时，| | = 3√ 2 D. 当∠ 最大时，| | = 3√ 2
+
10.若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 + 4 2 = 0，则下列结论正确的
2
是( )
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A. 角 一定为锐角 B. 2 + 2 2 2 = 0
√ 3
C. 3tan + tan = 0 D. tan 的最小值为
3
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， , , 分别是边 , , 的中点.下列说法正确的是( )
A. ⊥ 1
B. 三棱锥 1 的体积为1
41
C. 三棱锥 1 的表面积为 4
D. 以 1为球心，半径为2√ 2的球面与侧面 1 1的交线长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 > 0， > 0且2 = 2 + + 3，则2 + 的最小值为 ．
13.甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为0.5、0.4，且甲、乙
射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，
那么无人机被击落的概率为 ．
14.设抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (2,0)，过点 (4,0)的直线与 相交于 ， 两点，| | = 10，则
直线 的方程为 ， 的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) + + 1．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)证明： ( ) ≤ + ．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 ⊥底面 , = 1 = 2， = 1, = √ 3，点 为线段
的中点．
(1)求证： 1//平面 1；

(2)若∠ 1 = ，求二面角 的余弦值． 3 1
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17.(本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别是 1、 2，其离心率 = ，点 是椭圆 上一动点， 2

1 2内切圆面积的最大值为 ． 3
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
| | | |
(Ⅱ)直线 1， 2与椭圆 分别相交于点 , ，求证：
1 + 2 为定值．
| 1 | | 2 |
18.(本小题12分)
为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课
程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得
到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 (分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 ， 2，经计算∑10 ( )2 = 1690，∑10 2 =1 1 =1 = 33050．
(1)求 ；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为 ，求
的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布 ( , 2)，用 ， 2的值分别作为 ， 2的近似值，若监
测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]
的人数为 ，求 的数学期望 ( ).附：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤
+ 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
19.(本小题12分)
若数列{ }满足
2
+1 = ，则称数列{ }为“平方递推数列”.已知数列{ }中， 1 = 9，点( , +1)在
函数 ( ) = 2 + 2 的图象上，其中 为正整数．
(1)证明数列{ + 1}是“平方递推数列”，且数列{lg( + 1)}为等比数列；
(2)设(1)中“平方递推数列”的前 项积为 ，即 = ( 1 + 1)( 2 + 1) ( + 1)，求lg ；
lg
(3)在(2)的条件下，记 = ，求数列{ }的前 项和 ，并求使 > 4026的 的最小值． lg( +1)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6
11
13.【答案】0.22/
50
14.【答案】 = 2 8或 = 2 + 8 ； ； ；
；12
15.【答案】解：(1)因为 ( ) = ln( + 1) + + 1, > 1，
1
所以 ′( ) = + ，
+1
苦 ≥ 0，则 ′( ) > 0, ( )在( 1,+∞)上单调递增，
1
若 < 0，由 ′( ) > 0，得 1 < < 1 ，

1
由 ′( ) < 0得 > 1 ，

1 1
所以 ( )在( 1, 1 )上单调递增，在( 1 ,+∞)上单调递减，

综上得，当 ≥ 0时， ( )在( 1,+∞)上单调递增；
1 1
当 < 0时， ( )在( 1, 1 )上单调递增，在( 1 ,+∞)上单调递减．

(2)证明：法一：要证 ( ) ≤ + ，即证ln( + 1) + + 1 ≤ + ，
即证ln( + 1) + 1 ≤ ，
1 1
由(1)知， < 0时 ( )在( 1, 1 )上单调递增，在( 1 ,+∞)上单调递减，

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1
所以 ( ) ≤ ( 1 )，

取 = 1得 ( ) ≤ (0)，即ln( + 1) ≤ ，
令 ( ) = 1，则 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0；当 > 0时， ′( ) > 0，
所以当 = 0时， ( )取得极小值 (0) = 0，
所以 ( ) ≥ 0，即 + 1 ≤ ，
所以ln( + 1) + 1 ≤ + 1 ≤ ，
所以 ( ) ≤ + ．
法二：要证 ( ) ≤ + ，即证ln( + 1) + 1 ≤ 0，
1
令 ( ) = ln( + 1) + 1 , > 1，则 ′( ) = ，
+1
易知 ′( )在区间( 1,+∞)上单调递减，又 ′(0) = 0，
所以当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 ∈ (0,+∞)时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 0，即ln( + 1) + 1 ≤ 0，
所以 ( ) ≤ + 得证．
16.【答案】解：(1)连接 1，交 1 于点 ，连接 ，
因为侧面 1 1是平行四边形，
所以 为 1 的中点，又因为点 为线段 的中点，
所以 // 1，
因为 1 面 1， 面 1，
所以 1//面 1．

(2)连接 1 ， 1 ，因为∠ 1 = ， = 3 1 = 2，
所以 1 为等边三角形， 1 = 2，
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因为点 为线段 的中点，
所以 1 ⊥ ，
因为侧面 1 1 ⊥底面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥底面 ，
过点 在底面 内作 ⊥ ，如图以 为坐标原点，分布以 ， ， 1的方向为 , , 轴正方向建立空
间直角坐标系，
√ 3 1
则 (0,0,0)， ( , , 0)， 1(0,2, √ 3)， 2 2
所以
√ 3 1
= ( , , 0)， 1 = (0,2, √ 3)， 2 2
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
√ 3 1 = = 0
则{ 2 2 ，令 = 1，则 = √ 3, = 2，
1 = 2 + √ 3 = 0
所以平面 1的法向量为 = (1, √ 3, 2)，
又因为平面 的法向量为 = (0,0,1)，
2 √ 2
则cos , = = ，
√ 1+3+4 2
经观察，二面角 1的平面角为钝角，
√ 2
所以二面角 1的余弦值为 ． 2
1
17.【答案】解：(Ⅰ)设 1 2内切圆的半径为 ，则 (| 1| + | 2| + | 1 2 2
|) = ， 1 2
2 1 2 ∴ = = 1 2，
2 +2 +
∴当 1 2的面积最大时， 1 2内切圆的半径 最大，
1
则当点 为椭圆的上顶点或下顶点时， 1 2的面积最大，最大值为 × 2 × = ， 2
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√ 3
∴ 的最大值为 ，又 1 2内切圆面积的最大值为 ，∴ = ， + 3 + 3
√ 3
= + 3 = 2 2 2
由 1 得：{ = √ 3 , ∴椭圆 的标准方程为： + = 1．
= 4 3 2 = 1
{ 2 = 2 + 2
(Ⅱ)设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
①当 0 ≠ 0时，设直线 1， 2的直线方程分别为 = 1 1， = 2 + 1，
= 1 1
2 2 9由{ 2 2 得：(3 1 + 4) 6 1 9 = 0，∴ 0 1 = 2 ， + = 1 3 1+44 3
+1 5+2
∵ 0 = 1 0 1，∴ 1 =
0 ，∴ 0 = 0，
0 1 3
= 2 + 1 5 2
同理由{ 2 2 可得： 0 =
0，
+ = 1 2 3
4 3
|
∴ 1
| | 2| 0 0 5+2 5 2 10+ = = 0 + 0 = ；
| 1 | | 2 | 1 2 3 3 3
②当 0 = 0时，直线 1， 2与 轴重合，则
| | | | 1 10
则 1 + 2 = 3+ = ；
| 1 | | 2 | 3 3
| 1| | 综上所述： + 2
| 10
为定值 ．
| 1 | | 2 | 3
1
18.【答案】解：(1) = × (38 + 41 + 44 + 51 + 54 + 56 + 58 + 64 + 74 + 80) = 56．
10
(2)因为体质测试不合格的学生有3名，
所以 的可能取值为0，1，2，3．
37 7
2 1 17 3 21 7
2 7 3 1
因为 ( = 0) = 3 = , ( = 1) = 3 = , ( = 2) =
3
3 = , ( = 3) =
3 = ．
10 24 40 40
3
10 10 10 120
所以 的分布列为
0 1 2 3
7 21 7 1

244040120
1 1
(3)因为 = 56, 2 = ∑10 2
10 =1
( 1 ) = × 1690 = 169， 10
所以 = 56, = 13．
因为 (30 ≤ ≤ 82) = ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，
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故 (100,0.9545)，
所以 ( ) = 100 × 0.9545 = 95.45．
19.【答案】解：(1)由题意得： +1 =
2
+ 2 ，即
2
+1 + 1 = ( + 1) ，
则{ + 1}是“平方递推数列”．
对 +1 + 1 = ( + 1)
2
两边取对数得lg( +1 + 1) = 2lg( + 1)，
所以数列{lg( + 1)}是以{lg( 1 + 1)}为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知lg( + 1) = lg( 1 + 1) 2
1 = 2 1
lg = lg( 1 + 1)( 2 + 1) ( + 1) = lg( 1 + 1) + lg( 2 + 1) + + lg( + 1)
1 (1 2 )
= = 2 1 8分
1 2
lg 2 1 1
(3) =
= 1
lg( +1) 2 1
= 2 ( ) 9分
2
1
1 1
= 2
2
1 = 2 2 + 1 10分
1 2
2
1 1
又 > 4026，即2 2 + 1 > 4026, + > 201411分 2 2
1
又0 < < 1，所以 2 min
= 2014. 12分
第 8 页，共 8 页

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