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第3节 圆周角定理(1)
一、知识梳理
圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【例】如图3-1所示,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),点B 是y轴右侧⊙A 优弧上的一点，则∠OBC的余弦值为( ).
A. B.
解：如图3-2所示，连接 CA 并延长交⊙A 于点D.
∵CD为直径,∴∠COD=∠yOx=90°.
∵直径为10的⊙A 经过点 C(0,5)和点O(0,0),
∴CD=10,CO=5.
∵∠OBC=∠CDO,
故选C.
二、分层练习
1. 如图3-3所示,AB是⊙O 的直径,点C,D是⊙O上的两点. 若∠CAB=25°,则∠ADC 的度数为 .
2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O在格点上,则tan∠CBD 的值等于( ).
C. 2
3. 如图3-5 所示,△ABC是⊙O 的内接三角形,AC是⊙O 的直径,∠C=50°,∠ABC 的角平分线BD交⊙O 于点 D,则∠BAD的度数为( ).
A. 45°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
4. 如图3-6所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,连接BO并延长交AC于点 D. 若∠A=50°,则∠BDC的度数为( ).
A. 75°
B. 76°
C. 65°
D. 70°
5. 如图3-7所示,点A,B,C,D在⊙O上,直径AB交CD于点E.已知. ∠D=45°,则.
6.如图3-8所示，AB是半圆的直径，点 D 是 的中点， 则 等于( ).
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7. 如图3-9所示,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且 ,连接OB,OC,则边 BC 的长为( ).
8. 如图3-10所示,在⊙O中, 则 的度数为( ).).
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 30°
9.如图3-11 所示,AD 是半圆的直径,点 C 是弧 BD 的中点, 则 ∠BAD 等于(
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
10. 如图3-12所示,AB为⊙O 的直径,点C,D在⊙O上,连接AC,CD,CD交AB于点 E.若 则∠AED 的度数为( ).
A. 50°
B. 53°
C. 55°
D. 58°
11. 如图3-13所示,AB是⊙O 的弦,OH⊥AB于点H,点P 是优弧上的一点. 若 则∠APB 的度数为 .
12. 如图3-14所示,⊙O 的半径为2, 是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC 互补,则弦BC 的长为( ).
13. 如图3-15所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°. 以BC为直径的⊙O交AB 于点 D.点 E 是⊙O 上的一点,且 连接 OE.过点 E 作. OE,交AC的延长线于点 F,则∠F的度数为( ).
A. 92°
B. 108°
C. 112°
D. 124°
14. 如图3-16所示,点B,C在⊙A上,AB的垂直平分线交⊙A 于点 E,F,交线段AC 于点 D. 若∠BFC=20°,则∠DBC=( ).
A. 30°
B. 29°
C. 28°
D. 20°
1. 解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°-∠CAB=65°.
∴ ∠ADC=∠ABC=65°.
2.D
3. 解:∵AC是⊙O 的直径,
∴∠ABC=90°.
∵∠C=50°,
∴∠BAC=40°.
∵∠ABC 的角平分线BD交⊙O 于点 D,
∴∠ABD=∠DBC=45°.
∴∠CAD=∠DBC=45°.
∴ ∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°.
故选 B.
4.解:如图17所示,设BD的延长线交⊙O 于点 E,连接CE.
∵AB=AC,∠A=50°,
由圆周角定理得,∠E=∠A=50°.
∵ BE是⊙O 的直径,
∴∠BCE=90°.
∴∠EBC=90°-∠E=40°.
∴∠BDC=180°-∠EBC-∠ACB=180°-40°-65°=75°.故选 A.
5. 解:如图18所示,连接BC.
∵AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵∠ACD=57°,
∴ ∠BCD=90°-∠ACD=90°-57°=33°.
∵∠D=45°,
∴∠ABC=∠D=45°.
∴∠CEB=180°-∠BCD-∠ABC=180°-33°-45°=102°.
6. 解:如图19所示,连接BD.
∵点 D 是 的中点，即
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴∠ABC=50°.
∵AB是半圆的直径，
∴ ∠ADB=90°.
∴ ∠DAB=90°-∠ABD=90°-25°=65°.
故选C.
7. 解:如图20所示,延长BO交⊙O 于点D,连接CD,则 60°.
在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠D=180°-90°-60°=30°.
∵BD=2R,
∴DC=R.
故选 D.
8. 解:∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=50°,
∴∠BAC=25°.
∵AC∥OB,
∴∠B=∠BAC=25°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠B=25°.
故选 A.
9. 解:如图21所示,连接OB,OC.
∵∠ADC=55°,OC=OD,
∴∠AOC=2∠ADC=110°.
∴∠COD=70°.
∵点C 是弧 BD的中点,
∴∠BOD=2∠COD=140°.
故选 D.
10. 解:如图22所示,连接OD,OC.
∵ ∠ACD=20°,
∴ ∠AOD=2∠ACD=40°.
∴∠BOD=2∠BOC.
∴∠BOC=70°.
∴∠AED=∠ACD+∠CAO=55°.
故选 C.
11. 解:如图23所示,连接OA,OB.
∵OH=1,
∴ ∠AOH=60°.
∴∠AOB=2∠AOH=120°.
12. 解:如图24所示,过点O作OD⊥BC,垂足为点 D.
∵∠BAC与∠BOC互补,
∴ ∠BAC+∠BOC=180°.
∴OD平分
∵在Rt△DOC中,OC=2,
故选 C.
A
C

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