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第4节 圆周角定理(2)
一、知识梳理
【例】如图4-1所示,点A,B,C在⊙O上,∠OAB=22.5°,则∠ACB 的度数为( ).
A. 11.5° B. 112.5°
C. 122.5° D. 135°
解:在优弧AB 上任取点E,连接AE,BE,如图4-2所示.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=22.5°.
∴∠AOB=135°.
又∵∠AEB+∠ACB=180°,
∴ ∠ACB=112.5°.
故选 B.
二、分层练习
万丈高楼平地起
1. 如图4-3所示,在半径为5的⊙O中,AB=6,点 C是优弧 上的一点(不与点A,B重合),则cos∠C的值为( ).
2. 如图4-4所示,⊙O是△ABC的外接圆,AD 为⊙O 的直径,交 BC 于点 E. 若点C为半圆AD的中点， 则∠BED的度数为( ).
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
3. 如图4-5所示, 内接于⊙O， ，点D 是弧 BC的中点，连接BD,则BD=( ).
B. 3
4.如图4-6所示，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O，点 P 是优弧 上的一点，则 的度数为( ).
5. 如图4-7 所示,在⊙O 的内接五边形ABCDE中, ,则∠B+∠E=
6.如图4-8所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0,3),点 M 是第三象限内 上的一点， ，则⊙C 的半径长为( ).
A. 6
B. 5
C. 3
7. 如图4-9所示,点A,B,C在⊙O上,且. ，求α的值.
8.如图4-10 所示,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,连接BD. 若 CD,∠BDC=75°,则∠C 的度数为( ).
D. 70°
9. 如图4-11 所示,四边形ABCD 内接于⊙O, ,BD 平分 交AC于点 E. 若 则 的大小为( ).
10. 如图4-12 所示,矩形ABCD 内接于⊙O,点 P 是弧 AD 上的一点,连接PB,PC. 若AD=2AB,则cos∠BPC 的值为 .
11. 如图4-13所示,四边形ABCD 内接于⊙O,点 F 是 上的一点，且 连接CF并延长交AD的延长线于点 E，连接AC.若. 则 的度数为( ).
12. 如图4-14 所示,点 C,D在以AB 为直径的⊙O 上,且 若 28°,则∠DAB 的度数为( ).
A. 28°
B. 34°
C. 56°
D. 62°
13. 如图4-15 所示,△ABC 内接于⊙O,点 D 在劣弧AB上, =60°,AD=2,则AB的长为( ).
14. 如图4-16所示,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点, 45°. 若点 M,N分别是AB,BC的中点,则MN的最大值为 .
15.如图4-17所示，AB是⊙O的一条弦，点 C是⊙O上的一个动点，且 30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与⊙O交于点G,H. 若⊙O 的半径为7,则GE+FH的最大值为 .
第4节 圆周角定理(2)
1. 解:如图25所示,作直径AD,连接BD.
∵AD为⊙O的直径,
∴ ∠ABD=90°.
∵在Rt△ABD中,AD=10,AB=6,
∵∠C=∠D,
故选 D.
2. 解:如图26所示,连接BD,CD.
∵AD为⊙O的直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°.
即∠ADB=60°.
∴∠ACB=∠ADB=60°.
∵点C为半圆AD的中点，
∴∠DAC=∠ADC=45°.
故选 D.
3. 解:如图27所示,连接OB,OC,OD,且OD交BC于点 E.
∵∠A=60°,
∴∠BOC=2∠A=120°.
∵OB=OC,
∵点 D 是弧 BC的中点,BC=6,
∵OB=OD,∠BOD=60°,
∴△BOD 是等边三角形.
故选 C.
4. 解:如图28所示,作半径OC⊥AB 于点 D,连接OA,OB.
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴ ∠OAD=30°.
又∵OA=OB,
∴ ∠OBA=30°.
∴∠AOB=120°.
故选 D.
5. 解:如图29所示,连接CE.
∵五边形ABCDE 是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形.
∴∠B+∠AEC=180°.
∵∠CED=∠CAD=35°,
6.解：∵四边形ABMO 是圆内接四边形，
∴∠BAO=60°.
∵∠AOB=90°,
∴AB 是⊙C的直径.
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3.
∴AB=2OA=6.
∴⊙C的半径长
故选 C.
7.解：如图30所示，设点 E 是优弧上的一点.
∵∠AOC=α,
∵点A,B,C,E共圆,
∴∠AEC+∠ABC=180°,即 解得α=120°.
8. 解:∵AB=AD=CD,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC.
设∠ADB=∠ABD=∠DBC=x.
∵四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,3x+75°=180°,解得x=35°.
∴∠DBC=35°.
∵∠BDC=75°,
故选 D.
9. 解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC=120°,
∴ ∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=30°.
∵BA=BE,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-60°=45°.
∴∠ADB=∠ACB=45°.
故选 D.
10. 解:设AB=a,则AD=2AB=2a,连接BD,如图31所示.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a,AD=BC=2a,∠DCB=∠A=90°.
∴BD是⊙O的直径,
∵∠BPC=∠BDC,
11. 解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°,
∴ ∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.
∴ ∠DCE=∠BAC=25°.
∴ ∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.
故选C.
12. 解:∵AC=CD,∠CAD=28°,
∴∠CDA=∠CAD=28°.
∴ ∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=124°.
∵四边形 ABDC 是⊙O 的内接四边形,
∴∠ACD+∠ABD=180°.
∵AB是⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°.
∴ ∠DAB=90°-∠ABD=34°.
故选 B.
13. 解:如图32 所示,作直径AE,连接OD,BE.
∵∠ACB+∠ADB=180°,∠ACB=60°,
∴ ∠ADB=120°.
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,∠DAB=15°,
∴∠ABD=45°.
∴∠AOD=2∠ABD=90°.
∵AD=2,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°.
故选 D.
14. 解:如图33所示,连接OA,OB.
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°.
∴ △OAB 为等腰直角三角形，
∵点M,N分别是AB,BC的中点,
∴MN为△ABC的中位线, 当AC为直径时，即 时，MN有最大值.
15. 解:如图34所示,连接OA,OB.
∵∠C=30°,
∴∠AOB=60°.
∵OA=OB,⊙O的半径为7,
∴△AOB 是等边三角形,AB=OA=OB=7,当GH为⊙O 的直径时,GE+FH有最大值.
∵点E,F分别为AC,BC的中点,

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