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第七章 统计与概率
7.2 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 事件分类及概率相关概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，概率部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 解答题（1题）的形式考查。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。
考点2 频率与概率 ☆☆☆
考点3 概率的计算及综合应用 ☆☆☆
概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，预计2024年各地中考还将出现。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可。
1
2
■考点一　事件分类及概率相关概念 2
■考点二　频率与概率 3
■考点三　概率的计算及综合应用 3
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5
■考点一　事件分类及概率相关概念
1）确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确定事件 必然
事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为 。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为 。 P(不可能事件)=0
不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为 （又叫 ）。 0＜P(随机事件)＜1
2）概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的 ，记为P(A)。
概率的意义：一个事件发生的 是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的 。
■考点二　频率与概率
1）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个 附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的 。
2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计 ．
■考点三　概率的计算及综合应用
1）概率的计算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的 ，m为事件A发生的 。
（2）列表法：当一次试验要涉及 ，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 求事件发生的 。
（3）树状图法：当一次试验要涉及 的因素时，通常采用 来求事件发生的概率。
2）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。
■考点一　事件分类及概率相关概念
◇典例1：（2024·湖北武汉·中考真题）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
◆变式训练
1．（2024·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
2．（2024·辽宁抚顺·统考一模）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯
3．（2024·广东·校考二模）下列事件中，发生的概率为0的事件是（　　）
A．掷一枚硬币，反面朝上 B．任选两个非负数相乘，积为
C．两个相反数的立方根也互为相反数 D．掷一枚骰子，得到的点数是3
◇典例2：（2024·广东云浮·统考二模）在不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出个球．下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
◆变式训练
1.（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
◇典例3：（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
◆变式训练
1．（2023·江苏·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

■考点二　频率与概率
◇典例4：（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
◆变式训练
1.（2023·江苏泰州·统考中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
2.（2024·江西抚州·统考一模）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3.（2024·福建厦门·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖
C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上
D．“若a是实数，则”是必然事件
◇典例5：（2023·甘肃·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考二模）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
2．（2024·福建厦门·校考模拟预测）春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 ．
◇典例6：（2023·辽宁锦州·统考中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
◆变式训练
1. （2024·辽宁锦州·统考二模）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有 个．
2.（2024·四川广安·统考一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为 ．
3．（2024·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
■考点三　概率的计算及综合应用
◇典例7：（2024·广东·统考二模）一个材质均匀的正方体的六个面分别标有文字“祝、你、天、天、快、乐”，其表面展开图如图所示，随机抛掷这个正方体，“天”字朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·浙江·统考中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

2．（2024·广东佛山·校考一模）在一个不透明的口袋中，装有3个黄球和4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
◇典例8：（2023·湖南·统考中考真题）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
◆变式训练
1．（2023·江苏·校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
2．（2024·广东深圳·校考模拟预测）在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ， 则 ．
◇典例9：（2023·山东淄博·统考中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·统考中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A． B． C． D．
◇典例10：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
2.（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
◇典例11：（2023·广东广州·统考中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
◆变式训练
1.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
◇典例12：（2024·安徽·模拟预测）综合与实践
【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
◆变式训练
1.（2023·福建·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
2.（2023·广东·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
3．（2024·广东·中考真题）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖北·中考真题）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
6．（2024·四川内江·中考真题）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
9．（2024·四川甘孜·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
12．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
13．（2024·江苏扬州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
14．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
15．（2024·吉林长春·中考真题）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
16．（2024·云南·中考真题）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．
17．（2024·四川广元·中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
(1)样本容量为______，______；(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
18．（2024·吉林·中考真题）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
19．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
20．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
21．（2024·江苏连云港·中考真题）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
1.（2024·辽宁抚顺·统考一模）我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
2．（2024·山东青岛·统考一模）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
3．（2024·安徽芜湖·统考二模）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
4．（2024·广东湛江·校联考三模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
5．（2023·山东青岛·统考模拟预测）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2024·河南·统考三模）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
8．（2023·北京海淀·校考模拟预测）（多选题）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面推断中合理的是（ ）
A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是
B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是
C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是
D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次

9．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
10．（2023·江苏盐城·校考二模）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为 （用所给字母表示．）
11.（2024·江苏·模拟预测）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
12．（2024·广东佛山·统考模拟预测）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
(2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
(3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
13．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种的可能性相等．
(1)如图1，当只有一个电子元件时，A、B之间的电流通过概率是___________；
(2)如图2，当有两个电子元件a、b串联时，请用树状图（或列表格）表示图中A、B之间的电流能否通过的所有可能情况，求出A、B之间的电流通过的概率；
(3)如图3，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是___________．
14．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）。(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
15．（2024·山西·校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券（元） 18 9 18
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
16．（2024·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
17．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；(2)若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
18.（2024·山东·校联考一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示．
的值 2 6 10
实际付款 8折 7折 6折
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；(2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围．
19. （2024·福建泉州·校考三模）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
20.（2024·福建福州·校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
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第七章 统计与概率
7.2 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 事件分类及概率相关概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，概率部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 解答题（1题）的形式考查。该专题考题的类型也比较的固定，单独考查时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算、频率估计概率等。综合考查时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考查概率的树状图或者列表分析。
考点2 频率与概率 ☆☆☆
考点3 概率的计算及综合应用 ☆☆☆
概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，预计2024年各地中考还将出现。因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要多加注意即可。
1
2
■考点一　事件分类及概率相关概念 2
■考点二　频率与概率 3
■考点三　概率的计算及综合应用 3
4
5
■考点一　事件分类及概率相关概念
1）确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确定事件 必然
事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件 。 P(必然事件)=1
不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件 。 P(不可能事件)=0
不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 （又叫随机事件 ）。 0＜P(随机事件)＜1
2）概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率 ，记为P(A)。
概率的意义：一个事件发生的概率 是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小 。
■考点二　频率与概率
1）利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P 附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率 。
2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率 ．
■考点三　概率的计算及综合应用
1）概率的计算方法：
（1）概率公式： P（A）=，其中n为所有事件的总数 ，m为事件A发生的总次数 。
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素 ，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 求事件发生的概率 。
（3）树状图法：当一次试验要涉及2个或更多 的因素时，通常采用画树状图 来求事件发生的概率。
2）概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策。
■考点一　事件分类及概率相关概念
◇典例1：（2024·湖北武汉·中考真题）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【答案】A
【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A．
◆变式训练
1．（2024·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】B
【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误；B、是必然事件，符合题意，选项正确；
C、是随机事件，不符合题意，选项错误；D、是随机事件，不符合题意，选项错误；故选：B．
2．（2024·辽宁抚顺·统考一模）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯
【答案】D
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；故选：D．
3．（2024·广东·校考二模）下列事件中，发生的概率为0的事件是（　　）
A．掷一枚硬币，反面朝上 B．任选两个非负数相乘，积为
C．两个相反数的立方根也互为相反数 D．掷一枚骰子，得到的点数是3
【答案】B
【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键．
根据不可能事件、随机事件和必然事件的定义逐一分析即可解答．
【详解】解：对于A选项，是随机事件，故不符合题意；
对于B选项，是不可能事件，故符合题意；对于C选项，是必然事件，故不符合题意；
对于D选项，是随机事件，故不符合题意．故选：B．
◇典例2：（2024·广东云浮·统考二模）在不透明的袋子里装有个红球、个白球、个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出个球．下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【详解】解：依题意，个红球、个白球、个黑球，白球的个数最多，
∴摸到红球比摸到白球的可能性小，故甲正确；
摸到红球和摸到黑球的可能性相同，故乙正确；故选：C．
◆变式训练
1.（2023·河北·统考中考真题）1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选B．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答案】C
【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意；故选：C．
◇典例3：（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接交于O，
由题意得，分别是正方形四条边的中点，∴点O为正方形的中心，∴，

根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，∴，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴，故选：B．
◆变式训练
1．（2023·江苏·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
【答案】
【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，
∴击中阴影部分的概率是，故答案为：．
2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图平行四边形中，E为的中点，交与点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

【答案】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∴，∴，∴，即
∵，∴，
∴，即米粒落在图中阴影部分的概率为，故答案为：．
■考点二　频率与概率
◇典例4：（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误故选；A．
◆变式训练
1.（2023·江苏泰州·统考中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D．
2.（2024·江西抚州·统考一模）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【答案】D
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；B、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；
D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．故选：D．
3.（2024·福建厦门·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖
C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上
D．“若a是实数，则”是必然事件
【答案】C
【详解】解：A、为了解某品牌的日光灯寿命，适宜采取抽样调查方式，则说法错误，故A选项不符合题意；B、某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖，说法错误，故B选项不符合题意；
C、抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上，说法正确，故C选项符合题意；D、“若a是实数，则”是必然事件，则说法错误，故D选项不符合题意，故选C．
◇典例5：（2023·甘肃·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．
◆变式训练
1．（2024·辽宁抚顺·统考二模）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为 ．（结果精确到）
【答案】
【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，
任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为，故答案为：．
2．（2024·福建厦门·校考模拟预测）春节假期欧亚商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价1.88元购买“大福字”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 ．
【答案】0.35
【详解】解：由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，
所以推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为0.35，故答案为：0.35．
◇典例6：（2023·辽宁锦州·统考中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】
【详解】解：设袋子中红球有个，根据题意，得,
∴盒子中红球的个数约为，故答案为：
◆变式训练
1. （2024·辽宁锦州·统考二模）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有 个．
【答案】15
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，解得，经检验，是原方程的解，∴袋子中黄球约有15个，故答案为：15．
2.（2024·四川广安·统考一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图是一个面积为6的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小张在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6附近，则可估计该二维码中黑色阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．
3．（2024·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)，(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个(3)个
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，故答案为：，；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，，解得，，
经检验，是原分式方程的解，∴需要往盒子里再放入个白球．
■考点三　概率的计算及综合应用
◇典例7：（2024·广东·统考二模）一个材质均匀的正方体的六个面分别标有文字“祝、你、天、天、快、乐”，其表面展开图如图所示，随机抛掷这个正方体，“天”字朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一个材质均匀的正方体共有六个面，其中标有“天”字的占2个面，
∴其概率为：．故选：C．
◆变式训练
1.（2023·浙江·统考中考真题）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【详解】将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是。故答案为：．
2．（2024·广东佛山·校考一模）在一个不透明的口袋中，装有3个黄球和4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从中任意摸出一个球，摸到白球的概率．故选：C．
◇典例8：（2023·湖南·统考中考真题）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
【答案】/0.25
【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，∴取出红球的概率是，故答案为：．
◆变式训练
1．（2023·江苏·校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个.
【答案】1
【详解】解：设布袋里红球有x个，由题意得：，
解得：，经检验是原方程的解．∴布袋里红球有1个，故答案为：1．
2．（2024·广东深圳·校考模拟预测）在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ， 则 ．
【答案】9
【详解】∵在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球，
∴共有个球，其中黄球n个，
根据概率公式知：，解得，
经检验，是原方程的根，方程的解为：，故答案为：9．
◇典例9：（2023·山东淄博·统考中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,故选：B．
◆变式训练
1．（2023·山东·统考中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能的情况数，其中两人都摸到红球的有2种，
则两人都摸到红球的概率是．故选：A．
2．（2023·河南·统考中考真题）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：
故相同的概率为．故选B．
◇典例10：（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，故和均为无理数，
故盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是．故答案为：．
（2）解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有种，分别为：
组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数
第一种组合 ，，乘法 否
第二种组合 ，，加法 是
第三种组合 ，，乘法 是
第四种组合 ，，加法 是
第五种组合 ，，乘法 否
第六种组合 ，，加法 是
第七种组合 ，，乘法 是
第八种组合 ，，加法 是
第九种组合 ，，乘法 是
第十种组合 ，，加法 是
第十一种组合 ，，乘法； 是
第十二种组合 ，，加法 是
对应的组合运算结果共个，其中运算结果为无理数的有个，
故抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为．
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
2.（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：共有张卡片，第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为.故答案为：．
（2）树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
◇典例11：（2023·广东广州·统考中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】(1)(2)公平．理由见解析
【详解】（1）解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，∴乙选中球拍C的概率；
（2）解：公平．理由如下：画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率，乙先发球的概率，∵，∴这个约定公平．
◆变式训练
1.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】(1)(2)这个游戏公平，理由见解析
【详解】（1）解：∵为正数 ∴转盘指针指向正数的概率为：
（2）解：列表得：
6
4
一共有9种等可能的结果 其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜） （小聪获胜）（小明获胜） ∴这个游戏公平
◇典例12：（2024·安徽·模拟预测）综合与实践
【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域）(2)见解析(3)29元
【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，P（蓝色区域），P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
◆变式训练
1.（2023·福建·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
【答案】(1)(2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利
【详解】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为．
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
2.（2023·广东·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】(1)(2)选择2条索道，理由见解析
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为；
（2）根据题意，年游客客流量在的概率为，此时可维持1条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持2条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持3条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持4条索道支行；
若安装2条索道，则平均获利为（万元），
若安装3条索道，则平均获利为（万元），
∵，∴选择安装2条索道获利较多．
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
红 白1 白2
红 （红，红） （白1，红） （白2，红）
白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1）
白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2）
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
所以两次都摸出白球的概率是．故选：C
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】D
【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故原说法错误；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查．故原说法错误；
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故正确，故选：D．
3．（2024·广东·中考真题）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是，故选：A．
4．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，故选：D．
5．（2024·湖北·中考真题）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意；故选：D．
6．（2024·四川内江·中考真题）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光，画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，∴灯泡能发光的概率为，故选：A．
7．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴四边形是矩形，
∴∴∵点是的中点∴
∴∴∴，
，点落在阴影部分的概率是故选：B．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
【答案】/
【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为，故答案为：．
9．（2024·四川甘孜·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
【答案】5
【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，根据题意得：，解得：，
故答案为：5．
10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，故答案为：．
11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
【答案】
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，故答案为：．
12．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
【答案】3
【详解】解：设袋子中绿球有个，∵摸到绿球的概率是，
∴球的总数为个，∴白球的数量为个，
∵每种球的个数为正整数，∴，且x为正整数，∴，且x为正整数，
∴x的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．
13．（2024·江苏扬州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.53
14．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【详解】（1）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，∴乙获胜的概率为，
∵，∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
15．（2024·吉林长春·中考真题）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
【答案】
【详解】解：列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，
所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
16．（2024·云南·中考真题）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：由题意可列表如下：
由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种；
（2）解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，
（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）．
17．（2024·四川广元·中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
(1)样本容量为______，______；(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
【答案】(1)90，15；(2)200；(3)．
【详解】（1）解：样本容量为，，故答案为：90，15
（2）（名）答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名．
（3）设七年级学生为A，八年级学生为，，九年级学生为， 画树状图如下：
由树状图可知一共有20种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种，
∴P（选择的两人来自同一个年级）．
18．（2024·吉林·中考真题）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
【答案】
【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
19．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
【答案】(1)(2)填表见解析，
【详解】（1）解：当时，，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，∴和为单项式的概率为．
20．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3(2)
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是，故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
21．（2024·江苏连云港·中考真题）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是，故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种，
∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是．
1.（2024·辽宁抚顺·统考一模）我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】C
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．故选：C．
2．（2024·山东青岛·统考一模）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了4个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ）
A．10 B．16 C．25 D．30
【答案】B
【详解】解：由题意可得，，解得，，
经检验：是原分式方程的解，所以，故选：B．
3．（2024·安徽芜湖·统考二模）如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．故选：B．
4．（2024·广东湛江·校联考三模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
【答案】D
【详解】解：∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有种等可能的结果，则出现向上一面点数是的概率是∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵从装有个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，∴摸出个白球是不可能事件，
∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵任意抛掷一枚图钉，共有两种可能的结果，但可能性不一样大，钉尖朝上的可能大，
∴钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，∴项说法正确，故项不符合题意；
∵某种彩票的中奖率为，是中奖频率接近∴买张彩票一定有张可能中奖，也可能不中奖，
∴项说法错误；故项符合题意，故选：．
5．（2023·山东青岛·统考模拟预测）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有人，“民间美术展”活动门票张，则白球的数量是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率为，
∴，解得，经检验：时，，
所以是原方程的解．故选：D．
6．（2024·河南·统考三模）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：用A，B，C，D分别表示“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食， 画树状图如下：
从图中可以看出共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一美食的结果有4种，
则两人恰好选中同一美食的概率为．故选∶C．
7．（2024·广东·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种，故选：B．
8．（2023·北京海淀·校考模拟预测）（多选题）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面推断中合理的是（ ）
A．当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是
B．随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是
C．由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是
D．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次

【答案】BD
【详解】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故A错误，不合题意；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是．故B正确，符合题意；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故C错误，不合题意．若让该球员再进行1000次的罚球训练，命中的个数可能会超过812次，故D正确，符合题意．
故选BD．
9．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【答案】
【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为．故答案为：．
10．（2023·江苏盐城·校考二模）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为 （用所给字母表示．）
【答案】
【详解】解：由题意知，解得，，故答案为：．．
11.（2024·江苏·模拟预测）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【答案】0.93
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93故答案为：0.93．
12．（2024·广东佛山·统考模拟预测）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
(2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
(3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
【答案】(1)；(2)该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元；(3)．
【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为，
∴转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为；
（2）解：设每支铅笔元，则每瓶饮料元，
依题意得：，解得：，则，
∴该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，
则，解得：，
∴转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，故答案为：．
13．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种的可能性相等．
(1)如图1，当只有一个电子元件时，A、B之间的电流通过概率是___________；
(2)如图2，当有两个电子元件a、b串联时，请用树状图（或列表格）表示图中A、B之间的电流能否通过的所有可能情况，求出A、B之间的电流通过的概率；
(3)如图3，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是___________．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解： A、B之间只有一个电阻，共有两种情况，通电或断开，所以电流通过概率是；
（2）解：用树状图表示为：
由图可知，共有4种等可能结果，其中A、B间有电流通过的有1种，
∴B，A之间电流通过的概率是；
（3）画树状图得：
由树状图可知共有8种可能，A，B之间电流通过的有1种，所以概率是．
14．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）。(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．
【答案】(1)(2)张亮的想法是错的，见解析(3)
【详解】（1）由题得，列表为：
第1个 第2个 1 3
3 1 1
3 0 2
1 1 0 4
3 1 2 4
所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；
（2）由（1）得：，，，，，
∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，∵，所以张亮的想法是错的．
（3）∵，∴（答案不唯一）
15．（2024·山西·校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券（元） 18 9 18
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】(1)(2)方案一，见解析；
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种，∴P(一红区和一蓝区)=
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，∴方案二的平均收益为：，
∵13<20，∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
16．（2024·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意知，恰好是“麋鹿”的概率为，故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

由图可知，共有6种等可能的情况，其中恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的情况有2种，，
因此抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率是．
17．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．(1)若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；(2)若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意得甲两次投硬币的结果有4种，每种结果发生的可能性相同，
分别为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
其中甲前进两步的结果是（正，正），只有1种，甲前进两步的概率为．
（2）解：根据题意可画树状图如下：

由图可知共有8种等可能的情况，其中甲、乙两人间距离为0的情形有3种，
甲、乙两人间距离为0的概率为．
18.（2024·山东·校联考一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示．
的值 2 6 10
实际付款 8折 7折 6折
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；(2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：列表如下：
1 1 5 5
1 （1，1） （1，5） （1，5）
1 （1，1） （1，5） （1，5）
5 （5，1） （5，1） （5，5）
5 （5，1） （5，1） （5，5）
由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种．
∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为；
（2）解：依题意知，所以该顾客可按方案二抽奖一次．
选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为，获得“7折”优惠的概率为，获得“6折”优惠的概率为，∴方案二的平均打折数为．
选择方案一时，该顾客需要支付元．
∴依题意可得：，解得：．
∴当时，该顾客选择方案二更优惠．
19. （2024·福建泉州·校考三模）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【答案】(1)(2)(3)应安排A电影两个场次B电影一个场次
【详解】（1）解：由题意可知，；
（2）∵总的电影部数是：（部），
第四类电影中获得好评的有（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）
（3）A电影上座率，B电影上座率，
排一场A电影收入（元），排一场B电影收入（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
20.（2024·福建福州·校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【详解】（1）解：列表得：
4 2 1 1
4 /
2 /
1 /
1 /
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴．故答案为：．
（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，由（1）可知，
可兑换6元的概率为，可兑换5元的概率为，
可兑换3元的概率为，可兑换2元的概率为，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）；
∵，∴李同学应该买一个小盲盒好．
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