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第7章 复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
实数系
1
实数系的分类
小学的时候我们先学了自然数；为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数；初中时引入了负数；紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数；一步步地将数系扩充到实数系…
实数系
1
实数的性质
实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；
加法与乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；
实数和数轴上的点可以建立一 一对应的关系.
实数的概念
2
复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，设想引入一个新，使得 是方程 的解，即使得 ，并且 可以与实数进行四则运算，且原有的加法与乘法的运算律仍然成立.
1
所以实数系 经过扩容后得到的新数集是
(1) ，但并没有 ；
(2) 这里只提加法与乘法运算，并没有提减法与除法，并不是复数的运算
对减法和除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，分别把减
法和除法定义为加法和乘法的逆运算.
复数的概念
2
2
【1】复数：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位
复数的概念
【2】复数集：全体复数构成的集合 叫做复数集，通
常用大写字母 表示
【3】实部和虚部：复数通常用字母 表示，即 .以后不
作特殊说明时，复数 都有 ，其中的 与 分别叫
做复数的实部与虚部.
3
复数相等
在复数集 中任取两个数 ，我们规定：与 相等，当且仅当 且 .
复数的概念
2
设复数 时，一定要有 ，否则不能说实部为 ，虚部为 ；
虚部是复数代数形式中 的实数系数，不含 ，不能说虚部为 .
复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数；
复数的分类
3
对于复数 ，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，它叫做虚数；当 且 时，它叫做纯虚数.
复数 ，可以分类如下：
纯虚数集
复数集
虚数集
实数集
若复数 的实部与虚部互为相反数，则 的值是多少？
题①
——复数的基本概念
【解】复数 的实部为2，
虚部为
根据题意有2和 互为相反数，即
在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义、复数的代数形式，根据题意求出结果.
以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的复数是多少？
【解】复数 的虚部为 ， ,所以
的实部为 ，
所以所求复数的实部为 ，虚部为 ，
即这个复数是
已知复数 ，其中 ， 为虚数单位，求实数的 值.
题②
——复数相等的充要条件
【解】∵
【解决复数相等问题的步骤】
① 等号两侧都写成复数的代数形式；
② 根据两个复数相等的充要条件列出方程
或者方程组；
③ 解方程或方程组，得出答案.
∴ 由复数相等的条件有
解得
【1】已知复数 ，其中 ， 为虚数单位，
求实数的 值
【解】由复数相等的条件有
解得
【2】已知复数 ，其中
为虚数单位，若，求 .
【解】由题意有
解得
实数 分别取什么值时，复数 是以下的数？
题③
——复数的分类
【解】(1) 当 满足 即 时， 是实数；
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(2) 当 满足 即 且 时， 是虚数；
(3) 当 满足 即 或 时， 是纯虚数.
复数 为纯虚数， ，则 是 的（ ）
【解】当 时， ，若 ， 不是纯虚数，所以充分性
不成立；
充分不必要条件
必要不充分条件
必要条件
既不充分也不必要条件
当 为纯虚数时，则 ，所以必要性成立，故选B.
已知 ，其中
，求 的值.
题④
——复数中的比较大小
【解】 ∵ ，
∴
解得
由于出现了 ，即两个复数有大小关系，说明 一定都是实数.解题时要善于挖掘隐含条件，也就是所谓的“坑”
已知复数 ，若， ，求实数的 值.
【解】因为 ，所以 为实数，故 ，
即 ,解得 或 .
当 时， 成立;
当 时， 不满足条件.
所以
已知 A为ΔABC的一个内角，若不论A为何值， 总是虚数，求实数 的取值范围.
题⑤
——复数的综合应用
【解】 ∵ 总是虚数，
∴ ，即
∵ .
将题目中的“总是虚数”进行转化，利用三角函数的相关性质进行求解.
又
所以 时， 恒成立.
即当 时，不论A为何值， 总是虚数

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