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10.1 二元一次方程组的概念
1.掌握二元一次方程组的基本概念，能准确判断给定的方程组是否为二元一次方程组；
2.知道二元一次方程组的解是能同时满足两个方程的未知数的值，理解解的“公共性”和“唯一性”；
3.能够从实际问题（如鸡兔同笼、购物问题等）中提取两个等量关系，并正确设未知数，列出二元一次方程组，增强数学应用兴趣。
在一个方程中，只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是 1 (次),这样的方程叫做一元一次方程.
如：2x＋3＝5,y＋6＝8.
1.什么叫方程
2.什么叫一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程.
如：2x＋3＝5,x＋y＝8.
新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm 棉田的采摘，小型采棉机l h完成1hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
用已经学过的一元一次方程解决这个问题.
解：设大型采棉机x台，则小型采棉机(6-x)台.
2x+(6-x)=8
思考 列方程解决实际问题的步骤有哪些？
设未知数，找到相等关系；根据相等关系列方程；解方程；写出答案.
x=2
则小型采棉机6-2=4台
答：大型采棉机2台，则小型采棉机4台.
大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数；
大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h 采摘总面积.
思考：(1)列方程要先找到相等关系，上述问题包含了哪些必须满足的相等关系？
根据大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积，
列出方程为 .
根据大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数，列出方程为 .
(2)这个实际问题要求的是两个未知数,能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢 请尝试一下.
2x+y=8
x+y =6
知识点1：二元一次方程的概念
设租用了大型采棉机x台,小型采棉机y台,
观察
方程x+y=6和2x+y=8有什么特点 它们与一元一次方程有什么不同
上面所列方程各含有几个未知数
含有未知数的项的次数是多少
答：2个未知数
答：次数是1
x+y＝6 2x＋y＝8
交流
你能仿照一元一次方程的定义给这两个方程下一个定义吗？
注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1，而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程就不是一次方程；
(2)方程的左右两边都是整式.
每个方程都含有两个未知数 (x 和 y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.
1.下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是 如果不是，请说明理由.
（1）2x+y=5z
（2）3x=4y+2
（4）2y2-3x=6
（5）xy=7
（6）7x+2x=3
三个未知数
不是整式
此项的次数是2次
此项的次数是2次
只含有一个未知数
（3）x + =2
方法点拨：①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为1；④化简后未知数的系数不为0.
×
√
×
×
×
×
2.若 是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ，n＝ ．
1
4
知识点2：二元一次方程组的概念
问题2 含有未知数的项的次数最高是多少？
1
上面的问题中未知数x,y必须同时满足x+y=6,2x+y=8.
把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组.
问题1 这个方程组中一共有几个方程？含有多少个未知数？
两个
两个
方程组中有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
x＋y＝6，
2x＋y＝8
3.下列方程组是二元一次方程组吗？为什么？
不是，含有三个未知数
不是，第1个方程左边不是整式
不是，x的最高次数是2
是
知识点3：二元一次方程(组)的解
探究 满足方程x+y=6的x,y的值有哪些？把它们填入表中.
x … …
y … …
1
5
2
3
4
5
6
4
3
2
1
0
问题1 若不考虑此方程与上面实际问题的联系，x=0.1,y=5.9是方程x+y=6的解吗？x,y还可以取哪些值
问题2 二元一次方程x+y=6共有多少组不同的解？
无数组
问题3 你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下一个定义吗
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
二元一次方程的解的概念
例如: x＝1 , y＝5 是方程x＋y＝6 的一个解记作
我们还发现，x=2，y=4既满足方程x+y=6 ①，又满足方程2x＋y＝8②.也就是说，x=2，y=4是方程①与方程②的公共解.我们把x=2, y=4叫作二元一次方程组的解，这个解通常记作
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
二元一次方程组的解的概念
4.若是关于 x，y 的方程 x－ky = 3的一个解，则 k 的值为 .
1
5. 二元一次方程组的解是 ( )
A.
C.
D.
B.
x = 4，
y = 2
x = 3，
y = 6
x = 4，
y = 3
x = 2，
y = 4
C
要点:
一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解.
6.某次世界杯足球赛前，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元．
(1)设小李预定的小组赛和淘汰赛的球票分别为x张、y张，你能列出相应的方程组吗？
(2)是方程组的解吗？
（2）将代入二元一次方程组，方程①和②均成立，所以是方程组的解.
解：（1）
①
②
认识二元
一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
二元一次方程的解及二元一次方程组的解
根据实际问题列二元一次方程（组）
1.如果6xm+1+3yn-2=0是关于x,y的二元一次方程,那么（ ）
A.
B.
C.
D.
C
2.下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
B
3. 二元一次方程组 的解是 ( )
x + 2y = 10，
y = 2x
A.
C.
D.
B.
x = 4，
y = 2
x = 3，
y = 6
x = 4，
y = 3
x = 2，
y = 4
C
4.若方程组是关于x,y的二元一次方程组,则代数式a+b+c=________
-2或-3
5.《孙子算经》中有一道题，原文是 ：“今有木 ，不知长短 ，引绳度之 ，余绳四尺 五寸 ；屈绳量之 ，不足一尺 .木长几何 ” 意思是 ：用一根绳子去量一根长木 ，绳 子还剩余 4.5尺 ；将绳子对折再量长木 ，长木还剩余 1 尺 . 木长是多少尺
若设绳子长 x 尺 ，木长是 y 尺，则所列方程组正确的是 ( )
y-x =4.5，
2x-1 = y
A.
x - y = 4.5，
2x +1 = y
B.
C.
D.
y-x =4.5，
x -1= y
x - y = 4.5，
x +1= y
C
6. 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.
解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人.根据题意，得

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