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10.2.1 代入消元法
课时2
1.能够用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组.
2. 掌握灵活选择要消的元的方法．
3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程.
用代入法解二元一次方程组：
解：由方程②,得x=13-4y.③
将方程③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
解得y=2.
将y=2代入方程③,得x=5.
所以原方程组的解是
问题2 为了使计算简单，选择消去的未知数时系数通常具备什么特征？
系数为1或-1.
问题1 用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元，化“二元”为“一元”
用代入法解二元一次方程组：
观察下列二元一次方程组：
这个方程组未知数x,y的系数都不是1或-1，那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢？
例3：用代入法解方程组
解：由①，得x＝－.③
把③代入②，得9(y－)＋7y＝39.
解这个方程，得 y＝3.
把y＝3代入③，得x＝2.
所以这个方程组的解是
解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
解：由①，得x+.③
把③代入②，得9x+7(x+)＝39.
解这个方程，得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝3.
所以这个方程组的解是
① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形；
③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形.
用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧:
4x-3y=-2，
5x+4y=13.
（1）
①
②
所以这个方程组的解是
x = 1，
y = 2.
把 x = 1 代入③，得 y = 2.
把③代入②，得 5x + 4( x + ) = 13.
解：(1) 由①，得 y = x + . ③
解这个方程，得 x = 4.
3m+2n=17 ，
2m-3n+6=0.
（2）
所以这个方程组的解是
m = 3，
n = 4.
把 m = 3 代入③，得 n = 4.
把③代入②，得 2m - 3(- m + ) +6=0.
(2) 由①，得 n =- m + . ③
解这个方程，得 m = 3.
①
②
例4：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
问题1 本题中的相等关系有哪些？
（1）送120件的报酬+揽 45件的报酬=270元；
（2）送90件的报酬+揽 25件的报酬=185元.
问题2 设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗？
根据相等关系，列得方程组
例4：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
问题3 你能解这个二元一次方程组，从而求出快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元吗
由①，得 x＝ ③
把③代入②，得 90()＋25y＝185.
解这个方程，得 y＝2.
把y＝2代入③，得 x＝1.5.
所以这个方程组的解是
答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是 2 元.
问题4 观察二元一次方程组中x,y的系数与常数项，你能想到解此方程组更简便一些的方法吗？试试看，谁的方法更简单.
解：根据等式的性质，化简得
由①得，x= .③
把③代入②，得18()+5y=37,
解这个方程，得y=2,
把y=2代入③,得x=1.5,
所以这个方程组的解是
(1)分析所有的已知量、未知量,恰当地设出未知数;
(2)找相等关系,列方程组;
(3)解方程组;
(4)检验解的合理性，写出答案.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒，4 小盒共装 108 瓶，2 大盒，3 小盒共装 76 瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶
分析:
3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108，
2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76.
解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶.
3x+4y=108，
2x+3y=76.
解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶.
3x+4y=108，
2x+3y=76.
①
②
由②，得
把③代入①，得
x=38- y
③
3(38- y)+4y=108.
解这个方程，得
y = 12.
把 y=12 代入③，得
x = 20 .
所以这个方程组得解是
x = 20，
y = 12.
答:大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装 12 瓶.
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？
2.消元时应注意哪些问题？
3.用代入消元法解决实际问题的步骤是怎样的？
4.本节课你还有什么收获？还存在什么疑惑？
1.解方程组：
（1）
(1)解：
由①得：x ＝ ③,
把③代入②中，得：5×－3y＝9,
解得：y＝2,
将y＝2代入①得：3x＋2×2＝13
解得：x＝3
∴原方程组的解为
(2)解：
由①得：x ＝ ③,
把③代入②中，得：7×－3y＝9,
解得：y＝1,
将y＝1代入①得：5x＋6＝16
解得：x＝2
∴原方程组的解为
1.解方程组：
（2）
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km.他骑车与步行各用多少时间？
解：设张翔骑车用x h，步行用y h．
根据题意，得
由①，得x＝1.5－y.③
把③代入②，得15(1.5－y)＋5y＝20，
解得y＝0.25.
把y＝0.25代入③，得x＝1.25.
所以方程组的解是
答：张翔骑车与步行分别用1.25 h，0.25 h.
解：设张翔骑车用x h，步行用y h．
根据题意，得

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