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8.6.3 课时2 面面垂直的性质定理
第八章 立体几何初步
1.理解平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.
2.能应用面面垂直的性质定理证明相关问题.
3.理解“垂直”之间的相互转化.
1.二面角及其相关概念
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
β
α
l
O
A
B
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°．
2.两个平面互相垂直的定义
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
图形语言表示
符号语言表示
a α，a⊥β α⊥β.
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
线面垂直
线线垂直
面面垂直
3.两个平面互相垂直的判定定理
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究一下其中一个平面中的一条直线与另一个平面具有什么位置关系？
探究：如图，设α⊥β,α∩β=a,则β内任意一条直线b与a
有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？
为什么？
α
β
b
a
b与a平行或相交.
当b//a时，b//α;
当b与a相交时，b与α也相交.
特别地，当b⊥a 时，如图，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a,
α
β
b
a
c
A
则b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角.
∵α⊥β，
∴b⊥c.
又∵b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，
∴b⊥α.
平面与平面垂直的性质定理
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
图形语言表示
α
β
a
l
符号语言表示
α⊥β，α∩β=l，a β，a⊥l a⊥α.
这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
面面垂直 线面垂直
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙壁上画出地面与墙壁的交线的垂线即可.
⑴定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
⑵定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；
⑶已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
三个条件缺一不可
直线与平面垂直
平面与平面垂直
判定
性质
注 意
定理:两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此，
如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两天直线重合.
如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c．
由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．
因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，
所以直线a与直线b重合，因此a α．
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
对于两个平面互相垂直的性质，我们一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？
下面的例子就是其中的一些结果.
【例1】如图，已知平面 ⊥平面β,直线a满足a⊥β, a ,判断a与 的位置关系．
解：
∴b⊥β，
在 内作垂直于 与β交线的直线b，
∵ ⊥β，
又a⊥β，
∴a// ．
∴a//b.
b
a

β
又a ,
即直线a与平面 平行．
如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．
【例2】如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.
由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE．
P
A
B
C
【例2】如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
证明：
P
A
B
C
如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC，
∵BC 平面PBC，
∴AE⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC,
又PA∩AE=A，
∴BC⊥平面PAB.
【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF⊥A1D,EF⊥AC，求证：EF//BD1．
证明：
连接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D， ①
∴BB1⊥A1C1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
又∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
C
D
C1
D1
B1
A1
B
A
E
F
∵BB1∩B1D1=B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，
∴A1C1⊥BD1，
同理可证DC1⊥BD1，
而A1C1∩DC1=C1，
∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可得 EF//BD1．
拓展：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，EF⊥A1D,EF⊥AC.求EF的长．
解：
连接A1C1，由于AC//A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1C1∩A1D＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D，
∴EF的长等于AC到平面A1C1D的距离，
又AC//A1C1，A1C1 平面A1C1D，
而AC到平面A1C1D的距离等于三棱锥C-A1C1D的高，设高为h,
C
D
C1
D1
B1
A1
B
A
E
F
由AB=1得,A1C1=DC1=DA1=，
∴，
∴，即EF的长为.
∴，
又∵，
直线、平面之间的位置关系可以相互转化：
知识归纳
1.两个平面互相垂直的性质定理
图形语言表示
符号语言表示
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥β，α∩β=l，a β，a⊥l a⊥α.
α
β
a
l
2.证明线面垂直的两种方法
线线垂直→线面垂直；
面面垂直→线面垂直
1.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC,AB=,
CE=EF=1,求证:CF⊥平面BDE.
证明：
如图,设AC∩BD=G,连接EG,FG.
又CF 平面ACEF，
则EF=CG=CE.
∴BD⊥平面ACEF，
∴四边形CEFG为菱形，
∴BD⊥AC.
由AB=易知CG=1，
∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形，
又EF∥AC，
又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴CF⊥平面BDE.
∴BD⊥CF.
又BD∩EG=G,
解：
⑴∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥平面AED.
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形.
⑴求证：EA⊥CD；
⑵若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角.
∴CD⊥AD，
又∵平面AED ⊥平面ABCD，平面AED ∩平面ABCD=AD，
D
E
C
A
B
又∵EA 平面AED，
∴CD⊥EA.
⑵如图，取AD的中点F，连接EF，FC，
由△AED是等边三角形，得 EF⊥AD,DF=，EF=，
∴∠CFE=30°,即EC与平面ABCD所成的角为30°.
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形.
⑴求证：EA⊥CD；
⑵若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角.
在Rt△CFE中，，
∴∠CFE是EC与平面ABCD所成的角，
∴EF⊥平面AED，EF⊥FC，即FC为EC在平面ABCD上的射影，
在Rt△CDF中，CD=AB＝，FC=，
D
E
C
A
B
∵平面AED ⊥平面ABCD，平面AED ∩平面ABCD=AD，
F(共22张PPT)
8.6.3 课时1 二面角与面面垂直的判定定理
第八章 立体几何初步
1.理解二面角及其相关概念.
2.掌握平面与平面垂直的定义及判定定理.
3.运用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直问题.
情景：视频讲述的是从华为2022年的二折叠屏手机到2024年的全球首个三折叠屏手机，可以感受到我国科技发展日新月异，我们为我们的祖国感到骄傲和自豪。
【问题1】观察两幅折叠手机图片，你能从中观察到点、线、面中的哪些几何元素？
类 比
【问题2】你能类比平面几何中角的定义，说出二面角的定义吗？
O
A
B
二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
图形： 表示法：二面角
或二面角
或二面角或二面角
l
A
B
β
α
．P
．Q
知识归纳
如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢
类比线面角的求解——空间问题平面化
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线构成的叫做二面角的平面角。 图形：
A
B
思考
问题3：二面角的平面角有没有范围呢？
α(β)
l
A(B)
O
θ=0o
直二面角
钝二面角
α
β
l
A
B
O
θ =180o
锐二面角
0°≤α≤180°
问题4：观察教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
直二面角，
平面与平面垂直：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
图形语言： 符号语言：
根据面面垂直的定义，判断两平面是否垂直需要将二面角测得为请问有什么更为简便的方法判定面面垂直？
如图，由建筑工人砌墙以及门与地面关系，你能得到什么启发吗？
思考
猜想：如果两相交平面中的一面，经过了另一面的垂线，那么这两个平面互相垂直。
已知： 求证：
设垂直于的垂足为，那么
,,,即与有公共点，即与相交
再设, 是与的公共点，
过在内作 ,, ,垂足为
是二面角的平面角，
, ,即°
O
l
b
平面与平面垂直判定定理：
一如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
符号语言： 图形语言：
线面垂直
面面垂直
知识归纳
判断正误.
(1)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.
( )
(2)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.( )
×
√
说一说
例1：如图所示，在正方体中，求证：平面平面.
证明：∵是正方体，
∴平面，
∴.
又，，
∴平面，而平面，
∴平面平面.
例2：如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点.求证：平面平面.
证明：∵平面，平面,
∴.
∵点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，
∴，即，
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
练习1：如图,在正四棱柱中,,为的中点,
证明:平面平面.
证明：∵
∴,
∴,
∴,
又⊥平面,平面,
则⊥
∵,
∴平面,
又平面,
∴平面平面.
变式1：如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：（法一）∵，且，
∴.
∴点在平面上的射影为的外心.
∵点在上的射影为斜边的中点.
∴平面.
又∵平面，∴平面平面.
变式1：如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：（法二）∵，，
∴和是等边三角形，则有，
令其值为，则和为共底边的等腰三角形.
取的中点，如图所示，连接，，
则，，∴为二面角的平面角.
在中，∵，∴，.
在中，.在中，∵，
∴，即二面角为直二面角，故平面平面.
D
练习2：如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为( ).
A. B. C. D.
【答案】：C
变式2：如图,四边形是正方形,平面,且.
(1)求二面角的大小;
(2)求二面角的大小.
解： (1)因为平面,平面,
所以.
又四边形为正方形,所以,
又,所以平面
又平面,所以平面平面
所以二面角的大小为
(2)因为平面,平面,
所以.
所以为二面角的平面角,
又四边形为正方形,所以
即二面角的大小为.
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为
垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线
构成的叫做二面角的平面角。
平面与平面垂直判定定理：
一如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号语言： 图形语言：
注：面面垂直时，它们所成的二面角是直二面角，大小为90°(二面角的平面角
范围：θ∈[0°,180°])

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