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(共18张PPT)
8.6.2 课时1 直线与平面垂直的概念和判定定理
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直.
3.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角.
直线与平面平行
直线与平面相交
直线在平面内
空间中直线与平面有几种位置关系？
垂直
斜交
你还能举出其他直线与平面垂直的例子吗？
18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出线面垂直的直观解释：
一条直线不向平面上的任何一面倾斜，则直线与平面垂直.
如何“数学的”刻画直线与平面垂直呢？
思考
A
B
旗杆与地面垂直
随着时间变化，观察旗杆与地面上的影子的位置关系？
1.直线与平面垂直的定义
古希腊数学家欧几里得几何原本中线面垂直的定义：
若一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于该平面内与该直线相交的所有直线.
D
C
如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.
记作：
直线 的垂面
垂足
平面 的垂线
1.直线与平面垂直的定义
能否利用在平面内找到有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？
用定义来判断线面垂直方便吗？
线面垂直的定义：
如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.
探究：准备一块三角形纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC桌面在桌面上).
①折痕AD与桌面垂直吗？
②如何翻折才能使折痕AD与桌面肯定垂直
思考
当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即AD与桌面两条相交直线垂直时，AD所在直线垂直桌面所在平面α．
当折痕AD不垂直BC边时
当折痕AD垂直BC边时
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
2.直线与平面垂直的判定定理
如图,已知 ,求证:
∵
∴
∵
是两条相交直线，
∴
证明：在平面 内作两条相交直线m，n
∵ ，
∴
例1
例题讲解
例2
例题讲解
证明：∵SD⊥平面ABCD
∴SD⊥AC
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD.
又∵SD∩BD=D，
SD 平面SDB，BD 平面SBD
∴AC⊥平面SBD.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
2.方法归纳：转化思想.
1.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
√
2.(多选)下列命题正确的是（ ）
√
√
√
3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
√
5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
45°(共21张PPT)
8.6.2 课时2 直线与平面垂直的性质定理
1.理解直线与平面垂直的性质定理，并会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题；
2.理解直线到平面的距离、两个平面间的距离的概念，并会求直线到平面的距离.
直线与平面垂直①
定义
线面角
判定定理
直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则
（线面垂直线线垂直）
证明线线垂直的方法
证明线面垂直的方法
1. 线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
先研究已有的线线关系，然后再加新的直线、平面探究
问题1：若直线与平面垂直，则已知直线与这个平面内的直线是什么位置关系？
（线面垂直线线垂直）
如何研究直线与平面垂直的性质？类比线面平行，面面平行的性质
研究，从哪些角度考虑？
思考
问题2：如果在线面垂直的前提下加入新的直线或平面，它们与其已知的线面形成的关系中，有哪些不变的性质？
①加入直线，其中
猜想
//
你能试着证明它吗？
猜想：垂直与同一个平面的两条直线平行.
已知： 求证： //
假设与不平行，
记直线与的交点为，则可过作
直线与确定平面，设 （交线）
，
又，
这样在平面内过点有两条直线和都垂直于直线，这不可能！
//
反之，若那么成立吗？
思考
线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言： 图形语言：
//
线面垂直
线线平行
√
知识归纳1
②加入直线，其中（或//）
//或
（ ）
③加入平面，其中
反之，若，，那么成立吗？
直线与平面垂直的性质
①
② //
③ //
④
知识归纳2
证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，，
垂足分别为.
∵，∴.
设直线确定的平面为，.
∵∴.
∴四边形是矩形.
∴
由是直线上任取的两点，
可知直线上各点到平面的距离相等.
例1：直线平行于平面，求证：直线各点到平面的距离相等．
例题讲解


问题2：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度即为该点到平面的距离．那么我们该如何定义直线到平面的距离呢？进一步，又该如何定义两个平行平面间的距离？
点到平面的距离
直线到平面的距离
平行平面间的距离
线面平行时，线上任意一点到平面的距离为直线到平面的距离
平面上任意一点到另一平面的距离为平行平面间的距离
转化
线面距离
面面距离
转化
点面距离
前面学习的棱柱、棱台的体积公式中的高，就是它们上、下底面间的距离，也就是上底面内任意一点到下底面的距离．
辨析1：设正方体的棱长为1，则：
(1)点到面的距离为________；
(2)点到面的距离为________；
(3)到面的距离为________；
(4)平面与平面间的距离为________；
(5)点到的距离为________.
解：如图，垂直于棱台的上底面，从而.
设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，
则.于是
所以棱台的体积
. ①
由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.代入①式，得
例2：推导棱台的体积公式，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
P
O′
O
例题讲解
2.如图,在正方体中,是上一点,是的中点,平面.求证:∥.
证明：因为在正方体中,四边形为正方形,
所以.
又因为平面, 平面
所以
因为平面平面
所以平面
又因为平面,
所以∥
解：因为两平面平行,
所以原问题等价于求解点到平面的距离,
由等体积法可得=,
即,
解得
即平面到平面的距离为.
3.已知正方体的棱长为,求平面到平面的距离.
证明：（1）在直角梯形中,,
所以,
所以,所以.
因为平面,∥,
所以平面,所以
又平面,平面,,所以平面
4.如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,
(1)求证:平面; (2)求证:.
证明：（2）因为平面,平面,
所以
又所以.
又平面,平面,
所以平面.
又平面,所以.
4.如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,
(1)求证:平面; (2)求证:.
直线与平面垂直的性质

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