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(共12张PPT)
7.2 勾股定理
第7章 实数
1.掌握勾股定理的证明.
2.能运用勾股定理解决实际问题．
任务一：探索勾股定理.
活动1：阅读材料中的信息，解决下列问题.
有8个全等的直角三角形，设每个直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，图①、图②是采用不同拼图方式，分别用四个该直角三角形和两个正方形拼成的边长为a+b的正方形.
a
b
a
b
Ⅰ
Ⅱ
①
a
b
b
a
c
Ⅲ
②
a
b
c
问题：
(1)图①中，小正方形Ⅰ、Ⅱ的面积分别是多少？
(2)图②中，小正方形Ⅲ的面积是多少？
(3)小正方形Ⅰ和Ⅱ的面积之和与小正方形Ⅲ的面积有什么关系？
(4)由上述问题，你发现直角三角形的三边a,b,c有怎样的数量关系？
S(Ⅰ)=a2、S(Ⅱ)=b2、S(Ⅲ)=c2
c2=(a+b)2-2ab=a2+b2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2. （勾股定理）
也就是说，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
活动小结
活动：阅读情景信息，解答下列问题，说说解题思路或方法.
任务二：用勾股定理解决实际问题．
情景1：如图，电线杆AC高为8m，从电线杆CA的顶端A处扯一根钢丝绳，将另一端固定在地面上的B点，测得BC长为6m .问：钢丝绳AB的长度是多少？
解：在Rt△ABC中，
∠C=90°, AC=8 ,BC=6,
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=82+62=100
于是
所以，钢丝绳的长度为100米.
勾股定理计算思路：
在直角三角形中，先确定哪个角是直角、明确直角边和斜边，再利用勾股定理实现边的转化.
公式：
(a、b、c为正数)
a
b
c
O
A
C
B
情景2：一架秋千静止时，踏板离地1尺，将踏板向前推进两步（一步指“双步”,即左右脚各迈一步，一步为5尺）并使秋千绳索拉直，其踏板便离地5尺，绳索的长是多少？
问题1：根据题干和提示信息，在图上构建辅助线，并在图中标出已知线段的长度数值.
提示：如图，秋千静止时，绳索顶部O点到踏板的位置A点构成线段OA（即表示绳索的长），OC是绳索顶端与地面的距离，点B是将秋千踏板向前推进两步时的位置.
4
1
10
F
问题2：结合图形，求出绳索的长.
由题可知，OA=OB，过点B作BD与地面垂直，垂足为D，连接CD. 作 AE⊥BD，BF⊥OC，垂足分别为E，F，则四边形AFBE，ACDE都是矩形.
由题意知，AC=1，BD=FC=5，BF=10 . 于是FA=FC-AC=5-1=4 .
E
D
O
A
C
B
D
E
F
设 OB = x，
从而 OF=OA-FA=OB-FA=x-4 .
在Rt△OFB中，由勾股定理得
OB2=BF2+OF2，即x2=102+(x-4)2，
解得x=14.5
所以，秋千绳索的长为14.5尺.
x
4
1
10
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知量、未知量间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理解答，确定实际问题的答案.
利用勾股定理建立方程模型是解决几何计算的常用途径!
活动小结
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
2.在Rt△ABC中，若a=3，c=5，求b.
解：①当b是直角边时，由勾股定理得，
②当b是斜边时，由勾股定理得，
所以b的值是4或 .
3.如图，一根长为16m的电线杆在点A处折断，电线杆的顶部B落到离电线杆底部C 8m处. 请求出电线杆的断裂处A离地面有多高.
解：依题意可知，BC=8m，AC＋AB=16m，
设AC=x m，则AB=（16-x)m，由勾股定理可得，
x2+82=(16-x)2，解得 x=6 （m）
答：电线杆的断裂处A离地面有6m高.
针对本课的关键词“勾股定理”，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
内容
在Rt△ABC中，a,b为直角边,c为斜边：a2+b2=c2
证明
以面积的等量关系,证明直角三角形的勾股定理
应用
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
利用
解决
构建
计算
确定直角，利用勾股定理实现边的转化
勾股定理

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